未央区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

未央区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为（ ）

A．1 B． C． D．

2． 定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f（7）=6，则f（x）（ ） A．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6 B．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6 C．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6 D．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6 3． 已知实数x，y满足有不等式组A．2

B．

C．

D．

，且z=2x+y的最大值是最小值的2倍，则实数a的值是（ ）

4． 已知数列an为等差数列，Sn为前项和，公差为d，若A．

S2017S17100，则d的值为（ ） 20171711 B． C．10 D．20 2010第 1 页，共 19 页

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5． 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，则△ABC的形状为（ ） A．等腰三角形 C．等腰直角三角形 A．（﹣7，﹣4）

B．直角三角形

=（ ）

D．等腰三角形或直角三角形 B．（7，4）

C．（﹣1，4）

6． 已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量

D．（1，4）

2x1，则曲线yfx在点1，f1处切线的斜率为（ ） x1A．1 B．1 C．2 D．2 7． 已知函数fx18． 设复数z满足z（1+i）=2（i为虚数单位），则z=（ ）

A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i

9． 已知抛物线x2=﹣2y的一条弦AB的中点坐标为（﹣1，﹣5），则这条弦AB所在的直线方程是（ ） A．y=x﹣4 B．y=2x﹣3 C．y=﹣x﹣6 D．y=3x﹣2

10．已知圆M过定点(0,1)且圆心M在抛物线x2y上运动，若x轴截圆M所得的弦为|PQ|，则弦长

2|PQ|等于（ ）

A．2 B．3 C．4 D．与点位置有关的值

【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，难度较大.

11．函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0

B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0

12．执行如图所以的程序框图，如果输入a=5，那么输出n=（ ）

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A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题

13．已知α为钝角，sin（ 14．计算：

1

×5﹣= ．

+α）=，则sin（﹣α）= ．

15．运行如图所示的程序框图后，输出的结果是

16．已知命题p：实数m满足m2+12a2＜7am（a＞0），命题q：实数m满足方程在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为 ． 17．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ccosBa则边c的最小值为_______．

【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．

18．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四

+

=1表示的焦点

13b，ABC的面积Sc， 212第 3 页，共 19 页

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名学生回答如下：

甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”

结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的 两人说对了．

三、解答题

19．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）． （Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；

（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．

x2y220．（本小题满分12分）已知F1,F2分别是椭圆C：221(ab0)的两个焦点，且|F1F2|2，点

ab6(2,)在该椭圆上．

2（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与以原点为圆心，b为半径的圆上相切于第一象限，切点为M，且直线l与椭圆交于P、Q两

点，问F2PF2QPQ是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由．

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21．为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100 分）进行统计，得到如下的频率分布表，请你根据频率分布表解答下列问题： （1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值；

（2）为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识，成绩不低于85分的学生能获奖，请估计在参加的800名学生中大约有多少名学生获奖？

（3）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序的功能是什么？求输出的S的值． 序号 （i） 1 2 3 4 合计 分组 组中值 频数 频率 （分数） （Gi） [60，70） 65 [70，80） 75 [80，90） 85 [90，100） 95 （人数） （Fi） 0.10 ① 20 ③ ④ 50 ② 0.20 ⑤ 1

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22．（本小题满分12分）

33a21x9x无极值点. 设p：实数满足不等式3a9，：函数fxx332（1）若“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数的取值范围；

11（2）已知“pq”为真命题，并记为，且：a22mamm0，若是t的必要不充分

22条件，求正整数m的值．

23．已知函数f（x）=sin2x•sinφ+cos2x•cosφ+sin（π﹣φ）（0＜φ＜π），其图象过点（（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若x0∈（

24．已知函数f（x）=lnx﹣ax﹣b（a，b∈R）

（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值1，求a，b的值 （Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性

（Ⅲ）对于函数f（x）图象上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），不等式f′（x0）＜k恒成立，其中k为直线AB的斜率，x0=λx1+（1﹣λ）x2，0＜λ＜1，求λ的取值范围．

，π），sinx0=，求f（x0）的值．

，．）

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未央区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】 C

【解析】解：第一次循环第四次循环得到的结果…

所以S是以4为周期的，而由框图知当k=2011时输出S ∵2011=502×4+3 所以输出的S是 故选C

2． 【答案】D

【解析】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数， ∴函数f（x）在x=7时，函数取得最大值f（7）=6， ∵函数f（x）是偶函数，

∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6， 故选：D

3． 【答案】B

【解析】解：由约束条件

作出可行域如图，

第二次循环得到的结果

第三次循环得到的结果

联立，得A（a，a），

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联立，得B（1，1），

化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z， 由图可知zmax=2×1+1=3，zmin=2a+a=3a， 由6a=3，得a=． 故选：B．

【点评】本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

4． 【答案】B 【解析】

试题分析：若an为等差数列，

Snnna1nn1ddS2a1n1，则n为等差数列公差为,

n22nS2017S17d1100,2000100,d,故选B. 201717210

考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式. 5． 【答案】D

【解析】解：∵sinC+sin（B﹣A）=sin2A， ∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A， ∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA， ∴2cosA（sinA﹣sinB）=0， ∴cosA=0，或sinA=sinB， ∴A=

，或a=b，

∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A，

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形 故选：D．

【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及三角函数公式的应用，本题易约掉cosA而导致漏解，属中档题和 易错题．

6． 【答案】A

【解析】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到则向量

=

=（﹣7，﹣4）；

故答案为：A．

=（3，1），向量

=（﹣4，﹣3），

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【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．

7． 【答案】A 【解析】

试题分析：由已知得fx

2x1112，则f'x2，所以f'11． xxx考点：1、复合函数；2、导数的几何意义. 8． 【答案】A

【解析】解：∵z（1+i）=2，∴z=故选：A．

【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．

9． 【答案】A

22

【解析】解：设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=﹣2，x1=﹣2y1，x2=﹣2y2． 两式相减可得，（x1+x2）（x1﹣x2）=﹣2（y1﹣y2） ∴直线AB的斜率k=1，

∴弦AB所在的直线方程是y+5=x+1，即y=x﹣4． 故选A，

10．【答案】A

【解析】过M作MN垂直于x轴于N，设M(x0,y0)，则N(x0,0)，在RtMNQ中，|MN|y0，MQ为圆的半径，NQ为PQ的一半，因此

222|PQ|24|NQ|24(|MQ|2|MN|2)4[x0(y01)2y0]4(x02y01)

222又点M在抛物线上，∴x02y0，∴|PQ|4(x02y01)4，∴|PQ|2.

==1﹣i．

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11．【答案】A

【解析】解：f（0）=d＞0，排除D， 当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，

2

函数的导数f′（x）=3ax+2bx+c，

则f′（x）=0有两个不同的正实根， 则x1+x2=﹣

＞0且x1x2=

＞0，（a＞0），

∴b＜0，c＞0，

2

方法2：f′（x）=3ax+2bx+c，

由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上， 则a＞0，且x1+x2=﹣∴b＜0，c＞0，

故选：A

12．【答案】B

【解析】解：a=5，进入循环后各参数对应值变化如下表： p 15 20 结束 q 5 25 n 2 3 ∴结束运行的时候n=3． 故选：B．

＞0且x1x2=

＞0，（a＞0），

【点评】本题考查了程序框图的应用，考查了条件结构和循环结构的知识点．解题的关键是理解题设中语句的意义，从中得出算法，由算法求出输出的结果．属于基础题．

二、填空题

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13．【答案】 ﹣

【解析】解：∵sin（∴cos（=sin（

﹣α）=cos[+α）=，

． +α）=， ﹣（

+α）]

∵α为钝角，即∴∴sin（∴sin（=﹣=﹣

， ＜

﹣

＜α＜π，

，

﹣α）＜0， ﹣α）=﹣

故答案为：﹣．

【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．

14．【答案】 9 ．

【解析】解：

1×5﹣=

×=×=（﹣5）×（﹣9）×=9，

∴

故答案为：9．

15．【答案】 0

1

×5﹣=9，

【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin由于sin

周期为8，

+sin+…+sin的值，

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所以S=sin+sin+…+sin=0．

故答案为：0．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．

16．【答案】 [，] ．

22

【解析】解：由m﹣7am+12a＜0（a＞0），则3a＜m＜4a 即命题p：3a＜m＜4a， 实数m满足方程

+

=1表示的焦点在y轴上的椭圆，

则，

，解得1＜m＜2，

若p是q的充分不必要条件， 则解得

，

，

故答案为[，]．

【点评】本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，根据不等式的性质和椭圆的性质求出p，q的等价条件是解决本题的关键．

