特别鸣谢资源原创者，本人仅仅便于自己的备课整理排版了一下。
第十一章 全等三角形复习
一、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形.
2、全等三角形有哪些性质
(1)：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等. 3、全等三角形的判定
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS\")
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”) 角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”） 方法指引斜边。直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”）
证明两个三角形全等的基本思路：4、证明两个三角形全等的基本思路： （1）：已知两边----找第三边(SSS)找夹角（SAS)找是否有直角(HL)找这边的另一个邻角(ASA)已知一边和它的邻角(2):已知一边一角---已知一边和它的对角找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角(AAS)找一角(AAS)已知角是直角，找一边(HL)找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边(AAS)练习 二、角的平分线：(3):已知两角--- 1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2、(判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 三、学习全等三角形应注意以下几个问题：
（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义； (2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
(3）“有三个角对应相等\"或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; （4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边\"、“对顶角”
第十二章 轴对称
一、轴对称图形
1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴.这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点
1
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系 知识回顾：3、轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形A轴对称A'图形BACBCC'B'区别(1)轴对称图形是指( )一个具有特殊形状的图形,只对( )图形而言;一个(2)对称轴( )不一定只有一条如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.(1)轴对称是指( )两个图形的位置关系,必须涉及( )两个图形;(2)只有( )一条对称轴.如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.联系
4。轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线
1。 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线. 2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上 三、用坐标表示轴对称小结：
在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数。关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等.
点（x， y）关于x轴对称的点的坐标为______。 点（x， y)关于y轴对称的点的坐标为______。
2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等 四、（等腰三角形）知识点回顾 1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角）
②。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 2、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。(等角对等边） 五、（等边三角形）知识点回顾 1.等边三角形的性质:
等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于600 。 2、等边三角形的判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
3。在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 4.直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半、
2
常见图形
一、轴对称型：
二、相交线型
三、旋转型
１．三角形全等的判定一（SSS）
1．如图，AB＝AD,CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？
２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．
B求证△ACD≌△CBE．
C
３．如图，点B,E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF， BBE=CF． 求证∠A=∠D．
3
ACDAD
E
４．已知，如图，AB=AD，DC=CB．求证:∠B=∠D。
C
５．如图, AD＝BC， AB＝DC, DE＝BF。 求证：BE＝DF。
EDD A B
CAFB
２．三角形全等的判定二（SAS）
1．如图,AC和BD相交于点O,OA=OC，OB=OD．求证DC∥AB．
2．如图，△ABC≌△ABC，AD，AD分别是△ABC，△ABC的对应边上的中线，AD与AD有什么关系?证明你的结论．
3．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与
C 位置关系，并证明你的结论．
D A E
D B
4．已知：如图，AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA．
A B
4
C
5．已知:如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF.求证:△AFD≌△CEB．
D A
E
F C
B
6．已知,如图,AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE． A
C 1
2
BE
D
7．已知:如图，点B,E,C,F在同一直线上，AB∥DE，且AB=DE，BE=CF。 求证:AC∥DF．
8．已知：如图，AD是BC上的中线 ，且DF=DE．求证:BE∥CF．
9．如图， 在△ABC中, 分别延长中线BE、CD至F、H， 使EF＝BE, DH＝CD， 连结AF、AH． 求证：(1） AF＝AH； AHF
DE
(2）点A、F、H三点在同一直线上； （3)HF∥BC。
BC
10．如图， 在△ABC中, AC⊥BC, AC＝BC， 直线EF交AC于F， 交AB于E, 交BC的延长线于D, 连结AD、BF， CF＝CD。 求证:BF＝AD, BF⊥AD。
A
E
F
BCD
5
11．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．(提示：首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证）
12．证明：如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．
13.已知：如图，正方形ABCD，BE=CF，求证：（1）AE=BF； （2）AE⊥BF。 AD FG BCE14．已知:E是正方形ABCD的边长AD上一点,BF平分∠EBC，
E A 交CD于F，求证BE=AE+CF。（提示：旋转构造等腰） D
F
B C
0
15.如图，△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90.（1）判断CD与BE有怎样的数量关系;（2)探索DC与BE的夹角的大小。（3)取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的位置关系。
6
３~４．三角形全等的判定三、四（ASA、AAS)
1．如图,点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证AB=DE，AC=DF．
2．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D,AD=2。5cm，DE=1.7cm． 求BE的长．
3．已知，D是△ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。 求证：AE=CE。 A F E
D
B
4．已知：如图 ， 四边形ABCD中 , AB∥CD ， AD∥BC．求证:△ABD≌△CDB
C
5．如图, 在△ABC中， AC⊥BC, CE⊥AB于E， AF平分∠CAB交CE于点F， 过F作
AFD∥BC交AB于点D. 求证：AC＝AD.
