稳恒电流

第三章 稳恒电流 研究问题：讨论导体中稳恒电流的形成及其规律以及直流电路的计算。电路的基本规律包含两方面的内容，一方面是组成电路的各种元件（电阻和电源等）的伏安特性，另一方面是电路整体的规律，即基尔霍夫定律。 §3.1 稳恒电流的闭合性 一、 电流的形成

1、电流的形成：大量电荷的定向运动形成电流。（漂移运动） 2、形成电流的条件：

（1） 存在可以自由运动的电荷（载流子）。金属导体中是电子。酸、碱、

盐等电解质溶液中是某种带电微粒，如正、负离子。半导体中是电子和带正电的空穴。 （2） 存在迫使电荷作定向运动的某种作用。如机械作用、化学作用、

电作用等。 3、电流的效应：热效应、磁效应、化学效应、机械效应等。这些效应得到

广泛的应用，也可以用来检验电流是否存在或量度电流的强弱。 4、说明：

（1） 传导电流——金属和电解质导电时，其内部是电中性的，这种电

流称之为传导电流； （2） 对流电流——如电子管中的电流（热电子发射，真空中出现大量

载流子，在外电场作用下形成电流）。对流电流在大气现象中起着重要的作用。整个地球表面和高空大气层间的总电流约为1800A，这些电流是靠雷雨时的对流电流来补偿的。

二、 电流和电流密度

1、电流强度：

（1） 定义： IQ （1A=1C/s） t（2） 意义：描述导线中电流强弱的物理量。标量，其大小等于单位时

间内通过导体内给定截面的电荷量，方向与正电荷运动方向相同。 2、电流密度矢量：

（1） 定义： dIjdS

（2） 意义：细致描述电流分布的物理量。矢量，其大小等于单位时间

内通过垂直于载流子定向运动方向的单位面积的电量，方向为该点正电荷运动的方向。

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《电磁学》教案——３ 稳恒电流

（3） 微观量表示： jNqu （多种载流子情况 jNiqiui）

i（4） 电流密度和电流强度的关系：一个矢量场和它的通量的关系。通

过任意曲面的电流IjdSjcosdS反映的是单位时间内

SS通过某一曲面的总电量，而电流密度则反映了空间各点电流的分布情况。

3、电流线：形象地描述空间各点电流密度的分布情况。电流线上每一点的

切线方向与该点电流密度的方向相同，电流线的疏密程度代表电流密度的大小。 三、 电流的连续性方程

1、表达式： 2、意义：

（1） 流出闭合面S的电流I等于S面内部总电荷量的变化率的负值。

——电荷守恒定律的数学表述。 （2） 电流场是有源场。电流线是发出或终止于电荷密度发生变化的地

方。 3、稳恒电流——空间电流分布不随时间变化的电流。基本性质——

（1） 空间各点的电荷分布不随时间变化。（2） 电流线闭合。jdS0

SdqjdS

dtdq0 dtS（3） 空间各处电场不随时间变化，因而电场能量也不随时间变化。 （4） 稳恒电流电场遵守静电场的两个基本方程。电势的概念依然有效，

稳恒电场对电荷的作用就是库仑力。 （5） 稳恒电流电场必须由电源的非静电力维持，电源向电场提供能量，

电场对电流作功消耗能量，电场在能量转换过程中起了媒介作用。 （6） 遵守欧姆定律的导体，净电荷只分布在导体的表面与不均匀处。 （7） 稳恒电场与静电场的不同点——对于稳恒电流电场，导体不再一定是等势体（金属导体内部的场强与电流密度有关），而在静电平衡时，导体内部电场为零，导体为等势体。 思考题：P146 3-1 3-2 3-3 3-4 3-8 3-9 计算题：P148 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5

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《电磁学》教案——３ 稳恒电流

§3.2 欧姆定律 一、 欧姆定律

1、内容：在温度不变时，一段金属导线中的电流I与导线两端的电势差成

正比。 IU （1826年） 2、导体电阻的定义： RU 导体上任意两个等势面间的电压与通过导I体的电流之比是一个与电流和电压都无关的量，反映了导体本身的性质。

3、导体电阻与导体开头及电流流动方式有关。即使同一导体，当电流流动的方式不同时，对应的电阻也不同。 4、广延导体的电阻

（1） 对大块导体，对确定的两接线柱，导体的电阻定义为两接线柱间

U的电压与流过接线柱的电流之比 R。

I（2） 对于几何形状简单的广延导体，Rd。 S（3） 已知场强分布时，可以利用静电学的结果，求广延导体的电阻：

两接线柱间的电压 UEd

选择包围接线柱的等势面，通过该等势面的电流 IEdS

则导体的电阻为 R5、应用范围：

U I（1） 对于金属导体，欧姆定律是十分准确的。只当电流大到每cm2几

百万A时，，才发现有1%的差异。 （2） 遵守欧姆定律的电学元件称为线性元件，其电阻称为线性电阻或欧姆电阻。非线性元件不服从欧姆定律，伏安特性曲线不是直线。对于非线性元件，欧姆定律虽不适用，但仍可以定义其电阻。

