高三文科数学试题及答案

数学试卷（文）

注意：该试卷总分150分，考试时间120分钟，交卷时只交答题卡.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接涂在答题卡相应位置上．

1. 已知集合A{1,1},B{xR|124},则AxB （ ）

A．[0,2) B．{ 1 } C．{1,1} D．{0,1}

2. 下列命题中错误的是 （ ）A．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C．如果平面平面，平面平面，1，那么直线l平面 D．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面

3. 已知{an}为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，

nN*，则S10的值为 （ ）

A．110 B．90 C．90 D．110

4. 若实数a，b满足a0,b0，且ab0，则称a与b互补，记(a,b)a2b2ab，那么(a,b)0是a与b互补的 （ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

5. 若a,bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是 （ ）

22A．ab2ab B．ab2ab

C．

112ba D．2 ababab0x26. 已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组y2给定。若M(x,y)为D

x2y上的动点，点A的坐标为(2,1)，则zOMOA的最大值为 （ ） A．3 B．4 C．32 D.42 (x1)f(x)0，7.函数f(x)在定义域R内可导，若 f(x)f(2x)，且当x(,1)时，

设af(0),bf(),cf(3)，则 （ ） A．abc B．cba C．cab D．bca 8.ysin(2x/123)的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点(12,0)中心对称 （ ）

个单位 B．向左平移个单位 126C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

126A．向左平移

9. 已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)()1，则f(x)的反函数的图像大致是 （ ）

12x

10. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互

不相同的概率为 （ ）

A．

5 21B．

2 7C．

1 3D．

8 21x2y211.已知F1(c,0),F2(c,0)为椭圆221的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1PF2c2,ab则此椭圆的离心率的取值范围是 （ ） A．[332211,1] B．[,] C．[,] D．(0,] 332232

12. 已知球的直径SC= 4，A，B是该球球面上的两点，AB3，ASCBSC30，则棱锥S-ABC的体积为 （ ）

A．19 B．3 C．23 D．33

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应

位置上．

13. 已知|a||b|2，(a2b)(ab)2，则a与b的夹角为 . 14. 已知sin1cos2的值为 . cos，且(0,)，则

22sin()4215.若一个圆的圆心在抛物线y4x的焦点处，且此圆与直线xy10相切，则这个圆的标准方程是 .

16．函数f(x)的定义域为A，若x1,x2A且f(x1)f(x2)时总有x1x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)2x1(xR)是单函数．下列命题：

2①函数f(x)x(xR)是单函数；

③若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象； ④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是该区间上的单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）

②若f(x)为单函数，x1,x2A且x1x2则f(x1)f(x2)；

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程．

17．（本小题满分10分）在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，a23，

tanABCtan4,2sinBcosCsinA，求A,B及b,c. 2218．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都是4， E是BC的 中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合． （I）当CF1时，求证：EFA1C；

（II）设二面角CAFE的大小为，求tan的最小值．

19．（本小题满分12分）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同，假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2，从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.

（I）在第一次灯泡更换工作中，求不需要更换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；

（II））在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率； （Ⅲ）当p10.8,p20.3时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换4只灯泡的概率（结果只保留两个有效数字）.

20．（本小题满分12分）已知关于x的函数f(x)13xbx2cxbc，其导函数f(x). 3（Ⅰ）如果函数f(x)在x=1处有极值-,试确定b、c的值；

（Ⅱ）设当x(0,1)时，函数yf(x)c(xb)图象上任一点P处的切线斜率为k，若k1，求实数b的取值范围.

21．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn2ann，且bn数列{bn}的前n项和为Tn.

（I）求证：{an1}为等比数列； （Ⅱ）求Tn.

43an1，anan1x2y222．（本小题满分12分）P(x0,y0)(x0a)是双曲线E:2-21(a0，b0)上一点，

ab1M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM、PN的斜率之积为.

5（I）求双曲线的离心率；

（II）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线E于A，B两点，O为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OCOAOB，求的值.

数学试卷（文）参考答案

一、1.B 2. D 3. D 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 9. A 10. D 11.C 12. B

1422二、13. 14.  15.(x1)y2 16. ②③④

23CCcossinABCCC224， 三、17．由tantan4得cottan4，∴

CC2222sincos22151∴. 4，∴sinC，又C(0,)，∴C，或CCC266sincos22由2sinBcosCsinA得 2sinBcosBsin(BC)，即sin(BC)0， ∴BC，BC6，A(BC)2. 31abcsinB由正弦定理,得bca2322. sinAsinAsinBsinC3218．解法一：过E作ENAC于N，连结EF.

（I）如图1，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面ABC侧面A1C.

