第２８卷第１期 ２０１２年２月 大 学 数 学 ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏ１．２８，№．１ Ｆｅｂ．２０１２ Ｓ一拟正规嵌入子群 高金新 ， 李保军 （１．安徽工程科技学院应用数理系，安徽芜湖２４１０００； ２．成都信息工程学院数学系，四川成都６１０２２５） ［摘 要］群Ｇ的一个子群Ｈ称为在Ｇ中Ｓ一拟正规嵌入的，如果对Ｈ阶中的每一个素因子ｐ，Ｈ的 Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群也是Ｇ的某个ｓ－拟正规子群的Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群．利用子群的 拟正规嵌入性给出了群为夕一幂零 群及超可解群的一些特征． ［关键词］有限群；Ｓ－拟正规嵌入子群；极大子群；群系 ［中图分类号］Ｏ１５２ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１６７２—１４５４（２０１２）０１—００４５－０５ １ 预备知识 本文所涉及到的群均为有限群． 众所周知，正规子群在群论的研究中起着十分重要的作用．群Ｇ的正规子群Ｎ有一个重要性质，它 总与群Ｇ中的任意子群可置换，即对群Ｇ的任意子群Ｋ，总有ＫＮ＝ＮＫ．正是正规子群的这一重要特 性导致了一系列新的概念，譬如，人们称Ｇ的一个子群Ｈ为拟正规（或可置换的），如果对于群Ｇ的任 意子群Ｋ，均有ＫＨ＝ＨＫ．利用拟正规子群，０ｒｅ在文［１］证明如果一个有限群Ｇ的子群Ｈ在Ｇ中是 拟正规的，则Ｈ在Ｇ中是次正规的．Ｉｔｏ在文［２］中证明有限群Ｇ的子群Ｈ在Ｇ中拟正规，则Ｈ／Ｈｃ为 幂零群．后来Ｋｅｇｅｌ在文［３］提出了比拟正规性更弱的概念，即子群的Ｓ一拟正规．群Ｇ的子群Ｈ称为Ｓ一 拟正规的，如果Ｈ与群Ｇ的所有Ｓｙｌｏｗ子群可置换．Ｋｅｇｅｌ与Ｄｅｓｋｉｎｓ以及其他的数学工作者发现子 群的Ｓ一拟正规性与子群的拟正规性有许多类似的性质．Ａｓａａｄ在文［４－Ｉ中证明如果一个有限群的 Ｆｉｔｔｉｎｇ子群的Ｓｙｌｏｗ子群的极大子群是Ｓ一拟正规的，则这个有限群是超可解的．称Ｈ在Ｇ中为Ｓ一拟 正规嵌入的，如果对Ｈ阶中的每一个素因子户，Ｈ的Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群也是Ｇ的某个Ｓ一拟正规子群的 Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群．显然，Ｓ一拟正规子群一定是Ｓ一拟正规嵌入的．反之，不一定成立． 子群的Ｓ一拟正规嵌入性对群的结构有着重要的影响．例如，Ｂａｌｌｅｓｔｅｒ在文［５］中证明若群Ｇ的 Ｓｙｌｏｗ子群的极大子群在Ｇ中为Ｓ一拟正规嵌入的，那么Ｇ是超可解的．若仅考虑群Ｇ的某一个Ｓｙｌｏｗ 子群的极大子群在Ｇ中为Ｓ一拟正规嵌入的情况．Ａｓｓａｄ等人在文Ｅ６］中证明假设 是群Ｇ阶中的最小 的素因子，若群Ｇ的Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群的极大子群在Ｇ中为Ｓ一拟正规嵌入的，那么Ｇ是 一幂零群．近年，对 于Ｓｙｌｏｗ子群的二极大子群的Ｓ一拟正规嵌入性．李样明等人在文Ｅ７－１中证明了，设Ｐ是群Ｇ阶中的最小 的素因子，Ｐ为群Ｇ的某一个Ｓｙｌｏｗ子群．若Ｐ的二极大子群在Ｇ中为ｓ一拟正规嵌入的且Ｇ与Ａ 无 关，那么Ｇ是Ｐ一幂零群． 