滤波算法、平滑算法整理

1.巴特沃斯滤波器

巴特沃斯滤波器的特点是同频带内的频率响应曲线最为平坦，没有起伏，而在组频带则逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界见频率开始，振幅随着角频率的增加而逐渐减少，趋向于负无穷大。

一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频20dB，二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12 dB，三阶的衰减率为每分贝18 dB，如此类推，巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且滤波器的结束越高，在组频带振幅衰减速度越快，其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低阶数的振幅对角频率有不同的形状。

H(s)H(s)1(1s2c

N)2上述函数的特点是等距离分布在半径为的圆上。

因此，极点用下式表示为

skceeHa(s)的表示式：

Ha(s)j2j(2k1)N k0,1,2,N1

nc(ssk0N1

k)为了使设计公式和图表统一，将频率归一化。巴特沃斯滤波器采用3dB截止频率c归一化，归一化后的系统函数为

Ga(s)c1

sk)c(k0N1sc令pjsc,c,称为归一化频率，p称为归一化复变量，这样巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为

Ga1N1k0

k(pp)式中，pksc，为归一化极点，用下式表示:

pke12k1j()22N k0,1,2,N1

巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的伯德图上,从某一边界角频率开始,振幅随着角频率的增加而逐步减少,趋向负无穷大。 2.切比雪夫滤波器

在巴特沃兹滤波器中，幅度响应在通带和阻带内都是单调的。因此，若滤波器的技术要求是用最大通带和阻带的逼近误差来给出的话，那么，在靠近通带低频端和阻带截止频率以上的部分都会超出技术指标。一种比较有效的途径是使逼近误差均匀地分布于通带或阻带内，或同时在通带和阻带内都均匀分布，这样往往可以降低所要求的滤波器阶次。通过选择一种具有等波纹特性而不是单调特性的逼近方法可以实现这一点。切比雪夫型滤波器就具有这种性质：其频率响应的幅度既可以在通带中是等波纹的，而在阻带中是单调的（称为I型切比雪夫滤波器），也可以在通带中是单调的，而在阻带中是等波纹的（称为II型切比雪夫滤波器）。I型切比雪夫滤波器的幅度平方函数是

12|HC(j)|212CN(/c) =

式中为N阶切比雪夫多项式，定义为

CN(x)cos(Ncos1x)

从定义切比雪夫多项式可以直接得出由公式。将三角恒等式代入，得

CN(x)和

CN1(x)求

CN1(x)的递推

CN1(x)我们注意到，当0=2x

CN(x)CN1(x)

2CN(x)1在0和1之间变化；当x>1时，cosx是

CN(x)/p|HC(j)|2像双曲余弦一样单调地增加。参考，对于021呈现出在1和1/（1）之间的波动；而对于/p〉1单调地减小。需要用三个参量来确定该滤波器：，p和N。在典型的设计中，用容许的通带波纹

来确定，而用希望的通带截止频率来确定带的技术要求得到满足。

c。然后选择合适的阶次N，以便阻

切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。

3.椭圆滤波器

是在通带和阻带等波纹的一种滤波器。椭圆滤波器相比其他类型的滤波器，在阶数相同的条件下有着最小的通带和阻带波动。它在通带和阻带的波动相同，这一点区别于在通带和阻带都平坦的巴特沃斯滤波器，以及通带平坦、阻带等波纹或是阻带平坦、通带等波纹的切比雪夫滤波器。椭圆滤波器的幅度函数为：

Ha(j)21

12Rn(W)式中为波纹参数，有理函数Rn(W)为： 当n为奇数时，k=

n1 ： 2Rn(W)W(W1W2)(W2W2)(WkW2)(1W1W)(1W2W)(1WkW)