E
D
F BC
Q
PD6．如图, AD∥BC， AB∥DC， MN＝PQ。 求证：DE＝BE。
C EA BN
M
7
7．如图, 在ABC中, ∠A＝90°, BD平分B， DE⊥BC于E, 且BE＝EC,
（1)求∠ABC与∠C的度数； (2）求证:BC＝2AB. 8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. (1)求证：AE⊥BE；
A D
E
（2)求证：E是CD的中点；
B C
（3）求证:AD+BC=AB.
9．已知，如图Rt△ABC，∠BAC=90°，AD⊥BC，D为垂足，∠ABD的平分线交AD于E点，EF∥AC，求证：AE=EF. A
E
B C D F
A°
10．△ABC是等腰直角三角形 ，∠BAC=90,AB=AC.
M⑴若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N， 求证：DM＝DN。 N
DCB
M
A⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM和DN有何数量关系.
C DBN
8
11．已知：C点的坐标为（4，4)，A为y轴负半轴上一动点,连CA,CB⊥CA交
x轴于B。① 求证:CA＝CB;
② 问OB－OA是否为定值，是定值并求其定值。
C
OB
A
12．已知A（－4,0）,B（0，4），C（0,－4），过O作OM⊥ON分别交AB、AC于M、N两点。①求证：OM＝ON；
②连MN,MN交x轴于Q，若M点的纵坐标为3,求M与N的坐标.
Y
BM
Q
OAX
N
５．三角形全等的判定五（HL）
C1．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高．求证：(1）BD=CD；（2)∠BAD＝∠CAD．
A
B D2．如图，AC⊥CB，DB⊥CB,AB＝DC．求证：∠ABD＝∠ACD．
A
C
3．已知:如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DEBF． D
求证：(1)AFCE;（2）AB∥CD．
F
E
A
9
CDBC
B
4．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC，求证：EB=FC
5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF． 求证：AD是△ABC的角平分线．
６．角的平分线的性质
1．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E,BE,CD相交于点O，OB=OC． 求证∠1=∠2．
2．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D,PE⊥OB交OB于E．F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证DF=EF．
3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB, DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF． 求证：AD是△ABC的角平分线．
4．如图， 在ABC中， ∠A＝90°， BD平分B, DE⊥BC于E， 且BE＝EC,
（1）求∠ABC与∠C的度数； (2）求证：BC＝2AB。
10
７．倍长中线法与截长补短法
1．在△ABC中,AB=5，AC=3，AD为BC边的中线,则AD的长的取值范围是（ ）。 A.1〈<4 B。3〈<5 C.2〈<3 D。0〈〈5
2．AD是△ABC中BC边上的中线,AB=4，AC=6，则AD的取值范围是 。 3．如图，△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=
0
∠CAE=90。(1)判断CD与BE有怎样的数量关系;(2）探索DC与BE的夹角的大小.(3）取BC的中点M，连MA,探讨MA与DE的位置关系。 4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC。 （1)求证：AE⊥BE；
A D
E （2)求证：E是CD的中点;
B C
（3）求证：AD+BC=AB。
0
5．如图△ABC中，∠A=50，AB>AC，D、E分别在AB、AC上，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，BE、CD相交于O点,求∠BOC的度数. A
ED O
6．△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,E在AB边上,F在AC边上，判断并证明BE+CF与EF的大小？。
A
E F
CBD
BC11
7．已知:如图,在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2, 求证：BC=AB+AD． (分别用截长法和补短法各证一次）
1
2 B
8．已知,如图，在正方形ABCD中AB=AD,∠B＝∠D＝90°． （1）如果BE＋DF＝EF，求证：①∠EAF＝45°；②FA平分∠DFE．
（2)如果∠EAF＝45°，求证：①BE＋DF＝EF．②FA平分∠DFE．
（3)如果点F在DC的延长线上，点E在CB的延长线上，且DF－BE ＝EF,求证:①∠EAF＝45°；②FA平分∠DFE．（画图并证明)
AA
D
C
DFBEC８．全等三角形检测
一．选择题： 1。在△ABC、△DEF中如果∠C=∠D,∠B=∠E，要使△ABC≌△FED，还需要的条件是（ ）
AA。AB=ED B。AB=FD C。AC=FD D.∠A=∠F
F2。如图：AB∥CD，AD∥BC，AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，
OCF⊥BD于F点，那么图中全等三角形共有( ) EBBCA.5对 B.6对 C。7对 D。8对
D3。如图，D在AB上，E在AC上且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是( ）
CAA.AD=AE B.∠AEB=∠ADC C。BE=CD D.AB=AC E4。如图：某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现有要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ) A。带①去 B.带②去
C。带③去 D。带①和②去 5.下列说法中，正确的个数是（ ）
①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;②两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等；③两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；④有两边相等的直角三角形全等；⑤腰和一个角分别对应相等的两等腰三角形全等。 A。1个 B。2个 C。3个 D。4个
12
D
6。在△ABC中，AB=5，AC=3,AD为BC边的中线,则AD的长的取值范围是（ ）. A。1〈<4 B。3<〈5 C.2〈〈3 D。0<〈5
7.下列四个命题: ①直角三角形只有一条高线；②有两边对应相等的两个直角三角形一定全等；③两内角之差等于第三个内角的三角形必为直角三角形；④腰和底角对应相等的两个等腰三角形一定全等。其中正确的命题有( ）.