17．【答案】1

18．【答案】乙 ，丙

【解析】【解析】

甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得

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丙正确，此时乙正确。故答案为：乙，丙。

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x）=﹣a=

，

若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，

（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1， ∵f（）＞2a﹣2， ∴lna+a﹣1＜0，

令g（a）=lna+a﹣1， ∴当0＜a＜1时，g（a）＜0， 当a＞1时，g（a）＞0， ∴a的取值范围为（0，1）．

∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，

【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．

20．【答案】

力、探索性能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．

【解析】【命题意图】本题考查椭圆方程与几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查逻辑思维能

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21．【答案】

【解析】解：（1）由分布表可得频数为50，故①的数值为50×0.1=5， ②中的值为

=0.40，③中的值为50×0.2=10，

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④中的值为50﹣（5+20+10）=15，⑤中的值为（2）不低于85的概率P=

×0.20+0.30=0.40，

=0.30；

∴获奖的人数大约为800×0.40=320； （3）该程序的功能是求平均数，

S=65×0.10+75×0.40+85×0.20+95×0.30=82， ∴800名学生的平均分为82分

22．【答案】（1）aa1或2a5；（2）m1.

【解析】

（1）∵“pq”为假命题，“pq”为真命题，∴p与只有一个命题是真命题． a2a1．………………………………5分 若p为真命题，为假命题，则a1或a5a22a5．……………………………………6分 若为真命题，p为假命题，则1a5于是，实数的取值范围为aa1或2a5．……………………………………7分

第 16 页，共 19 页

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考点： 1、不等式；2、函数的极值点；3、命题的真假；4、充要条件. 23．【答案】

【解析】（本小题满分12分）φ 解：（Ⅰ）f（x）===

+）

）知：

所以：φ=

（k∈Z）

+

﹣

由f（x）图象过点（

所以f（x）=令即：

所以：函数f（x）在[0，π]上的单调区间为：

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（Ⅱ）因为x0∈（π，2π），则：

2x0∈（π，2π） 则：sin所以

=

=）=

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调区间的确定，三角函数的求值问题，属于基础题型．

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f（x）的导数为f′（x）=﹣a， 由题意可得f′（1）=0，且f（1）=1， 即为1﹣a=0，且﹣a﹣b=1，

解得a=1．b=﹣2，经检验符合题意． 故a=1，b=﹣2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=﹣a，x＞1，0＜＜1， ①若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增；

②0＜a＜1，x∈（1，），f′（x）＞0，x∈（，+∞），f′（x）＜0； ③a≥1，f′（x）＜0．f（x）在（1，+∞）递减． 综上可得，a≤0，f（x）在（1，+∞）递增；

0＜a＜1，f（x）在（1，）递增，在（，+∞）递减； a≥1，f（x）在（1，+∞）递减． （Ⅲ）f′（x0）=

﹣a=

=

＜

， ﹣a，

=

﹣a，

直线AB的斜率为k=f′（x0）＜k⇔

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即x2﹣x1＜ln即为令t=

﹣1＜ln

[λx1+（1﹣λ）x2]， [λ+（1﹣λ）

]，

＞1，t﹣1＜lnt[λ+（1﹣λ）t]，

即t﹣1﹣tlnt+λ（tlnt﹣lnt）＜0恒成立， 令函数g（t）=t﹣1﹣tlnt+λ（tlnt﹣lnt），t＞1， ①当0＜λ

时，g′（t）=﹣lnt+λ（lnt+1﹣）=

，

令φ（t）=﹣tlnt+λ（tlnt+t﹣1），t＞1，

φ′（t）=﹣1﹣lnt+λ（2+lnt）=（λ﹣1）lnt+2λ﹣1，

当0＜λ≤时，φ′（t）＜0，φ（t）在（1，+∞）递减，则φ（t）＜φ（1）=0， 故当t＞1时，g′（t）＜0，

则g（t）在（1，+∞）递减，g（t）＜g（1）=0符合题意； ②当＜λ＜1时，φ′（t）=（λ﹣1）lnt+2λ﹣1＞0， 解得1＜t＜当t∈（1，当t∈（1，则有当t∈（1，即有0＜λ≤．

【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用，不等式恒成立思想的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．

，

），φ′（t）＞0，φ（t）在（1，），g′（t）＞0，g（t）在（1，

），g（t）＞0不合题意．

）递增，φ（t）＞φ（1）=0； ）递增，g（t）＞g（1）=0，

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