二、 电阻率

1、导体电阻的大小与导体的材料及几何形状有关。Rd 。R。 SS2、电阻率与导体的形状与大小无关，只与导体材料及温度有关。电阻率的

倒数称为电导率。室温下，金属电阻率在10-8—10-6Ωm之间；绝缘体电阻率为108—1018Ωm，比金属大1014倍以上。半导体材料的电阻率约在10-5—108Ωm范围。 3、电阻率是选用金属材料的重要物理量。电阻率较大的镍铬、铁铬铝合金

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《电磁学》教案——３ 稳恒电流

等用来作电阻炉、电烙铁；铜、铝等纯金属的电阻率小，用来做导线。 4、电阻率与温度的关系：

（1） 多数纯金属的电阻率随温度的升高而增加。金属导体的电阻随温

度变化的性质可以用来制作电阻温度计。 （2） 绝缘体和半导体的电阻率随温度升高而急剧减小。

（3） 在极低温度下，有些导体的电阻率突然减小到零——超导现象。

（1911年，荷兰物理学家昂纳斯发现。1987年，超导转变温度已达到90K，超过液氮温度）

三、欧姆定律的微分形式

1、微分形式： jE 2、意义：

（1） 反映导体中某点的电流密度与该点的电场强度之间的关系，表示

了物质的性质。电流密度只决定于该点的电场强度与电导率，与其他地方的电场分布和电导率无关。 （2） 电流密度与该点的电场强度成正比表明，电子的定向运动速率与

该点的电场强度成正比，电子在金属中作定向运动时除受到电场的作用力外，还受到来自金属内部的某种阻力的作用，而且这种阻力与电子的定向速度成正比。 3、对于线性介质，γ是与电场强度及电流密度无关的常数。 4、欧姆定律的微分形式对频率不是非常高的非稳恒电流亦成立。 四、电流的功率 焦耳定律

1、电流的功率：

（1） 单位时间内电场做功的功率即电流的功率为 PIU

（2） 意义：任一用电器，若其两端电压为U，进入用电器的电流为I，

则用电器吸收的功率与用电器的性质无关。至于吸收的能量转变为何种形式的其他能量，则取决于用电器的性质。

电路是电动机——机械能、 电路是电池或电解槽——化学能 纯电阻电路——热能

2、焦耳定律：

U2（1） 对于电阻为R的欧姆介质，PIR

R24

《电磁学》教案——３ 稳恒电流

（2） 意义：电流通过欧姆介质时，电能将以发热的形式释放出来。通

过一欧姆介质的电流为I时，单位时间内电阻上发出的焦耳热。 （3） 用电器吸收的功率仅在纯电阻电路中等于焦耳热功率。 3、焦耳定律的微分形式

（1） 电功率密度：单位时间内导体内的电功率 pjE

j2（2） 焦耳定律的微分形式：考察点仅存在欧姆介质时，p率密度）。

（热功

（3） 意义：电流通过欧姆介质时，单位体积的导体中产生的焦耳热。

五、 例题

例题1：金属球埋入地下为接地电极，由一联线将电流导入，求接地电阻。

Ijda4r2dr1UaEdaR

IIII4a例题2：同轴圆柱形导体，中间充以电阻率一定的介质，求沿径向的电阻。 Rbadrbln 2rL2La思考题：P146 3-10 3-11 3-12 3-13 计算题：P148 3-6 3-20

----------------------------------------------------------------- §3.3 固体导电机理简介 一、 金属导电性的微观解释