本文继续上述的工作，将在群Ｇ中的Ｓ一拟正规嵌入限制到Ｇ的一个局部子群中，得到了Ｇ为Ｐ一幂 零群及超可解群的一些特征，并推广了前人的一些结果． 一个群类Ｓ称为群系，如果它关于同态像和次直积都是封闭的．如果一个群系 满足条件：由 Ｇ／ （Ｇ）∈ ，总有ＧＥＳ，则群系Ｓ是一个饱和群系．显然，任意局部群系都是饱和的． 设 是一个群系，用 表示Ｇ的Ｓ一上根（或称Ｓ一剩余），也就是Ｇ／Ｎ・成为 一群的所有正规子群 ［收稿日期］２００９—０５—１８； ［修改日期］２００９—０９—１０ ［基金项目］国家自然科学基金资助项目（１０７７１１１８０）；安徽工程科技学院青年基金项目（２００６ＹＱ０２２） ４６ 的交．， 大 学 数 学 第２８卷 文中所有的概念和术语是标准的，未交代的符号可参见文献［８，９］． ２有关概念和引理 定义［５ 群Ｇ的一个｜子群Ｈ称为在Ｇ中Ｓ一拟正规嵌入的，如果对Ｈ阶中的每一个素因子Ｐ，Ｈ 的Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群也是Ｇ的某个Ｓ一拟正规子群的Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群． 为了证明本文的定理，我们需要下列已知的结果（将它们列为引理）． 引理２．１ｃ钉 假设Ｈ是群Ｇ的Ｓ一拟正规嵌入子群，则下列命题成立： （ｉ）若Ｎ Ｇ，Ｈ在Ｇ中为Ｓ一拟正规嵌入的，则ＨＮ／Ｎ在Ｇ／Ｎ中为Ｓ一拟正规嵌入的； （ｉｉ）若Ｎ Ｇ，Ｎ≤Ｈ，且Ｈ／Ｎ在Ｇ／Ｎ中为Ｓ一拟正规嵌入的，则Ｈ在Ｇ中为Ｓ一拟正规嵌入的； （ｉｉｉ）若Ｈ≤Ｍ≤Ｇ且Ｈ在Ｇ中为Ｓ一拟正规嵌入的，则Ｈ在Ｍ中为Ｓ一拟正规嵌入的． 引理２．２［８］ 设Ｋ是群Ｇ的正规子群，Ｐ为Ｇ的某一个Ｐ一子群．如果Ｐ 是ＰＫ的Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群， 那么ＮＧ／ （ＰＫ／Ｋ）一ＮＧ（Ｐ。）Ｋ／Ｋ． 引理２．３Ｉｓ］ 设Ｓ为包含超可解群的局部群系，则一个群ＧＥ Ｓ当且仅当Ｇ有一个正规子群Ｈ，使 Ｇ／Ｈ∈ ，且对于Ｈ的每个Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群Ｐ满足Ｐ极大子群在Ｇ中是Ｓ一拟正规嵌入的． 引理２．４［６ 设Ｐ是群Ｇ阶中的最小的素因子．若群Ｇ的Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群的极大子群在Ｇ中为Ｓ一拟 正规嵌入的，那么Ｇ是Ｐ一幂零． 引理２．５Ｄ０３ 如果群Ｇ的子群Ｈ在Ｇ中是Ｓ一拟正规的，那么Ｈ／ＨＧ是幂零的． 引理２．６［１］ 设Ｐ为Ｇ的Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群，Ｎ是Ｇ的正规子群．如果Ｐ Ｎ Ｎ （Ｐ），则Ｎ为ｐ一幂 零的． 引理２．７［８］ 设Ｇ为Ｐ一可解解，则ＣＧ（ （Ｇ））≤Ｆ （Ｇ）． 引理２．８［１１］ 设Ｇ为一个有限群，Ｎ是Ｇ的正规子群（Ｎ≠１）且满足Ｎｎ （Ｇ）：＝＝１．那么Ｆ（Ｎ）是 Ｇ的一些极小正规子群的直积． ． ３主要结论 定理３．１设Ｇ为一个群，Ｐ是整除Ｇ的阶的最小素因子。若存在Ｇ的一个Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群Ｐ使得 Ｐ的任意极大子群在Ｎ。