双曲线方程

1. 双曲线的第一定义：

⑴①双曲线标准方程：

.

⑵①i. 焦点在x轴上：

. 一般方程：

顶点： 焦点： 准线方程 渐近线方程：或

ii. 焦点在

轴上：顶点：

. 焦点：

. 准线方程：

. 渐近线

方程：或，参数方程：或 .

②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距

（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲

线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

“长加短减”原则：

构成满足

线不带符号）

（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲

⑶等轴双曲线：双曲线

称为等轴双曲线，其渐近线方程为

，离心率

.

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭

双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共

同的渐近线：.

⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为

如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.

例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？

解：令双曲线的方程为：⑹直线与双曲线的位置关系：

，代入得.

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入近线求交和两根之和与两根之积同号.

法与渐

⑺若P在双曲线离比为m︰n.

，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距

简证： = .

常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.