1、金属的微观模型——位于晶格点阵上带正电的原子实和脱离了原子的自

由电子的集合。各种金属的自由电子数密度的数量级为1022cm-3. 2、自由电子无场作用时，作无规则的热运动；存在外场时，除固有的无规

则运动外，在电场力的作用下作定向运动形成电流。 二、 电子气的热运动

1、金属的经典电子论假设自由电子像理想气体一样，它的运动遵守牛顿运

动定律，并且忽略自由电子间的相互作用，而自由电子与正离子间的相互作用，则仅在碰撞时才考虑。 2、均方根速率：

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《电磁学》教案——３ 稳恒电流

（1） 根据能量按自由度均分定律，每个电子具有的平均热运动能量为

13mu2kT 22（2） 均方根速率为 u23kT6.74103Tm/s m（3） 室温下，自由电子热运动的均方根速率约为110km/s.自由电子热

运动的平均速率与这一数值相近（v8kT），但由于运动的无m规则，平均速度接近于零。因此无外加电场时，金属中无定向电子流。

三、 欧姆定律的解释

1、分析过程：

自由电子在电场力作用下 maqE

121q2Et 两次碰撞之间经历的位移 Sv0tatv0t（ t为自由时间）

22m1q2Et 对大量电子求平均位移 S2m2tq1q载流子的定向速度（漂移速度）uEuE

2mmS（τ为平均自由时间，〈t2>=2τ2〉

q2EE——欧姆定律的微分形式 导体中的电流密度 jNquNmq2电导率为 N

m2、说明：欧姆定律的微分形式对随时间变化的电流也成立的条件是场强变

化的周期T应远大于τ。T>>τ。τ的值约为10-14s，故要求场强的周期T>>10-14s，或频率 v<<1014Hz。即直到频率超过微波段v<<1014Hz 时，欧姆定律仍然成立。而频率再高（红外或红外以上），定律不再成立。 四、 焦耳定律的解释

电流通过导体时放出焦耳热，是由于金属中的电子在外电场作用下获得额外

的动能，而在与离子碰撞时，这动能转化为无规则运动动能引起的。

1电子与离子碰撞前的动能为 m(uu1)（无规则运动+定向运动）

21 碰撞后的动能为 mu22

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《电磁学》教案——３ 稳恒电流

112一次碰撞过程中，传递给离子的能量为 m(uu1)2mu2

2211q2222碰撞一次的过程中转化为热运动的能量为 Wmu1E 222mu由分子物理学，单位时间内平均碰撞次数为 Z1单位时间内，单位体积中电子传递给离子的总能量为 1nq222 pnZWEE2

2muu

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§3.4 电动势和全电路欧姆定律 一、 电源的作用

1、仅靠静电力的作用不能维持稳恒电流。必须存在非静电力的作用。 2、电源的作用就是提供非静电的外加力，迫使正电荷从低电势处逆着静电力经过内电路移到高电势处。

F非静电力3、非静电场的场强： K 作用于单位正电荷的非静电力

q4、不同的电源中非静电力的起源不同——

（1） 化学电源——化学力；

（2） 范德格拉夫起电机——机械力； （3） 一般发电机——电磁感应。

二、电动势

1、存在非静电场时，欧姆定律的微分形式修正为 j(EK)

2、电源电动势的定义： ƐKdl

3、意义：绕闭合路径一周，非静电力对单位正电荷所作的功。标量，在数值上等于电源开路时的路端电压。 4、全电路欧姆定律 Ɛ= I(R+r)

5、能量关系：电源电动势在数值上等于放电电流为1A时，非静电力所作的功率。

（1） 放电时，电源对外电路提供的功率为 UIII2r （2） 充电时，外电路对电源提供的功率为 UIII2r

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三、 稳恒电场在稳恒电路中的作用

1、在稳恒电路中，稳恒电场和非静电场共同作用维持闭合电流。 2、能量转换过程中，稳恒电场起着能量中转作用——将电源内的非静电能

转送到外电路上。 四、接触电势差 温差电动势

1、 珀耳帖电动势：

（1） 现象：两种紧密接触的金属，自由电子的数密度不同，在接触处

存在着源于自由电子数密度梯度的力，驱使电子由密度大的金属扩散迁移到密度小的金属。 （2） 珀耳帖电动势： ABkTnA （温度的函数） lnenB（3） 对于任何实际的金属，电子的数密度相差很小，因而珀耳帖电动

势通常只有百分之几伏。 （4） AB接触处既然存在非静电力，当有电流通过该处时，非静电力必

对电流作正功（或作负功）。作功时消耗（或吸收）的能量靠向接触处周围吸收（或放出）能量来补偿。钟表工人珀耳帖1834年发现了这一效应。楞次曾做实验验证。在铋和锑棒的接头处挖一空穴，其中装有水滴。当电流沿一个方向流过时，水滴会结冰；当电流反方向流过时，冰又融解成水。 （5） 在单一温度下仅依靠珀耳帖电动势不能在闭合回路中建立稳恒电