222222222

当n为偶数时，k

n

： 2

Rn(W)(W1W2)(W2W2)(WkW2)(1W1W)(1W2W)(1WkW)22222222

式中0Wi1对于i1,2,k 这2k个共轭的零界频率对:

sjwi和sj有以下的两个性质：

1对于i1,2,k wH(jwi)1

2H(j1)0 wi2归一化椭圆滤波器的传输零点在高于1rads的频率上，在阻带内。 椭圆低通滤波器是一种零、极点型滤波器，它在有限频率范围内存在传输零点和极点。椭圆低通滤波器的通带和阻带都具有等波纹特性，因此通带，阻带逼近特性良好。对于同样的性能要求，它比前两种滤波器所需用的阶数都低，而且它的过渡带比较窄。但是椭圆滤波器传输函数是一种较复杂的逼近函数,利用传统的设计方法进行电路网络综合要进行繁琐的计算, 还要根据计算结果进行查表, 整个设计，调整都十分困难和繁琐。 4.中值滤波

由于线性滤波将破坏边缘，因而不能有效滤除脉冲噪声。中值滤波则是一种非线性滤波方式。设有一个序列：𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4, 𝑋5,将它们按照绝对值大小重新排列此序列：𝑋3, 𝑋2, 𝑋4, 𝑋5, 𝑋1。序列的中值就是𝑋4,此值就是中值滤波后的输出值。

中值滤波绝对阻止噪声峰值，因为中值滤波只取中位数，不取异常数据。属于低通滤波器，取中值为序列的输出，可以看作是对数据序列进行局部平滑，实质即低通滤波。

中值滤波对脉冲噪声有良好的滤除作用，特别是在滤除噪声的同时，能够保护信号的边缘，使之不被模糊。这些优良特性是线性滤波方法所不具有的。此外，中值滤波的算法比较简单，也易于用硬件实现。但中值滤波在噪声抑制和细节保留之间存在矛盾，滤波窗口越大，抑制噪声能力加强，因而会导致数据的很多细节丢失，很多信息可能会被破坏不能客观显示出来。 5.移动平均滤波

移动平均滤波基于统计规律，将连续的采样数据看成一个长度固定为N的队列，在新的一次测量后，上述队列的第一个数据去掉，其余N-1个数据依次前移，并将新的采样数据插入，作为新队列的尾；然后对这个队列进行算术运算，并将其结果作为本次测量的结果。

按给定的移动步距或面积和给定的重叠率，将相邻点或面内的数据依一定方向连续移动进行平均，求出代表各线段或面积内的平均值所进行的处理。移动平均是化探 数据整理中应用最广泛的一种方法，它可以在一度空间进行，但主要用在二度空间上。在化探数据空间分布中，任一点的趋势分量(或其分量)可以从

该点周围一定 范围内的其他各点的含量及其分布特点平均求得，参加平均的范围叫窗口。移动平均的标准做法是在原始数据图上，设置一个窗口，把落在窗口内的原始数据求平均 值，算作窗口中心的趋势值。然后将窗口依一定方向移动，求下一点的值。如此逐点逐行地移动，并计算平均值，直到覆盖全区为止。

具体算法是： y(k)=C1y(k)+ C2y(k-1)+…C𝑚y(k-m+1)式中y(k)表示第k次采样时刻的滤波输出，各y(i)表示第i次采样时刻的信号输入，括号中的数字i代表第i次采样时刻，C1、C2、…、C𝑚是加权系数。上式意义是将本次输入数据连同以前共m次的数据进行加权平均。如果各C𝑖值相同且等于1/m时，就成为m项算术平均运算。

移动平均滤波是一种对输入信号进行处理的算法或过程，是将一段时间的输入信号进行加权平均。由此可以看出,移动平均法的特点之一是相位延迟为一常数,就是说,在时域上,不论输入信号的波形如何,在同一种算法下,经滤波器后的输出,各频率分量的延时都相同,因此不会产生类似于模拟滤波器的相频特性的非线性引起的相位群时延失真,这个特点是模拟滤波器的特性所无法比拟的。在对速度的测量滤波中,采用加权移动平均的方法时,适当地选择加权值、平均点数及采样周期T,就可以得到较为满意的滤波效果。 二、平滑算法 1.移动平均法