（Ｐ）中是Ｓ＿拟正规嵌入的且Ｐ 在Ｇ中也是Ｓ一拟正规嵌入的，其中Ｐ 是Ｐ的导 群，那么Ｇ是Ｐ一幂零的． 证假设定理不成立．设Ｇ为一个极小阶反例．那么 （ｉ） ，（Ｇ）一１． 假设０ （Ｇ）≠ｌ，那么定理的条件对Ｇ／０ （Ｇ）成立．事实上，设Ｍ／０ （Ｇ）为Ｇ／０ ，（Ｇ）的Ｓｙｌｏｗ 子群ＰＯ ，（Ｇ）／ｏ （Ｇ）的一个极大子群，易知Ｍ—Ｐ１０ （Ｇ），其中Ｐ 是Ｐ的一个极大子群．由定理的 条件Ｐ 在Ｇ中是Ｓ一拟正规嵌入的．应用引理２．１的（１）可知Ｍ／Ｏ，，（Ｇ）在Ｇ／Ｏｔ，，（Ｇ）中为ｓ＿拟正规嵌入 的且Ｐ ０ｐ，（Ｇ）／０ （Ｇ）一（Ｐ ０ｐ，（Ｇ）／Ｏｐ，（Ｇ）） 在Ｇ／０ｐ，（Ｇ）中为Ｓ一拟正规嵌入的．由Ｇ的极小性得到 Ｇ／０ ，（Ｇ）是 幂零的，从而Ｇ是Ｐ一幂零的．矛盾． （ｉｉ）若Ｈ＜Ｇ且满足条件Ｐ≤Ｈ＜Ｇ，则Ｈ是 一幂零的． 因为ＮＨ（Ｐ）≤Ｎ。（Ｐ），由引理２．１知Ｈ满足定理的条件．由Ｇ的极小性得到Ｈ是声一幂零的． （ｉｉｉ）Ｇ—ＰＱ，其中Ｑ为Ｇ的Ｓｙｌｏｗ ｑ－子群且 ｖａｑ． 任取Ｎｃ（Ｐ）的Ｓｙｌｏｗ ｑ－子群Ｑ，其中Ｐ≠ｑ．那么对于子群ＰＱ而言，应用引理２．１与２．４可知ＰＱ 是Ｐ一幂零的，从而ＰＱ：Ｐ×Ｑ．若Ｐ是交换的，则Ｇ是Ｐ一幂零的．矛盾．因此Ｐ ≠１．由定理的条件Ｐ 在 Ｇ中是Ｓ一拟正规嵌入的，所以存在Ｇ的子群Ｈ，使Ｐ 为Ｈ的一个Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群且Ｈ在Ｇ中是Ｓ一拟正 规的．如果Ｈ。一１，那么应用引理２．５知Ｈ是幂零的，故Ｐ ≤Ｈ≤Ｆ（Ｇ）．这表明Ｆ（Ｇ）一０。（Ｇ）≠１．如 果Ｈｃ≠１，令Ｋ＝ＰＨｃ为Ｇ的一个真子群．由（２）可知Ｋ是Ｐ一幂零的，于是Ｈ 为 一幂零的．这表明 第１期 高金新，等： 拟正规嵌入子群 ４７ ＨＧ为Ｐ一群，从而０。（Ｇ）≠１．假若ＰＨ。：Ｇ，取Ｎ为Ｇ的含于Ｈ。的一个极小正规子群，则ＰｎＮ是Ｎ 的Ｓｙｌｏｗ 子群．如果ＰｎＮ （Ｐ），由引理２．６知Ｎ为Ｐ一幂零的．又因为０ （Ｇ）一１，所以Ｎ为Ｐ一群． 如果Ｐｎ Ｎ （Ｐ），可以找到Ｐ的一个极大子群Ｐ 使Ｐ一（Ｐ ｎ Ｎ）Ｐ ，则ｊ Ｐ ｌ—Ｊ Ｐ ｎ Ｎ ｌＪ Ｐ Ｊ ／１ Ｐ ｎ Ｎｌ，但是Ｉ Ｐｎ Ｎｌ＝Ｉ Ｐ ｎ Ｎｌ一１ Ｐ ｎ Ｎｌ，故ｌ Ｐｌ＝ｌ Ｐ Ｉ．矛盾．由以上可得到Ｆ（Ｇ）＝０ （Ｇ）≠１．因 定理的条件对商群Ｇ／０ （Ｇ）满足，由Ｇ的极小性知Ｇ／ （Ｇ）为 幂零群．因此Ｇ为Ｐ一可解群．既然Ｇ 为 一可解群，对于Ｇ阶中的任意素因子ｑ且ｑ≠Ｐ，存在Ｇ的一个Ｓｙｌｏｗ ｑ－子群Ｑ满足Ｇ 一ＰＱ成群． 假若Ｐ＜Ｇ ＜Ｇ，则由（２）知Ｇ 是 幂零群．由引理２．７知Ｑ≤ＣＧ（Ｏ （Ｇ））≤ （Ｇ），产生矛盾．所以 Ｇ—ＰＱ为可解群． （ｉｖ） （Ｇ）一１，并且Ｏｐ（Ｇ）是Ｇ的唯一的极小正规子群． 假若 （Ｇ）≠１，由Ｇ的极小性可知Ｇ／ （Ｇ）是 幂零群．由于所有的 幂零群组成饱和群系，因而 Ｇ的极小正规子群Ｎ具有唯一性且有Ｎ—Ｃ。（Ｎ）一ｏ （Ｇ）一Ｆ（Ｇ）． （ｖ）Ｏｐ（Ｇ）≤Ｐ ． 由于Ｐ 在Ｇ中是为Ｓ一拟正规嵌入的，所以存在Ｇ的子群Ｈ使Ｐ 为Ｈ的一个Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群且Ｈ 在Ｇ中是Ｓ一拟正规的．假若Ｈ。一１，那么应用引理２．５知Ｈ是幂零的，故Ｐ ≤Ｈ≤Ｆ（Ｇ）一Ｏｐ（Ｇ），从 而Ｐ 一Ｏｐ（Ｇ）．假若Ｈｃ≠１，由于Ｏｐ（Ｇ）是Ｇ的唯一极小正规子群，所以Ｏｐ（Ｇ）ｎ Ｈ。