流。（符合热力学第二定律的要求） 2、汤姆孙电动势

（1）

现象：同一块金属中有温度梯度存在时，金属中就同时有电势梯度存在，所相当的电动势称为汤姆孙电动势。此时如果有电流通过，会产生附加的吸热或放热效应（汤姆孙效应）。 汤姆孙电动势 AdT

TATB（2） （3） （4）

σA为金属的汤姆孙系数，数值很小，如室温下铋的σA数量级为10-5V/0C。

用同一种金属，只依靠汤姆孙电动势，不能在闭合回路中产生稳恒电流。

3、温差电动势：

（1） 构成回路的两种不同金属A、B的连接点处于不同温度时，回路中

存在不为零的电动势——珀耳帖电动势和汤姆孙电动势之和。 （2） 应用：温差电偶温度计。热容量小，测温范围大、灵敏度与准确

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度高。

4、脱出功与外接触电势差：

（1） 脱出功：自由电子脱离金属时克服阻力所作的功。多数金属的脱

出功在1—6eV之间。 （2） 常温下，只有少数动能较大的电子能够脱离金属；随着温度的升

高，动能大于脱出功因而能够飞离金属的电子逐渐增多。温度达到10000C以上时，热电子发射。 （3） 在相互紧邻的金属A、B外侧靠近接触面处的两点间存在着电势差

-1

（数值约为10V至1V）。

思考题：P146 3-14 3-15 3-16 3-22 计算题：P150 3-19 3-20 3-21

--------------------------------------------------------------------- §3.5 电路定理

一、 一段含源电路的欧姆定律 1、表达式 UIR

2、意义：电路上任意两点a、b之间的电压等于从a到b的路径上，各电阻

上电势降落的代数和减去各电源的电动势所产生的电势升高的代数和。 3、符号法则：沿观察方向， “降正升负”。 二、 基尔霍夫方程及其应用 1、有关电路的基本概念：

（1） 支路：两点之间由多个元件串联而成的组合。一个支路中的各个

元件中通有相同的电流。 （2） 节点（分支点）：几个支路的联接点。

（3） 回路：电路中任意一个闭合路径。电路至少要有一个回路。 2、基尔霍夫第一方程（节点电流方程）

（1） 内容：对每一分支点，流入的电流等于流出的电流。 （2） 表达式： Ik0

k（3） 实质：稳恒电流条件下的电荷守恒定律。 3、基尔霍夫第二方程（回路电压方程）

（1） 内容：沿任意闭合回路绕行一周，回路中各电阻上电势降落的代

数和等于各电源的电动势造成的电势升高的代数和。

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（2） 表达式： IR

（3） 基础：稳恒电流场的环路定理。沿回路环绕一周回到出发点，电

势的数值不变。 4、基尔霍夫方程的应用

计算电路问题，归根结底是要计算在电流的作用下，电路中有多大的电流，各部分又有多大的电压。

（1） 在各条支路上，标出各支路中电流的方向； （2） n个分支点，列出n-1个节点电流方程； （3） 选定独立的闭合回路，列出回路电压方程； （4） 求解方程，得到未知量。 三、 叠加原理

1、内容：在具有几个电动势的电路中，几个电动势共同在某一支路中引起的电流，等于各个电动势单独存在时在该支路上所产生的电流之和。 2、应用：将复杂电路分解成若干比较简单的电路。 3、适用范围：计算线性电路中各电流和电压。 四、 电压源和戴维宁定理

1、内容：一个任意的两端有源网络和外电路相连，可以用一个有效电动势

和串联的内电阻来代替两端间原来的电路而不影响外部电路。此有效电动势等于该网络两端开路时的端电压，而内阻等于该网络除源后（将各电源的电动势短路但保留电源的内阻）两端间的电阻。 2、意义：一个实际电路可以看成是电动势为ε，内阻为0的理想电压源与

内阻r 的串联。 3、如果r=0，不论外电阻如何，电源提供的电压总是恒定值——恒压源（理

想电压源）。 五、 电流源和诺尔顿定理

1、内容：任何两端有源网络都可以用一个电流源代替而不影响外电路。电流源的I0等于网络两端短路时流经两端点的电流。并联的电阻r0等于该网络除源后两端间的电阻。 2、意义：一个实际电路可以看成一定的内阻r0与恒流源并联。 思考题：P146 3-18 3-21 3-22 3-23 3-24 3-25 3-26 3-27 计算题：P150 3-22——3-44

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