移动平均法是一种简单平滑预测技术，它的基本思想是：根据时间序列资料、逐项推移，依次计算包含一定项数的序时平均值，以反映长期趋势的方法。因此，当时间序列的数值由于受周期变动和随机波动的影响，起伏较大，不易显示出事件的发展趋势时，使用移动平均法可以消除这些因素的影响，显示出事件的发展方向与趋势（即趋势线），然后依趋势线分析预测序列的长期趋势。 设有一时间序列

，则按数据点的顺序逐点推移求出N个数

的平均数，即可得到一次移动平均数：

式中

为第t周期的一次移动平均数；

为第t周期的观测值；N为

移动平均的项数，即求每一移动平均数使用的观察值的个数。

这个公式表明当t向前移动一个时期，就增加一个新近数据，去掉一个远期数据，得到一个新的平均数。由于它不断地“吐故纳新”，逐期向前移动，所以称为移动平均法。

由于移动平均可以平滑数据，消除周期变动和不规则变动的影响，使得长期趋势显示出来，因而可以用于预测。其预测公式为：

即以第t周期的一次移动平均数作为第t+1周期的预测值。

使用该方法对数字信号进行处理，能对信号抖动（尤其是含有脉冲式噪声）起到明显的压制作用。 2.最小二乘曲线拟合法

(x,y)从整体上考虑近似函数p(x)同所给数据点ii(i=0,1,…,m)误差rip(xi)yirip(xi)yi(i=0,1,…,m)

的大小，常用的方法有以下三种：一是误差

(i=0,1,…,m)绝对值的最大值

maxri0imm，即误差 向量

r(r0,r1,rm)T的∞—范数；二是误差绝对值的和

ri0i，即误差向量r的1—

范数；三是误差平方和i0rm2i的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种

方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，

因此在曲线拟合中常采用误差平方和i0大小。

rm2ir来 度量误差i(i=0，1，…，m)的整体

数据拟合的具体作法是：对给定数据 数类中,求p(x),使误差

m(xi,yi) (i=0,1,…，m)，在取定的函

rip(xi)yi2m(i=0,1,…,m)的平方和最小，即

rii0=i02p(x)yiimin

从几何意义上讲，就是寻求与给定点

(xi,yi)(i=0,1,…,m)的距离平方和为最

小的曲线

yp(x)。函数p(x)称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

最小二乘曲线拟合法是用简化的最小二乘法对实验数据进行平滑和求导处理，使用该方法对数字信号进行处理时，可根据不同情况选用不同的多项式，或改变数据组中数据点的个数，从而达到不同的滤波效果。是对实验数据进行平滑处理的一种有效的方法。 3.傅立叶变换

傅里叶积分建立在傅氏积分基础上。连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。

这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。 连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为

即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。一般可称函数 f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对。

通过傅立叶变换可把信号由时域转为频域，同时由于曲线峰信号和噪声在振幅谱、相位谱所处的区域不同，可在频域上对噪声进行平滑处理。然后反转换到时域上，从而完成曲线的平滑。 4.小波变换

以一维小波变换作为例。设f(x)为一维输入信号，记

jk(x)2j/2(2jxk)，

jk(x)2j/2(2jxk){jk(x)}，这里

(x)与(x)分别称为定标函数与子波函数，

与

{jk(x)}为二个正交基函数的集合。记𝑃0f =f，在第j级上的一维离散

小波变换DWT通过正交投影𝑃𝑗f与𝑄𝑗f将𝑃𝑗−1f分解为：

Pj1fPjfQjfckjjkdkjjkkk

其中：

ckjp1n01h(n)c2jkn，

dkj1g(n)c2jknn0p1

(j1,2,...,L,k0,1,...,N2j1)，与

这里，{h(n)}与{g(n)}分别为低通与高通权系数，它们由基函数

{jk(x)}{jk(x)}来确定，p为权系数的长度。

0{Cn}为信号的输入数据，N为输入信号的

长度，L为所需的级数。

小波变换具有将信号分频的特性，将信号分为低频和高频两部分，而各频率在时间轴的位置不变。分离出的低频部分可继续进行分解，多次变换后可将信号中的不同频率成分从原信号中分离出来,达到让曲线平滑的效果。