第五章 相交线与平行线
【知识要点】 1.两直线相交
2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。
3.对顶角定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) 。 （1） 对顶角的性质：对顶角相等。
4．垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线互相垂直。 5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。 6．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b是平行线，可记作“a∥b” 7．平行公理及推论
（1）平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 注：
（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。 （2）平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c，则a∥c。
8．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。 9．平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内） （2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内） （3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内） 10．平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内） （2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内） （3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 补充：
（5）平行的定义；（在同一平面内） （6）在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行。 ．．．．．．11.平移的定义及特征
定义：将一个图形向某个方向平行移动，叫做图形的平移。 特征：①平移前后的两个图形形状、大小完全一样；
②平移前与平移后两个图形的对应点连线平行且相等。 【典型例题】
考点一：对相关概念的理解
对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等 例1：判断下列说法的正误。
（1） 对顶角相等； （2） 相等的角是对顶角； （3） 邻补角互补；
（4） 互补的角是邻补角； （5） 同位角相等； （6） 内错角相等； （7） 同旁内角互补；
（8） 直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；
1
（9） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （10） 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （11） 两直线不相交就平行；
（12） 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。 练习：下列说法正确的是（ ）
A、相等的角是对顶角 B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离 C、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。 D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行
考点二：相关推理（识记）
（1）∵a∥c，b∥c（已知） ∴______ ∥______（ ） （2）∵∠1=∠2，∠2=∠3（已知） ∴______ =______（ ）
（3）∵∠1+∠2=180°，∠2=30°（已知） ∴∠1=______（ ） （4）∵∠1+∠2=90°，∠2=22°（已知） ∴∠1=______（ ） （5）如图（1），∵∠AOC=55°（已知） ∴∠BOD=______（ ） （6）如图（1），∵∠AOC=55°（已知） ∴∠BOC=______（ ）
（7）如图（1），∵∠AOC=
1∠AOD，∠AOC+∠AOD=180°（已知） 2∴∠BOC=______（ ）
b （1） （2） （3） （4）
1
a
. A . C . B 1 4 3 a
2 （8）如图（2），∵a⊥b（已知） ∴∠1=______（ ） b
（9）如图（2），∵∠1=______（已知） ∴a⊥b（ ）
（10）如图（3），∵点C为线段AB的中点 ∴AC=______（ ）
(11) 如图（3），∵ AC=BC∴点C为线段AB的中点（ ） （12）如图（4），∵a∥b（已知） ∴∠1=∠2（ ） （13）如图（4），∵a∥b（已知） ∴∠1=∠3（ ） （14）如图（4），∵a∥b（已知） ∴∠1+∠4= （ ） （15）如图（4），∵∠1=∠2（已知） ∴a∥b（ ） （16）如图（4），∵∠1=∠3（已知） ∴a∥b（ ） （17）如图（4），∵∠1+∠4= （已知） ∴a∥b（ ） 考点三：对顶角、邻补角的判断、相关计算 例题1：如图5－1，直线AB、CD相交于点O，对顶角有_________对，它们分别是_________，∠AOD的邻补角是_________。
例题2：如图5－2，直线l1，l2和l3相交构成8个角，已知∠1=∠5，那么，∠5是_________的对顶角，与∠5相等的角有∠1、_________，与∠5互补的角有_________。
例题3：如图5－3，直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOD的平分线，∠BOE=30°，则∠AOE为_________。
图5－1 图5－2 图5－3
考点四：同位角、内错角、同旁内角的识别
例题1：如图2-44，∠1和∠4是AB、 被 所截得的 角，∠3和∠5是 、 被 所截得的 角，∠2和∠5是 、 被 所截得的 角，AC、BC被AB所截得的同旁内角是 .
