江苏省连云港市赣榆县海头高级中学高三数学理基础大题训练8 含答案

高三理科数学基础大题训练八

1、已知函数f(x)=alnx+x(a为实常数).

(1)若a=－2，求证：函数f(x)在(1，+．∞)上是增函数； (2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值；

(3)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围.

2、已知二次函数f(x)axbxc和一次函数g(x)bx,其中a,b,cR且满足

22abc,f(1)0.

（1）证明：函数f(x)与g(x)的图象交于不同的两点A，B；

（2）若函数F(x)f(x)g(x)在[2,3]上的最小值为9，最大值为21，试求a,b的值；

（3）求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.

高三理科数学基础大题训练八

1、已知函数f(x)=alnx+x(a为实常数).

(1)若a=－2，求证：函数f(x)在(1，+．∞)上是增函数； (2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值；

(3)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围.

22(x21)f(x)02x(1,)f(x)x2lnxa2x（1）当时，，当，，

故函数f(x)在(1,)上是增函数．…………………………4分

2x2af(x)(x0)22x（2），当x[1,e]，2xa[a2,a2e]．

若a2，f(x)在[1,e]上非负（仅当a2，x=1时，f(x)0），故函数f(x)在[1,e]上

是增函数，此时[f(x)]minf(1)1． ……………6分

2若2ea2，当

xaa1x2时，f(x)0；当2时，f(x)0，此时f(x)是

减函数； 当

axe2时，f(x)0，此时f(x)是增函数．故

[f(x)]minf(aaaa)ln()2222．

22若a2e，f(x)在[1,e]上非正（仅当a2e，x=e时，f(x)0），故函数f(x)在[1,e]2上是减函数，此时[f(x)]minf(e)ae．………………8分

2综上可知，当a2时，f(x)的最小值为1，相应的x值为1；当2ea2时，f(x)aaaaln()2222，相应的x值为2；当a2e时，f(x)的最小值为ae， 的最小值为2相应的x值为e．…………………………………………10分

2f(x)(a2)xa(xlnx)x2x． （3）不等式， 可化为

∵x[1,e], ∴lnx1x且等号不能同时取，所以lnxx，即xlnx0，

x22xaxlnx（x[1,e]）……………………………………………12分 因而

(x1)(x22lnx)x22xg(x)g(x)(xlnx)2xlnx（x[1,e]）令，又，………14分

当x[1,e]时，x10,lnx1，x22lnx0，

从而g(x)0（仅当x=1时取等号），所以g(x)在[1,e]上为增函数，

故g(x)的最小值为g(1)1，所以a的取值范围是[1,)． ……………16分

2、已知二次函数f(x)ax2bxc和一次函数g(x)bx,其中a,b,cR且满足

abc,f(1)0.

（1）证明：函数f(x)与g(x)的图象交于不同的两点A，B；

（2）若函数F(x)f(x)g(x)在[2,3]上的最小值为9，最大值为21，试求a,b的值；

（3）求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.

（1）由g(x)bx与f(x)axbxc得ax2bxc0,f(1)abc0， abc,a0,c0,从而b4ac0,即函数f(x)与g(x)的图象交于不同

的两点A，B； 分

（2）cab,abc,即acab,得2ab,知函数F（x）在[2，3]上为增函数， 分

……3

222b2, a

……1

F(2)3a3b9,F(3)8a5b21,解得a2,b1;

分

……2

2bxx21a2（3）设方程F(x)ax2bxc0的两根为x1,x2,得

cxx12a

c13|A1B1|2(x1x2)24x1x24[()2],

a24分

……2

c1由abc,bac,得aacc,(2,),

a2分

……2

设|A1B1|h()4[(2cc1231cc1)],的对称轴为x,h()在(2,)上是aa24减函数，|A1B1|2(3,12),得|A1B1|(3,23).

2aa2……2分