＝ＨＧ，因此Ｏｐ（Ｇ） ≤ＨＧ≤ＨＧ ｎ Ｐ ≤Ｐ ． （ｖｉ）最后矛盾． 由于ＱＯｐ（Ｇ）ｎ Ｐ：Ｏｐ（Ｇ）≤Ｐ ≤ （Ｐ）．由引理２．６知Ｑ０ （Ｇ）为 幂零群，故ＱＯ （Ｇ） 一Ｑ×Ｏｐ（Ｇ）．因此有Ｑ≤Ｇｃ（Ｏｐ（Ｇ））一Ｏｐ（Ｇ）．产生矛盾． 注１定理中Ｐ是整除Ｇ的阶的最小素因子是必须的．例如Ｇ—Ｓ 为四次对称群．取Ｐ。为Ｇ的 Ｓｙｌｏｗ ２－子群，则Ｐ。的每一个极大子群在Ｎ。（Ｐ ）＝Ｐ。是Ｓ一拟正规嵌入的，但是Ｇ不是２一幂零群． 注２ 假若Ｇ为一个可解群，Ｐ为一个奇素数，定理中的Ｐ 在Ｇ中也是Ｓ一拟正规嵌入的这一条件 不可少．文［１２］的例子：设Ｈ＝Ｚ。×Ｚ。×Ｚ。是一个３。的初等交换群．令Ｇ＝（Ｚ。×Ｚ。×Ｚ。） （Ｚ１。 Ｚ３），其中Ｚ 。 磊是１３阶循环群Ｚ 。和３阶循环群 的半直积．设Ｐ。为Ｇ的Ｓｙｌｏｗ ３－子群， 那么Ｎ。（Ｐ。）一Ｐ。，所以Ｐ。的每一个极大子群在Ｎ。（Ｐ。）一Ｐ。中是Ｓ一拟正规嵌入的．但是Ｇ不是３一幂 零的． 注３满足定理条件的例子也是存在的．例如Ｇ—Ｓ。为三次对称群．取Ｐ 是Ｇ的Ｓｙｌｏｗ ２一子群， 则Ｐ 的每一个极大子群在Ｎ。（Ｐ。）一Ｐ 是Ｓ一拟正规嵌入的，且Ｐ 一１在Ｇ中当然也是Ｓ一拟正规嵌入 的，Ｇ＝＝＝Ｓ。是２一幂零的． 由定理３．１可以得到如下的一些应用． 推论３．１．１［１ ］ 设Ｇ为一个群，Ｐ是整除Ｇ的阶的最小素因子．若存在Ｇ的一个Ｓｙｌｏｗ 子群Ｐ 使得Ｐ的任意极大子群在Ｎｃ（Ｐ）中是Ｓ一拟正规的且Ｐ 在Ｇ中也是Ｓ一拟正规的，其中Ｐ 是Ｐ的导群， 那么Ｇ是Ｐ一幂零的． 推论３．１．２设Ｇ是一个有限群．若对于Ｇ阶的任意素因子ｐ都存在Ｇ的一个Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群Ｐ， 使得Ｐ的任意极大子群在Ｎ。（Ｐ）中的Ｓ一拟正规嵌入的且Ｐ 在Ｇ中也是Ｓ一拟正规嵌入的，其中Ｐ 是Ｐ 的导群，那么Ｇ是超可解型的Ｓｙｌｏｗ塔群． 定理３．２设 为包含所有 幂零群的局部群系，则一个群Ｇ∈Ｓ当且仅当Ｇ有一个正规子群Ｈ， 使Ｇ／Ｈ∈Ｓ，且对于Ｈ的一个Ｓｙｌｏｗ 子群Ｐ满足Ｐ极大子群在Ｎ。（Ｐ）中的Ｓ一拟正规嵌入的且Ｐ 在 Ｇ中也是Ｓ一拟正规嵌入的，其中Ｐ 是Ｐ的导群，Ｐ是整除Ｇ的阶的最小素因子． 证必要性显然，只需证明充分性． 由引理２．１知Ｐ的极大子群在Ｎ （Ｐ）中是Ｓ一拟正规嵌入的且Ｐ 在Ｈ中也是Ｓ一拟正规嵌入的． 应用定理３．１，Ｈ为Ｐ一幂零群，分两种情况予以证明． （ｉ）设１≠Ｌ为Ｈ的正规的Ｈａｌｌ 一子群．由Ｌ ｃｈａｒ Ｈ Ｇ，所以Ｌ Ｇ，从而定理的条件对群Ｇ／Ｌ 满足．事实上，Ｈ／Ｌ Ｇ／Ｌ，（Ｇ／Ｌ）／（Ｈ／Ｌ）￣－Ｇ／Ｈ∈ ．ＬＰ／Ｌ的每个极大子群可表示为ＬＰ ／Ｌ，其中 Ｐ 为Ｐ的极大子群．由于Ｐ 在Ｎ。（Ｐ）中是Ｓ一拟正规嵌入的，由引理２．１知ＬＰ ／Ｌ在ＮＧ／Ｌ（ＰＬ／Ｌ） ４８ 大 学 数 学 第２８卷 ＝Ｎａ（Ｐ）Ｌ／Ｌ中是Ｓ一拟正规嵌入且Ｐ Ｌ／Ｌ＝（ＰＬ／Ｌ） 在Ｇ／Ｌ中是Ｓ一拟正规嵌入，因此定理的条件对 Ｇ／Ｌ继承．对Ｇ的阶进行归纳知Ｇ／Ｌ∈Ｓ．设ｆｉ（ 一１，２）分别为 幂零群系与Ｓ的屏，那么ｆｌ（户）＝１． 由［８，定理３．１．１６１知ｆｌ（ｑ）为所有群组成的群系，其中ｑ：Ｔｉｐ，于是Ｇ／Ｃａ（Ｋ ／Ｋｚ）∈ｆｌ（ｇ），对于含于Ｈ 的每个 主因子Ｋ ／Ｋ ，其中ｑ∈丌（Ｋ ／Ｋ ）．但由［８，定理３．１．