又底面ABC侧面A1C=AC，且EN底面ABC，所以EN侧面A1C，

∴NF是EF在侧面A1C内的射影， 在RtCNE中，CNCEcos601,则由

CFCN1，得NF//AC1， CC1CA4又AC1A1C，故NFA1C，由三垂线定理知EFA1C.

（II）如图2，连结AF，过N作NMAF于M，连结ME，由（I）知EN侧面A1C，根据三垂线定理得EMAF,所以EMN是二面角C—AF—E的平面角，即EMN. 设FAC,则045，在RtCNE中，NEECsin603, 在RTAMN中，MNANsin3sin, 故tanNE3. MN3sin又04,0sin22,即当45时，tan达到最小值， ，故当sin22tan362，此时F与C1重合. 33解法二：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得

A(0,0,0),B(23,2,0),C(0,4,0),A1(0,0,4),E(3,3,0),F(0,4,1),

于是CA1(0,4,4),EF(3,1,1).CA1EF(0,4,4)(3,1,1)0440, 故EFA1C.

（II）设CF(04)平面AEF的一个法向量为m(x,y,z)， 则由（I）得F(0,4,)，AE(3,3,0),AF(0,4,), 于是由mAE,mAF可得

3x3y0,mAE0,即4yz0. mAF0,取m(3,,4).

又由直三棱柱的性质可取侧面

AC1的一个法向量为n(1,0,0)，

2|mn|316216116cos,sintan222|m||n|2433， 324，∴ 于是由为锐角可得

由04，得

11161, ，即tan33346. 3 故当4，即点F与点C1重合时，tan取得最小值

19．解：（I）在第一次灯泡更换工作中，不需要更换灯泡的概率为p1，需要更换2只灯泡的

232概率为C5p1(1p1).

52（II）对该盏灯来说，在第一、二次都更换了灯泡的概率为(1p1)；在第一次未更换灯泡而2在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1p2),故所求概率为 p(1p1)p1(1p2).

（Ⅲ）至少换4只灯泡包括换4只和换5只两种情况.

145换5只的概率为p（其中p为（II）中所求，下同），换4只的概率为C5p(1p), 514故至少换4只灯泡的概率为p3pC5p(1p).

22又当p10.8,p20.3时，p(1p1)p1(1p2)0.20.80.70.6.

p30.6550.640.40.34.即满2年至少需要换4只灯泡的概率为0.34.

20．解：f'(x)x2bxc （Ⅰ）因为函数f(x)在x1处有极值24 3f'(1)12bc0b1b1 所以 ,解得或. 14c1c3f(1)bcbc33（i）当b1,c1时，f'(x)(x1)0, 所以f(x)在R上单调递减，不存在极值. （ii）当b1,c3时，f'(x)(x3)(x1),

x(3,1)时，f'(x)0，f(x)单调递增;x(1,)时，f'(x)0，f(x)单调递减; 所以f(x)在x1处存在极大值，符合题意. 综上所述，满足条件的值为b1,c3.

.

2（Ⅱ）当x(0,1)时，函数yf(x)c(xb)213xbx2, 3 设图象上任意一点P(x0,y0)，则ky'|xx0x02bx0,x0(0,1)，

2 因为k1，所以对任意x0(0,1)，x02bx01恒成立，

2x01 所以对任意x0(0,1)，不等式b恒成立.

2x0x2111(x)，故g(x)在区间(0,1)上单调递减， 设g(x)2x2x所以对任意x0(0,1)，g(x0)g(1)1,所以b1.

Sn2ann,21．解：（I） 由(n2)，得an12(an11)，

S2a(n1),n1n1 又因为S12a11，所以a11,a1120， 所以{an1}是以-2为首项，2为公比的等比数列，

n1n 所以an1222.

2n11(II) 由（I）知，bn, (12n)(12n1)2n112n1故Tn[(11112)(23)21212121(111)]1. 2n12n112n1122x0y0x2y222．解：∵点P(x0,y0)(x0a)在双曲线2-21上，∴2-21.

abab由题意

y0y0301. ，可得a25b2，c2a2b25b2，则e5x0ax0a5x2-5y25b2，22（II）由 得4x10cx35b0.

yxc，5cxx，212设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则2 ① 35bx1x2.4x3x1x2,设OC(x3,y3),OCOAOB,

yyy.123x2y2222x35y35b2，5(y1y2)又C为双曲线2-21上一点，即(x1x2)ab25b.2

222222化简得，(x15y1)(x25y2)2(x1x25y1y2)5b.

222222又A(x1,y1)，B(x2,y2)在双曲线上，所以x15y15b,x25y25b.

22由①式得，x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c10b，

240，解得0或4.