例题2：如图2-45，AB、DC被BD所截得的内错角是 ，AB、CD被AC所截是的内错角是 ，AD、BC被BD所截得的内错角是 ，AD、BC被AC所截得的内错角是 。
考点六：特殊平行线相关结论
例题1：已知，如图：AB//CD,试探究下列各图形中B,D,BPD的关系. A B A B A B A B
P P
D D D C C C (2) (3) P (4) C (1)
P
考点七：探究、操作题
例题：（阅读理解题）直线AC∥BD，连结AB，直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连结PA,PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角．） （1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB =∠PAC +∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB =∠PAC +∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？ （3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
例题3：如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．
练习：
1.（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：
考点五：平行线的判定、性质的综合应用（逻辑推理训练） （1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定； 例题1：如图9,已知DF∥AC,∠C=∠D,要证∠AMB=∠2,请完善证明过程,•并在括号内填上相应依据: （2）另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；
（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？ ∵DF∥AC(已知),∴∠D=∠1( )
FED∵∠C=∠D(已知),∴∠1=∠C( •)
∴DB∥EC( ) 2N M∴∠AMB=∠2( ) 考点八：图形的平移（作图、计算平移后面积等）
1在下图中画出原图形向右移动6个单位，再向下移动2个单位后得到的图形，并求出该图形的面ABC例题2：如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠AEF+∠CFE=180°，∠1=∠2，则图中
(9)积。
的∠H与∠G相等吗？说明你的理由. E 1 A B
C G
H F D
2
【配套练习】
1、如图，要把角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是____度。
A B E D
1 F C
1 2 3 1 2 13、如图，已知l1∥l2，MN分别和直线l1、l2交于点A、B，ME分别和直线l1、l2交于点C、D，
点P在MN上（P点与A、B、M三点不重合）．
（1）如果点P在A、B两点之间运动时，∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系请说明理由； （2）如果点P在A、B两点外侧运动时，∠α、∠β、∠γ有何数量关系（只须写出结论）．
17.如图（6），DE⊥AB，EF∥AC，∠A=35°，求∠DEF的度数。
一、填空题
1. 如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1=28°,则∠2＝_______． M
N
P
第1题 第4题 第2题 第3题 2. 已知直线AB∥CD，∠ABE60，∠CDE20，则∠BED 度． 3. 如图，已知AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，∠1＝60°，则∠2＝__度. 4. 如图，直线MA∥NB，∠A＝70°，∠B＝40°，则∠P＝＿＿＿＿＿. 5. 设a、b、c为平面上三条不同直线，
（1） 若a//b,b//c，则a与c的位置关系是_________；
（2） 若ab,bc，则a与c的位置关系是_________；
（3） 若a//b，bc，则a与c的位置关系是________． 6. 如图，填空：
⑴∵1A （已知）∴ （ ）
第6题 ⑵∵2B（已知）∴ （ ）
⑶∵1D（已知）∴ （ ） 二、解答题
7. 如图，AOC与BOC是邻补角，OD、OE分别是AOC与BOC的平分线，试判断
OD与OE的位置关系，并说明理由．
8. 如图，已知直线AB与CD交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠DOE＝3∠COE，求∠BOC
的度数．
3
2题 第3题 第4题 第1题 第
2．如图，把矩形沿EF对折后使两部分重合，若150°，则AEF=（ ） 3．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130° ，250°，则3的度数等于（ ）
o
4. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32，那么∠2的度数是（ ） 5. 如图，将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的所有角中，与∠2互余的角是 ．
4 3 5 6 AAB1 2 C4a162B53D 第5题 第6题
6．光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜 AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4。若已知∠1=55°，∠3=75°，那么∠2等于（ ） 8.把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ）
A、115° B、120° C、145° D、135
9、如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，如果∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
A、30° B、45° C、40° D、50°
第8题 第9题
第10题 第11题
10、如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为（ ）
A、25° B、30° C、20° D、35°
11、如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE等于（ ） A、23° B、16° C、20° D、26°
12、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（ ） A、43° B、47° C、30° D、60°
9. 如图，AB∥DE，那么∠B、∠BCD、∠D有什么关系？
1. 如图，BCAC,CB8cm,AC6cm,AB10cm,那么点A到BC的距离是_____，点B到
AC的距离是_______，点A、B两点的距离是_____，点C到AB的距离是________． 2. 设a、b、c为平面上三条不同直线，
a) 若a//b,b//c，则a与c的位置关系是_________； b) 若ab,bc，则a与c的位置关系是_________； c) 若a//b，bc，则a与c的位置关系是________．
3. 如图，已知AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°，求∠COE、
∠AOE、∠AOG的度数．
4. 如图，AOC与BOC是邻补角，OD、OE分别是AOC与BOC的平分线，试判断OD
与OE的位置关系，并说明理由．
5. ⑴如图，已知∠1＝∠2 求证：a∥b．⑵直线a//b，求证：12．
6. 阅读理解并在括号内填注理由：
如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，试说明EP∥FQ． 证明：∵AB∥CD，
∴∠MEB＝∠MFD（ ） 又∵∠1＝∠2，
4
∴∠MEB－∠1＝∠MFD－∠2， 即 ∠MEP＝∠______
∴EP∥_____．（ ）
7. 已知DB∥FG∥EC，A是FG上一点，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，求：⑴
∠BAC的大小；⑵∠PAG的大小.
