文登区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

文登区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位：cm），则此几何体的表面积是（ ）

A．8cm2 B． cm2 C．12 cm2

D．

cm2

2． 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A．y= B．y=﹣x+ C．y=﹣x|x| D．y=3． 给出以下四个说法：

①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； ②线性回归直线一定经过样本中心点，；

③设随机变量ξ服从正态分布N（1，32）则p（ξ＜1）=；

④对分类变量X与Y它们的随机变量K2的观测值k越大，则判断“与X与Y有关系”的把握程度越小． 其中正确的说法的个数是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

）的图象向左平移

个单位，得到函数y=f（x）的图象关于直线x=

4． 把函数y=cos（2x+φ）（|φ|＜对称，则φ的值为（ ） A．﹣

B．﹣

C．

D．

＜0，且f（2）=4，则不等式f（x）﹣

5． 定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：＞0的解集为（ ） A．（2，+∞）

B．（0，2） C．（0，4） D．（4，+∞）

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精选高中模拟试卷

6． 如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）

A． B．4 C． D．2

7． 函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）

A． B． C．

D．

8． 圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）

A．2=1 B．2=1 C．2=2 D．2=2

9． 函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（ ） A．0＜a≤ B．0≤a≤ C．0＜a＜ D．a＞

10．某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主（正）视力（其中上部分曲线近似为抛物）和侧（左）视图如图（单位：m），则该工程需挖掘的总土方数为（ ）

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A．560m3 11．以A．C．

B．540m3 C．520m3 D．500m3

的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）

B． D．

12．若P是以F1，F2为焦点的椭圆tan∠PF1F2=A．

，则此椭圆的离心率为（ ） B．

C．

D．

=1（a＞b＞0）上的一点，且=0，

二、填空题

13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是 ．

14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=

x，它的一个焦点在抛物线y2=48x的准

线上，则双曲线的方程是 ．

15．已知f（x）＝x（ex＋ae－x）为偶函数，则a＝________．

16．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数．我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和．例如：1=++，1=+++1=++

+++

+

+

，1=++++

+

+

+

++

，…依此方法可得：

*

，其中m，n∈N，则m+n= ．

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17．已知a，b是互异的负数，A是a，b的等差中项，G是a，b的等比中项，则A与G的大小关系为 ．

18．若函数f（x），g（x）满足：∀x∈（0，+∞），均有f（x）＞x，g（x）＜x成立，则称“f（x）与g（x）fx）=ax与g=logax 关于y=x分离”．已知函数（（x）（a＞0，且a≠1）关于y=x分离，则a的取值范围是 ．

三、解答题

19．（本小题满分12分）

已知圆C：x2y2DxEyF0的圆心在第二象限，半径为2，且圆C与直线3x4y0及y轴都相切.

（1）求D、E、F；

20．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn=2an﹣n2+3n+2（n∈N*） （Ⅰ）求证：数列{an+2n}是等比数列； （Ⅱ）设bn=ansin（Ⅲ）设Cn=﹣

21．在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题可获得分，答对问题可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分

π，求数列{bn}的前n项和；

，数列{Cn}的前n项和为Pn，求证：Pn＜．

（2）若直线xy220与圆C交于A、B两点，求|AB|.

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决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对问题的概率分别为．

（Ⅰ）记甲先回答问题再回答问题得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．

22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+的交点为Q，求线段PQ的长．

23．如图，在三棱锥 PABC中，E,F,G,H分别是AB,AC,PC,BC的中点，且

）=3

，射线OM：θ=

与圆C的交点为O，P，与直线l

（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极

PAPB,ACBC.

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（1）证明： ABPC；

（2）证明：平面 PAB平面 FGH.

24．双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F． （1）求弦AB的中点M的轨迹方程

（2）是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率K的值．若不存在，则说明理由．

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文登区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：由已知可得：该几何体是一个四棱锥， 侧高和底面的棱长均为2，

2

故此几何体的表面积S=2×2+4××2×2=12cm，

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积和表面积，空间几何体的三视图，根据已知判断几何体的形状是解答的关键．

2． 【答案】C 【解析】解：A.B.

时，y=

在定义域内没有单调性，∴该选项错误； ，x=1时，y=0；

∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；

C．y=﹣x|x|的定义域为R，且﹣（﹣x）|﹣x|=x|x|=﹣（﹣x|x|）； ∴该函数为奇函数；

；

22

∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是减函数，且﹣0=0；

∴该函数在定义域R上为减函数，∴该选项正确； D.