１６］知厂１（ｑ） ｆｚ（ｑ），于是 Ｇ／ＣＧ（Ｋ ／Ｋ ）∈ （ｑ），即含于Ｈ中的每个Ｇ主因子是， 一中心的．由此得到ＧＥＳ． （ｉｉ）假若Ｈ的Ｈａｌｌ 一子群Ｌ一１，则Ｈ为Ｐ一群．取Ｎ为包含在Ｈ中的Ｇ的极小正规子群，那么定 理的条件对Ｇ／Ｎ是继承的．对Ｇ的阶进行归纳知Ｇ／Ｎ∈ ．由于 是一个局部群系，因此包含在Ｈ中 的Ｇ的极小正规子群Ｎ具有唯一性且 （Ｈ）＝１．如果Ｈ的极大子群Ｈ ≠１，则Ｈ 在ＮＧ（Ｈ）：Ｇ中 是Ｓ一拟正规嵌入的，因此存在Ｇ的子群Ｋ使Ｈ 为Ｋ的一个Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群且Ｋ在Ｇ中是Ｓ一拟正规 的．假如Ｋ。≠１，取Ｌ为包含于Ｋ。的Ｇ的极小正规子群，则定理的条件对Ｇ／Ｌ是继承的．对Ｇ的阶进 行归纳知Ｇ／上，∈ ．因为Ｇ同构Ｇ／Ｌ×Ｇ／Ｎ的次直积，所以ＧＥ ．假如Ｋｃ一１，此时不妨假设Ｈ 在Ｐ 中是正规的，其中Ｐ是Ｇ的一个Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群．易知Ｇ／Ｔ（其中Ｔ为群Ｇ的极小正规的Ｐ 一群）满足定 理的条件．在这种情况下，类似于（ｉ）的证明得到Ｇ∈Ｓ．由此可知Ｆ（Ｇ）一 （Ｇ）．但是由引理２．５知Ｋ 为幂零群．因为Ｋ在Ｇ中是Ｓ一拟正规的，所以Ｋ为Ｇ的次正规子群，从而Ｋ≤Ｆ（Ｇ）＝Ｏｐ（Ｇ）．这说明 Ｋ为一个 一群，即Ｋ—Ｈ。在Ｇ中是Ｓ一拟正规的．任取Ｇ阶中的素因子ｑ．令Ｇ口为Ｇ的一个Ｓｙｌｏｗ ｑ－子 群．由于Ｈ 在Ｇ中是Ｓ一拟正规的，所以Ｈ Ｇｑ—ＧｑＨ ．因为Ｈ 在Ｇ口Ｈ 中是次正规的Ｈａｌｌ子群，故 ≤ＮＧ（Ｈ ）．又由Ｈ 在Ｐ中是正规的，其中Ｐ是Ｇ的Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群，所以Ｈ 在Ｇ中是正规的．但是 包含在Ｈ中的Ｇ的极小正规子群Ｎ具有唯一性且 （Ｈ）一１，所以Ｇ中存在极大子群Ｍ，使得Ｇ＝ＮＭ 且ＮＮＭ一１．因为Ｎ是含于Ｈ的，所以Ｇ—ＭＨ．假设ＭＮ Ｈ≠１，那么Ｎ含于Ｍ ｎ Ｈ中．这样得到 Ｇ—Ｍ．产生矛盾．因而ＭＮ Ｈ一１，所以Ｈ＝Ｎ，说明Ｈ是Ｇ的极小正规子群．这样与Ｈ的一个极大子 群Ｈ 在Ｇ中正规产生矛盾．如果Ｈ的极大子群Ｈ 一１，那么Ｈ为Ｐ阶子群．这样Ｇ／ＣＧ（Ｈ）是幂指数 整除 一１的交换群．由Ｐ的最小性知道Ｇ—Ｃｃ（Ｈ），说明Ｈ含于Ｇ的中心，因此ＧＥＳ． 推论３．２．１［１。 设Ｇ为一个有限群，Ｐ为Ｇ阶的最小素因子，Ｈ是Ｇ的一个正规子群且使得Ｃ／Ｈ 为Ｐ一幂零群．如果存在Ｈ的一个Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群Ｐ满足Ｐ极大子群在ＮＧ（Ｐ）中是Ｓ＿拟正规的且Ｐ 在Ｇ 中也是Ｓ一拟正规的，其中Ｐ 是Ｐ的导群，那么Ｇ是Ｐ一幂零的． 定理３．３设Ｇ是一个有限群．若对于Ｇ阶的任意素因子Ｐ都存在Ｇ的一个Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群Ｐ，使 得Ｐ的任意极大子群在Ｎ。（Ｐ）中是Ｓ一拟正规嵌入的且Ｐ 在Ｇ中也是Ｓ一拟正规嵌入的，其中Ｐ 是Ｐ 的导群，那么Ｇ是超可解的． 证假设结论不对，并设Ｇ是极小阶反例． 由推论３．１．２知Ｇ是超可解型的Ｓｙｌｏｗ塔群，因此Ｇ是可解群．设Ｎ为Ｇ的一个极小正规子群， 那么定理的条件对Ｇ／Ｎ是成立的，所以由Ｇ的极小性得到Ｇ／Ｎ是超可解群．