8. 如图，已知ABC，ADBC于D，E为AB上一点，EFBC于F，DG//BA交CA于
G.求证12.
1. 如图，∠B=∠C，AB∥EF 求证：∠BGF=∠C
BFDEAGC3.已知：如图ＡＢ∥ＣＤ，ＥＦ交ＡB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H ， ∠AGE=500 ，求：∠BHF的度数。
4.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，那么∠A=∠F吗？试说明理由 C
G1EAGHBFE2DFDHABC5.已知：如图，AB//CD，试解决下列问题： （1）∠1＋∠2＝___ ___； （2）∠1＋∠2＋∠3＝___ __；
（3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_ __ __； （4）试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝
6．如图11，E、F分别在AB、CD上，1D，2与C互余且ECAF，垂足为O，求证：AB//CD．
AE
B O
CFD 图11
7．如图12，AC//BD，AB//CD，1E，2F，AE交CF于点O， 试说明：AECF.
MNP EF ABC
8．如图13图，12
AEBNFP，MC，判断A与P的大小关系，说明理由.
9．如图14，AD是CAB的角平分线，DE//AB，DF//AC，EF交AD于点O． 请问：（1）DO是EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． （2）若将结论与AD是CAB的角平分线、DE//AB、DF//AC中的任一条件 交换，•所得命题正确吗？
10.如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B = 30°， 你能算出∠
EAD、∠DAC、∠C的度数吗？
c 11. 如图, ∠1=∠2 , ∠3=1050， 求 ∠4的度数。 d 3 a 1 b 2 4
13．已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。
AD与BE平行吗？为什么？。 A
2 D 解：AD∥BE，理由如下： 1 F ∵AB∥CD（已知）
4 ∴∠4=∠ （ ） B 3 C
E
∵∠3=∠4（已知）
∴∠3=∠ （ ） ∵∠1=∠2（已知）
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（ ） 即∠ =∠ ∴∠3=∠ （ ） ∴AD∥BE（ ）
5
； 14．.如图∠1+∠2=180°,∠DAE=∠BCF,DA平分∠BDF. (1)AE与FC会平行吗?说明理由. FA(2)AD与BC的位置关系如何?为什么? D2(3)BC平分∠DBE吗?为什么. ? B1 CE
15．如图10，已知：直线AB，CD被直线EF，GH所截，且∠1=∠2， 求证：∠3+∠4=180°． 证明：∵∠1=∠2
又∵∠2=∠5 （ ） ∴∠1=∠5
∴AB∥CD （ ） ∴∠3+∠4=180°（ ）
17．已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=100°，OK平分∠DOH，求∠KOH（图的度数．10）
19、如图，已知∠1 =∠2，∠B =∠C，试说明AB∥CD。
解：∵∠1 =∠2（已知）， 又∵∠1 =∠4（ ） ∴∠2 =∠ （等量代换） ∴ ∥BF（ ） ∴∠ =∠3（ ） 又∵∠B =∠C（已知）
∴∠ =∠B（等量代换）
A ∴AB∥CD（ ）
D
3 2 E 20、如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°求∠2、∠3的度数
F B 1 C
21、已知：如图，CDACBA，DE平分CDA，BF平分CBA，且ADEAED。 试
说明DE//FB D F C
A E B 22、已知：如图，
BAPAPD180，12。求证：EF A B 1 E F C 2 P D
23、推理填空：如图，DF∥AB，DE∥AC，试说明∠FDE=∠A A解：∵DE∥AC
EF∴∠A+∠AED=180０ （ ） ∵DF∥AB
BDC∴∠AED+∠FDE=180０ （ ） ∴∠A=∠FDE（ ）
25、如图，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O，∠２＝４∠１， CF求∠２，∠３，∠ＢＯＥ的度数 A2B 31O E D
26、如图，ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝４００，∠Ｅ＝３００，求∠Ｄ的度数
E
BACD6
130、如图，AB∥DE，∠1＝∠ACB，∠CAB＝2∠BAD，试说明AD∥BC．
36、如图所示，已知∠B=∠C，AD∥BC，试说明：AD平分∠CAE
B C A 2 1 E D
31、如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。试说明：AD∥BE。
32、如图，EF∥AD，∠1 =∠2，∠BAC = 70°。将求∠AGD的过程填写完整。 ∵EF∥AD，（ ） ∴ ∠2 = 。（ ） 又∵ ∠1 = ∠2，（ ） ∴ ∠1 = ∠3。（ ） ∴AB∥ 。（ ） ∴∠BAC + = 180°。（ ） 又∵∠BAC = 70°，（ ）
∴∠AGD = 。（ ）
33、如图所示，已知∠B=∠C，AD∥BC，试说明：AD平分∠CAE
B C 34、如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E=•30°,试说明AB∥CD.