∵﹣0+1＞﹣0﹣1；

∴该函数在定义域R上不是减函数，∴该选项错误． 故选：C．

【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．

3． 【答案】B

【解析】解：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故①错； ②线性回归直线一定经过样本中心点（，），故②正确；

；

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③设随机变量ξ服从正态分布N（1，32）则p（ξ＜1）=，正确；

④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故④不正确． 故选：B．

【点评】本题考查统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X，Y的关系，属于基础题．

4． 【答案】B

【解析】解：把函数y=cos（2x+φ）（|φ|＜得到函数y=f（x）=cos[2（x+则2×

+φ+

）的图象向左平移

个单位，

对称，

）+φ]=cos（2x+φ+）的图象关于直线x=

，

=kπ，求得φ=kπ﹣，k∈Z，故φ=﹣

故选：B．

5． 【答案】B

【解析】解：定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：∵f（2）=4，则2f（2）=8， f（x）﹣＞0化简得当x＜2时，

⇒

故得x＜2，

∵定义在（0，+∞）上．

∴不等式f（x）﹣＞0的解集为（0，2）． 故选B．

【点评】本题考查了构造已知条件求解不等式，从已知条件入手，找个关系求解．属于中档题．

6． 【答案】C

【解析】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥

由图可知，底面两条对角线的长分别为2故底面棱形的面积为

=2

，2，底面边长为2 成立． ，

＜0．

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侧棱为2故V=

，则棱锥的高h=

=2

=3

故选C

7． 【答案】D

【解析】解：∵f（x）=y=2x﹣e，

2

|x|

2|x|2|x|

∴f（﹣x）=2（﹣x）﹣e﹣=2x﹣e，

故函数为偶函数，

当x=±2时，y=8﹣e∈（0，1），故排除A，B；

2

2x

当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x﹣e， x

∴f′（x）=4x﹣e=0有解，

2|x|

故函数y=2x﹣e在[0，2]不是单调的，故排除C，

故选：D

8． 【答案】D

【解析】解：由题意知圆半径r=

2

∴圆的方程为=2．

，

故选：D．

【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．

9． 【答案】B

【解析】解：当a=0时，f（x）=﹣2x+2，符合题意

当a≠0时，要使函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数 ∴

⇒0＜a≤

综上所述0≤a≤ 故选B

【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数a的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．

10．【答案】A

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【解析】解：以顶部抛物线顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，易得抛物线过点（3，﹣1），其方程为y=﹣S1=

下部分矩形面积S2=24，

故挖掘的总土方数为V=（S1+S2）h=28×20=560m．

3

，那么正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积=2

=4，

故选：A．

【点评】本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查，考查学生的计算能力，属于中档题．

11．【答案】D 【解析】解：双曲线﹣4）和（0，4）．

∴椭圆的焦点坐标是为（0，﹣2∴椭圆方程为故选D．

【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．

12．【答案】A 【解析】解：∵∴

∵Rt△PF1F2中，∴∴

又∵根据椭圆的定义，得2a=PF1+PF2=3t ∴此椭圆的离心率为e=故选A

【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．

=

=

=

=

，设PF2=t，则PF1=2t

=2c，

，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．

，

．

）和（0，2

），顶点为（0，﹣4）和（0，4）． 的顶点为（0，﹣2

）和（0，2

），焦点为（0，

二、填空题

13．【答案】 ①④ ．

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【解析】解：由所给的正方体知， △PAC在该正方体上下面上的射影是①， △PAC在该正方体左右面上的射影是④， △PAC在该正方体前后面上的射影是④ 故答案为：①④

14．【答案】

【解析】解：因为抛物线y=48x的准线方程为x=﹣12，

2

则由题意知，点F（﹣12，0）是双曲线的左焦点， 所以a2+b2=c2=144，

又双曲线的一条渐近线方程是y=所以=

，

x，

解得a2=36，b2=108， 所以双曲线的方程为故答案为：

．

．

【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c和a2的值，是解题的关键．

15．【答案】

【解析】解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立， 即（－x）（e－x＋aex）＝x（ex＋ae－x）， ∴a（ex＋e－x）＝－（ex＋e－x），∴a＝－1. 答案：－1

16．【答案】 33 ．

【解析】解：∵1=++∵2=1×2， 6=2×3， 30=5×6， 42=6×7， 56=7×8， 72=8×9，

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++++++++++，

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90=9×10， 110=10×11， 132=11×12， ∴1=+++=