由于所有的超可解群组 成一个饱和群系，因此Ｎ具有唯一性且Ｎ （Ｇ）．故Ｇ中存在一个极大子群Ｍ，使得Ｇ—ＮＭ且Ｎ ｎ Ｍ一１并且Ｎ—ＣＧ（Ｎ）一Ｏｐ（Ｇ）一Ｆ（Ｇ）．设ｇ是Ｇ的最大素因子且Ｑ为Ｇ的Ｓｙｌｏｗ ｑ－子群，则Ｑ Ｇ 且 （Ｑ）一１．由Ｎ的唯一性知Ｎ≤Ｑ，因此Ｇ＝ＭＱ并有Ｑ ｎＭ在Ｇ中正规．假若ＱＮＭ≠１，Ｎ≤ＱＮＭ ≤Ｍ，所以Ｇ＝Ｍ．产生矛盾．因此有ＱｎＭ＝１，这样Ｑ＝＝＝Ｎ．根据定理的假设Ｑ的极大子群Ｑ 在 Ｎ。（Ｑ）一Ｇ中是Ｓ一拟正规嵌入的，因而存在Ｇ的子群Ｈ使Ｑ 为Ｈ的一个Ｓｙｌｏｗ ｑ－子群且Ｈ在Ｇ中 是Ｓ一拟正规的．假设Ｈ。≠ｌ，由于Ｑ的唯一性可知Ｑ≤Ｈ。≤Ｈ，但Ｑ 为Ｈ的Ｓｙｌｏｗ ｑ－子群，这就得到 Ｑ 一Ｑ．产生矛盾．假若Ｈ。＝１，由引理２．５知Ｈ为幂零群．因为Ｈ在Ｇ中是Ｓ一拟正规的，所以Ｈ为Ｇ 的次正规子群，从而Ｈ≤Ｆ（Ｇ）一０ （Ｇ）．这说明Ｈ为一个Ｐ一群，即Ｈ—Ｑ 在Ｇ中是Ｓ一拟正规的．任取 Ｇ阶中的素因子Ｐ，令Ｇ 为Ｇ的一个Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群．由于Ｑ 在Ｇ中是Ｓ一拟正规的，所以Ｑ Ｇｐ—Ｇ Ｑ ． 因为Ｑ 在Ｇ Ｑ 中是次正规的Ｈａｌｌ子群，故Ｇ ≤Ｎ。（Ｑ ）．又由Ｑ 在Ｑ中是正规的，所以Ｑ 在Ｇ中 是正规的．这与Ｑ是Ｇ的极小正规性产生矛盾，因此Ｇ是超可解． 推论３．３．１［１。 设Ｇ是一个有限群．若对于Ｇ阶的任意素因子Ｐ都存在Ｇ的一个Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群 Ｐ，使得Ｐ的任意极大子群在Ｎ。（Ｐ）中是Ｓ一拟正规的且Ｐ 在Ｇ中也是Ｓ一拟正规的，其中Ｐ 是Ｐ的导 群，那么Ｇ是超可解的． 第１期 高金新，等：Ｓ拟正规嵌入子群 ４９ 定理３．４设Ｓ为包含超可解群的局部群系，则一个群Ｇ∈Ｓ当且仅当Ｇ有一个正规子群Ｈ，使 Ｇ／Ｈ∈Ｓ，且对于Ｈ的每个Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群Ｐ满足Ｐ极大子群在Ｎ。（Ｐ）中是Ｓ一拟正规嵌入的且Ｐ 在Ｇ 中也是Ｓ一拟正规嵌入的，其中Ｐ 是Ｐ的导群． 证必要性显然，只需证明充分性． 设Ｇ为一个极小阶反例．那么由定理３．３知Ｈ是超可解群．设Ｐ是Ｈ阶的最大素因子，Ｐ是Ｈ的 Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群，那么Ｐ在Ｇ中是正规的．取Ｎ≤Ｐ且Ｎ为Ｇ的极小正规子群，定理的条件对商群Ｇ／Ｎ 是继承的．事实上，（Ｇ／Ｎ）／（Ｈ／Ｎ）竺Ｇ／Ｈ∈ ．应用引理２．１知Ｈ／Ｎ满足定理的条件．对Ｇ的阶归纳 可知Ｇ／Ｎ∈Ｓ．由于 是局部群系，所以』ｖ是Ｇ的包含在Ｈ中的唯一的极小正规子群且Ｎ篓 （Ｇ）．由 引理２．８得到Ｆ（Ｈ）一Ｎ．因为Ｈ是超可解的，所以Ｆ（Ｈ）一Ｎ是初等交换Ｐ一群并满足Ｆ（Ｈ）≤ＣＧ（Ｎ） ≤Ｎ．因为Ｐ≤Ｆ（Ｈ），所以Ｆ（Ｈ）一Ｎ—Ｐ．由于Ｐ的极大子群在ＮＧ（Ｐ）一Ｇ中是Ｓ一拟正规嵌入的，由 引理２．３得到Ｇ∈ ． ［参 考 文 献］ ［１］ Ｏｒｅ ０．Ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｇｒｏｕｐｓ ｆｉｎｉｔｅ ｏｒｄｅｒ［Ｊ］．Ｄｕｋｅ Ｍａｔｈ．Ｊ，１９３９，５：４３１—４６０． ［２］ Ｉｔｏ ａｎｄ Ｓｚｅ’Ｐ．