极坐标及参数方程

龙文教育一对一个性化辅导教案

学生 曹聪颖 科目 数学 课题 教学①掌握极坐标 重点 ②掌握参数方程 教学①能够灵活运用极坐标化为直角坐标 难点 ②参数方程的互化 教学能熟练掌握回归分析与独立性检验的步骤 目标 学校 广外 教师 张老师 年级 日期 高二 2月26日 次数 时段 第1次 3-5 极坐标及参数方程 教 学 步 骤 及 教 学 内 一、课前热身： 1、了解学生在校的学习情况 二、内容讲解： 1.极坐标的认识 2.极坐标的互化 3.参数方程的认识 4.参数方程与直角坐标系的互化 三、课堂小结： 1.极坐标 2.参数方程 四、作业布置： 教案 容

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作业布置 1、学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 备注： 2、本次课后作业： 课 堂 小 结 家长签字： 日期： 年 月 日

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1．极坐标系

(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做________，从O点引一条射线Ox，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．

设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的________，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝______，y＝________.

另一种关系为ρ＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程

θ＝α (ρ∈R)表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； π

ρsin θ＝b表示过b，2且平行于极轴的直线；

2



ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程

ρ＝2rcos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r|的圆； π

ρ＝2rsin θ表示圆心在r，2，半径为|r|的圆；



ρ＝r表示圆心在极点，半径为|r|的圆． 3．曲线的参数方程

x＝ft，

在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数

y＝gt.

并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t称为________． 4．一些常见曲线的参数方程

(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t为参数)． (2)圆的方程(x－a)＋(y－b)＝r的参数方程为________________________(θ为参数)．

2

2

2

x2y2

(3)椭圆方程2＋2＝1(a>b>0)的参数方程为________________(θ为参数)．

ab(4)抛物线方程y＝2px(p>0)的参数方程为________________(t为参数)．

2

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π

1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．

4

2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________．

x＝4t，

3．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线

y＝4t，x＝－1＋tsin 40°

4．直线

y＝3＋tcos 40°

2

(t为参数)上，则PF＝________.

(t为参数)的倾斜角为________．

x＝3t，

5．已知曲线C的参数方程是2

y＝2t＋1

(t为参数)．则点M1(0,1)，M2(5,4)在曲线C上的是________．

题型一 极坐标与直角坐标的互化

例1 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos(θπ

－)＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点． 3(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；

(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．

在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．

2

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题型二 参数方程与普通方程的互化

例2 已知两曲线参数方程分别为

x＝5cos θ，y＝sin θ

5x＝t2，

(0≤θ<π)和4

y＝t

(t∈R)，求它们的交点

坐标．

思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对1222

于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sinθ＋cosθ＝1,1＋tanθ＝2等．

cosθ

(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x，y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．

将下列参数方程化为普通方程．

(1)4－2ty＝1＋t2tx＝2，1＋t22

2

(t为参数)；

x＝2－4cosθ，(2)2

y＝－1＋sinθ

2

(θ为参数)．

题型三 极坐标、参数方程的综合应用

例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标3

x＝－3＋t，2

方程是ρ＝4cos θ，直线l的参数方程是

1y＝2t上的动点，求MN的最小值．

(t为参数)，M，N分别为曲线C、直线l。

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思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．

(2013·辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直

π

线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcosθ－4＝22.



(1)求C1与C2交点的极坐标；

x＝t＋a，

(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为b3

y＝t＋12

参数)，求a，b的值．

【知识复习】 选修1-1

1、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分) 1．方程x＝1－4y所表示的曲线是( )

A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分 C．圆的一部分 D．直线的一部分

2．若抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A．x＝－28y B．x＝28y C．y＝－28x D．y＝28x

2

2

2

2

2

3

(t∈R为

x2y2

3．双曲线2－2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )

ab3

A．2 B.3 C.2 D.

2

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4．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，

b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.

其中真命题的序号是( )

A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 5．已知a、b为不等于0的实数，则>1是a>b的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

6．若抛物线y＝4x的焦点是F，准线是l，点M(4，m)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆一共有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．4个

2

abx2y22

7．若双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.线段F1F2被抛物线y＝2bx的焦点分成5∶

ab3两段，则此双曲线的离心率为( )

2326

A.3 B.6 C. D.