+++

﹣+

+=

+， +

+

+

+

=（1﹣）+++（﹣

）+

，

=﹣+

∴m=20，n=13， ∴m+n=33， 故答案为：33

【点评】本题考查的知识点是归纳推理，但本题运算强度较大，属于难题．

17．【答案】 A＜G ． 【解析】解：由题意可得A=

，G=±

，

由基本不等式可得A≥G，当且仅当a=b取等号， 由题意a，b是互异的负数，故A＜G． 故答案是：A＜G．

【点评】本题考查等差中项和等比中项，涉及基本不等式的应用，属基础题．

18．【答案】 （

，+∞） ．

【解析】解：由题意，a＞1．

x

故问题等价于a＞x（a＞1）在区间（0，+∞）上恒成立． xx

构造函数f（x）=a﹣x，则f′（x）=alna﹣1，

由f′（x）=0，得x=loga（logae），

x＞loga（logae）时，f′（x）＞0，f（x）递增； 0＜x＜loga（logae），f′（x）＜0，f（x）递减． 则x=loga（logae）时，函数f（x）取到最小值， 故有故答案为：（

﹣loga（logae）＞0，解得a＞，+∞）．

．

【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．

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三、解答题

19．【答案】（1） D22，E42，F8;（2）AB2. 【解析】

试

题解析：（1）由题意，圆C方程为(xa)2(yb)22，且a0,b0， ∵圆C与直线3x4y0及y轴都相切，∴a2，∴圆C方程为(x2)2(y22)22， 化为一般方程为x2y222x42y80， ∴D22，E42，F8.

（2）圆心C(2,22)到直线xy220的距离为d∴|AB|2r2d22212. 考点：圆的方程；2.直线与圆的位置关系.1 20．【答案】

2*

∴当n≥2时，【解析】（I）证明：由Sn=2an﹣n+3n+2（n∈N），

|3a4b|2，∴b22， 5|22222|1，

2，

an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1﹣2n+4，

变形为an+2n=2[an﹣1+2（n﹣1）]，当n=1时，a1=S1=2a1﹣1+3+2，解得a1=﹣4，∴a1+2=﹣2，∴数列{an+2n}是等比数列，首项为﹣2，公比为2；

n1n

（II）解：由（I）可得an=﹣2×2﹣﹣2n=﹣2﹣2n．

∴bn=ansin

π=﹣（2n+2n）

，∵ =

=（﹣1）n，

n+1n

∴bn=（﹣1）（2+2n）．

设数列{bn}的前n项和为Tn．

*2342k12k

当n=2k（k∈N）时，T2k=（2﹣2+2﹣2+…+2﹣﹣2）+2（1﹣2+3﹣4+…+2k﹣1﹣2k）

=﹣2k=﹣n．

﹣2k﹣（﹣2﹣4k）=

2k

当n=2k﹣1时，T2k﹣1=+n+1+2n+1=

+n+1．

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（III）证明：Cn=﹣

=，当n≥2时，cn．

∴数列{Cn}的前n项和为Pn＜==，

当n=1时，c1=综上可得：∀n∈N，

*

成立．

．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递推式的应用，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21．【答案】

【解析】【知识点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列 【试题解析】（Ⅰ）的可能取值为

， ，

分布列为：

．

（Ⅱ）设先回答问题

，再回答问题

， ， ，

得分为随机变量，则的可能取值为．

分布列为：

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．

应先回答所得分的期望值较高． 22．【答案】

【解析】解：（I）圆C的参数方程

22

（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）+y=1．

把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程． （II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+可得普通方程：直线l联立

，解得

，射线OM，即Q

．

． ）=3

，射线OM：θ=

．

联立，解得或．

∴P∴|PQ|=

．

=2．

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【点评】本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．

23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】

点：平面与平面平行的判定；空间中直线与直线的位置关系.

24．【答案】

【解析】解：（1）设M（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），则x12﹣y12=2，x22﹣y22

=2，两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0， ∴2x（x1﹣x2）﹣2y（y1﹣y2）=0， ∴

=，

∵双曲线C：x2﹣y2

=2右支上的弦AB过右焦点F（2，0），

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考

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∴，

22

化简可得x﹣2x﹣y=0，（x≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（2）假设存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），lAB：y=k（x﹣2） 由已知OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0， ∴

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①

，

所以

2

联立①②得：k+1=0无解

2

（k≠1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

所以这样的圆不存在．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

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