37、如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E=•30°,试说明AB∥CD.
2 1 3 C
D F 4 E
38．已知：如图，AB⊥CD，垂足为O ，EF经过点O，∠1＝25°， 求∠２，∠３的度数。（7分）
EDA3EA
ACFHKGBDB CF21BO39.如图：AE平分∠DAC，∠DAC=120°，∠C=60°，AE与BC平行吗？为什么？（6分）
E A 2 1 D
41.填空完成推理过程：（每空1分，共7分）
如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2， ∠C＝∠D。试说明：AC∥DF。 解：∵ ∠1＝∠2（已知）
∠1＝∠3（ ）
DAECBEACF7
KGHBD ∴∠2＝∠3（等量代换）
∴ ∥ （ ） ∴ ∠C＝∠ABD （ ）
又∵ ∠C＝∠D（已知） ∴∠D=∠ABD（ ）
∴ AC∥DF（ ）
43．(10分)如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37º，求∠D的度数．
53．（本题24分，每空3分）如图16，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE∥AC，EF∥AB，下面写出了说明“∠A+∠B+∠C＝180°”的过程，请填空： 因为DE∥AC，所以∠1＝∠ .（ ） 因为AB∥EF, 所以∠3＝∠ ．（ ） 因为AB∥EF，所以∠2＝∠___．（ ） 因为DE∥AC，所以∠4＝∠___．（ ） 所以∠2＝∠A（等量代换）．
BD412E3CAF因为∠1+∠2+∠3＝180°，所以∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换）．
54．（本题12分）已知，如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠B＝∠ADE，试说明∠1＝∠2．
完成下列推理过程：
证明：∵ BD是∠ABC的平分线 （ 已 知 ） ∴ ∠ABD=∠DBC ( ) ∵ ED∥BC ( 已 知 )
∴ ∠BDE=∠DBC ( ) ∴ ( 等 量 代 换 ) 又∵∠FED=∠BDE （ 已 知 ）
∴ ∥ ( ) ∴ ∠AEF=∠ABD ( ) ∴ ∠AEF=∠DEF ( 等 量 代 换 )
∴EF是∠AED的平分线（ ） 46、 如图，∵AB∥EF（ 已知 ） ∴∠A + =180（ ） ∵DE∥BC（ 已知 ）
∴∠DEF= （ ） ∠ADE= （ ）
52．（本题10分）如图，∠1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O.求∠2、∠3的度数.
AC 图16
A F
BF2GCD1A45．（11分）如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠FED＝∠BDE,则EF也是∠AED的平分线。
EE D B C 56、如图，直线AB 、CD相交于O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，∠1＝50°，求∠COB 、∠
FBOF的度数。 D
O BA1
C(第18题) EECD
57、如图ＡＢ∥ＣＤ，∠NCM＝90°，∠NCB＝30°，CM平分∠BCE 求∠B的大小。
N E C A D B MB
A
59、如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D，那么DF∥AC，请完成它成立的理由
∵∠1＝∠2，∠2＝∠3 ，∠1＝∠4（ ）
∴∠3＝∠4（ ） ∴________∥_______ （ ） ∴∠C＝∠ABD（ ）
BF D32E14FE1O2D3∵∠C＝∠D（ ） ∴∠D＝∠ABD（ ）
A第19题)BCF8
∴DF∥AC（ ）
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