Ｕｂｅｒ ｄｉｅ ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌｔｅｉｌｅｒ ｖｏｎ ｅｎｄｌｉｃｈｅｎ ｇｒｕｐｐｅｎ［Ｊ］．Ａｃｔ．Ｓｃｉ．Ｍａｔｈ，１９６２，２３：１６８—１７０． ［３］ Ｋｅｇａｌ Ｏ Ｈ．Ｓｙｌｏｗ ｇｒｏｕｐｐｅｎ ａｎｄ ｓｕｂｎｏｒｍａｌｔｅｉｌｅｒ ｅｎｄｌｉｃｈｅｒ ｇｒｏｕｐｐｅｎ［Ｊ］．Ｍａｔｈ．ｚ，１９６２，７８：２０ｚ一２２１． ［４］ Ａｓａａｄ Ｍ，Ｒａｍａｄａｎ Ｍ．Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ Ｓ—ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌｉｔｙ ｏｎ ｍａｘｉｍａｌ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ｏｆ Ｓｙｌｏｗ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ｏｆ Ｆｉｔｔｉｎｇ ｏｆ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐ［Ｊ］．Ａｒｃｈ Ｍａｔｈ，１９９１，５６：５２１—５２７． ［５］ Ｂａｌｌｅｓｔｅｒ－Ｂｏｌｉｎｃｈｅｓ Ａ，Ｐｅｄｒａｚａ—Ａｑｕｉｌｅｒａ Ｍ Ｃ．Ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｕｐｅｒＳｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐｕｒｅ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ａｌｇｅｂｒａ，１９９８，１２７：１１３—１１８． ［６］ Ａｓａａｄ Ｍ，Ｈｅｌｉｅｌ Ａ Ａ．Ｏｎ Ｓ—ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｔｙ ｅｍｂｅｄｄｅｄ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ１．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐｕｒｅ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ａｌｇｅｂｒａ，２００１，１６５：１２９—１３５． ［７］ ＬＩ Ｙ Ｍ，ＷＡＮＧ Ｙ Ｍ，ＷＥＩ Ｈ Ｑ．Ｏｎ Ｐ—ｎｉｌｐｏｔｅｎｃｙ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐｓ ｗｉｔｈ ｓｏｍｅ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ 一ｑｕａｓｉｎｏｍａｌｌｙ ｅｍｂｅｄｄｅｄ ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ｍａｔｈ Ｈｕｎｇａｒ，２００５，１０８（４）：１—１７． ［８］ 郭文彬．群类论［Ｍ］．北京：科学出版社，２０００． ［９］ 徐明耀．有限群导引（上、下册）［Ｍ］．北京：科学出版社，１９９９． ［１Ｏ］ Ｄｅｓｋｉｎｓ Ｗ Ｅ．Ｏｎ ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｓｃｈｅ Ｚｅｉｔｓｃｈｒｉｆｔ［Ｊ］．