第6.6节一阶常系数线性差分方程

微积分教学设计 教学札记 教学对象：财经类，管理类等专业 教学内容：一阶常系数齐次线性差分方程、一阶常系数齐次（非齐次）线性差分方程的通解 教学目的：理解一阶常系数齐次（非齐次）线性差分方程的通解求法 教学方法：利用多媒体进行启发式教学 教学重点：一阶常系数线性差分方程的通解 教学难点：待定系数法求非齐次线性方程的特解 教学过程 1．一阶常系数线性差分方程 在n阶常系数线性方程中，当n1时，便得到一阶常系数线性差分方程的，即 yt1aytf(t) （1） 其中f(t)为t的已知函数，a为已知的非零常数。而（8.3.1）相应的齐次方程为 yt1ayt0 （2） 2．迭代法求一阶常系数齐次线性差分方程的通解 将方程（2），将其改写为yt1ayt，t0,1,2，假设在初始时刻（即t0），函数yt的取值为常数C（C任意），当t分别为0,1,2,时，逐次迭代算得 y1ay0aC， y2ay1(a)2C 34 y3ay2(a)C， y4ay3(a)C  于是，归纳可得方程（2）的通解为 t ytC(a)，t0,1,2, （3） 其中Cy0为任意常数。 例1 求差分方程Yt11.05Yt0的通解。 3．一阶常系数非齐次线性差分方程的通解 教学心得 2

求非齐次线性差分方程（1）的通解的程序为： 第1步：求相应齐次线性方程（2）的通解yc(t)； 第2步：求非齐次线性方程（1）的一个特解~y(t)； 第3步：写出非齐次线性方程（1）的通解yt~y(t)yc(t)。 注：求方程（8.3.1）的特解的常用方法为“迭代法”与“待定系数法”。  迭代法 将方程（1）改写为 yt1aytf(t)，t0,1,2, 则有：y1ay0f(0)f(0)（y00） y2ay1f(1)(a)f(0)f(1) 2 y3ay2f(2)(a)f(0)(a)f(1)f(2) 教学札记 y4ay3f(3)(a)f(0)(a)f(1)(a)f(2)f(3)32 由数学归纳法可证  3

~y(t)(a)t1f(0)(a)t2f(1)(a)f(t2)f(t1) t1 k0(a)kf(tk1) tt1为方程的一个特解，因此方程（1）的通解为 y(t)C(a)k0(a)kf(tk1)，其中C为任意常数。 t 例2 求差分方程yt11yt3的通解。 3 待定系数法 情形一：f(t)为常数 设f(t)b，其中b为非零常数。方程（8.3.1）相应地变为 yt1aytb C(a)tb,a11a 方程的通解为yt ,a1Cbt 例3 某客户在银行开了10000元的账户，年利率为4%，并计划以后每年年终再连续加存500元。试问t(t1,2,3)年末该客户账户有多少存款？ 例4 求差分方程yt1yt4的通解。 情形二：f(t)为t的多项式函数 以一次多项式为例：设f(t)b0b1t，其中b0、b1为常数，且b10。这时，方程（1）相应地变为 yt1aytb0b1t 则方程的通解为 教学心得 C(a)t(b1t(1a)b0b1),a1 21a(1a) yt 2b0b1b1Ct(t),a122 注：可以类似地讨论f(t)为t的k次多项式的一般情形。 例5 求差分方程yt12ytt的通解。 情形三：f(t)为指数函数 设f(t)bdt，其中b、d为非零的常数，且d1。这时，方程t相应地变为yt1aytbd， 则方程的通解为 ttbC(a)add yttt1C(a)btd,ad0,ad0

教学札记 4

例6 求差分方程yt11yt3的通解。 3t 例7 求差分方程3yt16yt2的通解。 t 情形四：f(t)为正弦—余弦型三角函数 设f(t)b1costb2sint，其中、且0，b1、b2为常数，b1与b2不同时为零。这时，方程（1）相应地变为 yt1aytb1costb2sint 则方程的通解为 tC(a)(A1costA2sint),D0 yt b1b2Ct(costsint),D0aa其中 D(cosa)2sin2 A11[b1(acos)b2sin]， D A21[b2(acos)b1sin]。 D 注：如果函数为f(t)bcost或f(t)bsint，作为特解的试解函数仍应为 ~y(t)A1costA2sint或~y(t)t(A1costA2sint) 例8 已知级数 Un 4．作业 n12cosn2Un的通项为 3sinn（n1,2,3,） 2求其部分和序列的通项Sn。 教学心得

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