A.1个 B。2个 C.3个 D.4个
8.等腰三角形周长为a,一腰的中线将周长分成5:3两部分,则它的底边长为( ). A.
aaaa4a B. C。或 D. 626259.下列条件中,能判断两个等腰三角形全等的条件的个数是( ）。 ①顶角和一条腰对应相等； ②一条腰和底边对应相等； A③顶角和底边对应相等; ④两条腰和底角对应相等． FA.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ED10。已知:如图，BD为△ABC的的角平分线，且BD=BC,E为BD延
长线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB，F为垂足. 下列结论：①△ABD≌△EBC； ②∠BCE+∠BCD=180°； ③AD=AE=EC； CBD④BA+BC=2BF。 其中正确的是（ ).
EA.①②③ B。①③④ C.①②④ D。①②③④ A11.如图：已知AD⊥AB，AE⊥AC,AD=AB，AE=AC则下列结论：①∠DAC=∠BAE；②△DAC≌△BAE;③DC⊥BE;④MA平分
M∠DME;⑤△BMC≌△CEA;正确个数是（ )
BCADA.2个 B。3个 C.4个 D.5个
12.如图P是等腰Rt△ABC斜边AC上任意一点,PE⊥AB于E，PF⊥BCPE于F ,PG⊥EF于G ,在GP的延长线上取一点D，使PD=PB，则BC
G与DC关系是（ ）
A.BC=DC B。BC=DC，且BC⊥DC BCFC。BC>DC D。BC⊥DC
二．填空题：
13。AD是△ABC中BC边上的中线,AB=4，AC=6，则AD的取值范围A是 .
0ED14.如图△ABC中，∠A=50，AB>AC，D、E分别在AB、AC上，且OBD=CE,∠BCD=∠CBE,BE、CD相交于O点，则∠BOC的度数
BC为 。 EA15。已知:如图，点A在线段DE上，点F在线段AB上，且∠1D1=∠2=∠3，要使得△ABC≌△EDC，需要添加的一个条件是 3F _____________(只需写出一个满足的条件) 2BC16。已知△ABC中，高AD与高BE交于H点，BH=AC，则∠ABC的度数等于 。
74
317。如图，∠1=∠2=25°,∠3=∠4，∠5=∠6，则∠7= 。
215618。有一张等腰三角形纸片, 若能从一个底角的顶点出发, 将其
剪成两个等腰三角形纸片， 则原等腰三角形纸片的顶角为 度。
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三．解答题:
19．如图，已知:AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE． 求证：△ABD≌△ACE．
20．如图，AB＝AD,BC＝DE，∠1＝∠2，求证：（1)AC＝AE；（2）∠CAE＝∠CDE
21．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点,且BE＝AC,延长BE交AC于F,求证：AF＝EF．
22．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E，并且AE＝
1（AB＋AD）．①求证：BC=DC．②求∠2DCEBDADEBCEA21BDCAFCABC＋∠ADC的度数．
AEB23．如图，△ABE和△ACF分别是以△ABC的AB、AC为一边在形外所作的等边三角形,BF与CE相交于O．①求证:BF=EC．②求∠EOB的度数．③求证：OA平分∠EOF．
E
AF
14
BOC
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