１９６３，８２：１２５—１３２． ［１１］ Ｌｉ Ｙ，Ｗａｎｇ Ｙ．Ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌｉｔｙ ｏｆ ｓｏｍｅ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐ［Ｊ］．Ａｒｃｈ Ｍａｔｈ，２００３，８１： ２４５—２５２． ［１２］ 郭秀云，赵先鹤．Ｓｙｌｏｗ子群的极大子群在局部子群中的 一拟正规性［Ｊ］．数学物理学报，２００８，２８Ａ（６）： １２２２～１２２６． Ｓ—ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌｌｙ Ｅｍｂｅｄｄｅｄ Ｓｕｂｇｒｏｕｐ ＧＡＯ Ｊｉｎ—ｘｉｎ ， Ｌ，Ｂａｏ－ｊｕｎ （１．Ｄｅｐｔ．ｏｆ Ａｐｐ１．Ｍａｔｈ．Ｐｈｙ，Ａｎｈｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｗｕｈｕ，２４１０００ Ｃｈｉｎａ； ２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｃｈｅｎｇｄｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ ６１０２２５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｓｕｂｇｒｏｕｐ Ｈ ｏｆ ａ ｇｒｏｕｐ Ｇ ｉｓ ｓａｉｄ ｔＯ ｂｅ Ｓ－ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌｌｙ ｅｍｂｅｄｄｅｄ ｉｎ Ｇ ｉｆ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｐｒｉｍｅ Ｐ ｄｉｖｉｄｉｎｇ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ Ｈ，ａ Ｓｙｌｏｗ Ｐ—ｓｕｂｇｒｏｕｐ ｏｆ Ｈ ｉｓ ａｌｓｏ ａ Ｓｙｌｏｗ Ｐ—ｓｕｂｇｒｏｕｐ ｏｆ ｓｏｍｅ Ｓ－ｑｕａｓｉｎｏｒｍｌ ｓｕｂｇｒｏｕｐ ｏｆ Ｇ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｗｅ ａｎａｌｙｓｅ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ Ｐ—ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ ｇｒｏｕｐ ａｎｄ ｓｕｐｅｒｓｏｖａｂｌｅ ｇｒｏｕｐ ｗｉｔｈ Ｓ－ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌｌｙ ｅｍｂｅｄｄｅｄ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｉｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐ；ｍａｘｍａｌ ｓｕｂｇｒｏｕｐ；ｆｏｒｍａｔｉｏｎ；Ｓ—ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌｌｙ ｅｍｂｅｄｄｅｄ ｓｕｂｇｒｏｕｐ