33

4

8．已知双曲线与椭圆＋＝1共焦点，它们的离心率之和为2，则此双曲线方程是( )

9255A.

－＝1 B．－＋＝1

124124

x2y2

x2y2x2y2

C.－＝1 D．－＋＝1 4124129．下列四个结论中正确的个数为( )

①命题“若x<1，则－11或x<－1，则x>1”； ②已知p：∀x∈R，sin x≤1，q：若a0”的否定是“∀x∈R，x－x≤0”； ④“x>2”是“x>4”的必要不充分条件．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

10．设f(x)＝x(ax＋bx＋c) (a≠0)在x＝1和x＝－1处有极值，则下列点中一定在x轴上的是( ) A．(a，b) B．(a，c) C．(b，c) D．(a＋b，c) ln x11．函数y＝的最大值为( )

2

2

2

22

2

2

2

x2y2x2y2

x10－12

A．e B．e C．e D.

3

12．已知命题P：函数y＝log0.5(x＋2x＋a)的值域为R；命题Q：函数y＝－(5－2a)是R上的减函数．若

2

xP或Q为真命题，P且Q为假命题，则实数a的取值范围是( )

A．a≤1 B．a<2 C．1。 7欢迎下载

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二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．若函数f(x)＝x＋x＋mx＋1是R上的单调函数，则m的取值范围是________．

14．一动圆圆心在抛物线x＝8y上，且动圆恒与直线y＋2＝0相切，则动圆必过定点________．

2

3

2

x2y2→→

15．已知F1、F2是椭圆C 2＋2＝1 (a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积

ab为9，则b＝________.

16．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是

________________________________________________________________________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知p：x－12x＋20<0，q：x－2x＋1－a>0 (a>0)．若綈q是綈p的充分条 件，求a的取值范围．

18．(12分)已知函数f(x)＝x＋bx＋cx＋d在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程f(x)＝0的一个根为2. (1)求c的值； (2)求证：f(1)≥2.

19.(12分) 如图，M是抛物线y＝x上的一个定点，动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B，且|MA|＝|MB|.证明：直线EF的斜率为定值．

23

2

2

2

2

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20．(12分)命题p：关于x的不等式x＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f(x)＝(3－2a)是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

21.(12分)已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a的取值范围．

22.（12分）如图所示，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x=－2py（p>0） →→

交于A，B两点，O为坐标原点，OA＋OB＝(－4，－12)． (1)求直线l和抛物线C的方程；

(2)抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．

2

2

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选修1-2,4-1

题型一 圆的切线的判定与性质

例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且AD＝23，

AE＝6.

(1)判断直线AC与△BDE的外接圆的位置关系； (2)求EC的长．

(2013·广东改编)

如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，

ED＝2，求BC的长．

题型二 与圆有关的比例线段

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例4 (2012·辽宁)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：

(1)AC·BD＝AD·AB； (2)AC＝AE.

思维升华 (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．

(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．

如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.

(1)求证：PM＝PA·PC；

(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．

2

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19．某厂采用新技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的成本y（万元）的几组对照数据． x y 3 3 4 5 6 3．5 4．5 5 （1）请画出上表数据的散点图；

$x＋a$； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$y＝b（3）已知该厂技改前生产50吨甲产品的生产成本为40万元．试根据（2）求出的线性回归方程，预测

生产50吨甲产品的生产成本比技改前降低多少万元？ （参考数据：

xi142i86 y66.5 xiyi75.5，b2ii144xynxyiii1nn）

i1xi12inx2

20．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据： x y 6 2 8 3 10 5 12 6

（1）请在图中画出上表数据的散点图；

··$ybxa（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

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（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力.

21．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）

（1）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．

（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X， 求X的分布列及数学期望E（X） ．

附表及公式

22．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下面表中所示：

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精品文档 是否需要帮助 性别 男 需要 不需要 合计 50 女 25 合计 75 200 225 425 250 250 500 （1）请根据上表的数据，估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；]

（2）能否在出错的概率不超过1%的前提下，认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？并说明理由； （3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？并说明理由． 附：独立性检验卡方统计量性检验临界值表为：

0.15

2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0．025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 ，其中

为样本容量，独立

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