高中数学六大思想之五：特殊与一般
1．什么是特殊化思想：
对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.
2．什么是一般化思想：
当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想.
特殊与一般的思想方法主要表现在如下几方面:
1. 特殊问题一般化：
在解决数学问题的过程中，我们思考一个问题，有时可以跳出它的范围去思考比它更一般的问题，有时一般的问题比特殊的问题更易于解决或解决了一般的问题就得到了许多类似问题的结果.因此只要解决了一般性的问题，特殊性的问题也就迎刃而解了.
esp1
：
求
证
：
sin70°+sin10°>sin100°>sin70°-sin10°.
【分析】 此题按照一般解法去做，要分别证明两个不等式.经观察发现，此题中涉及的三个角之和恰为１８０°，这提醒我们将问题放到三角形中研究，所证问题转化为：sinA+sinB>sinC>sinA-sinB.而三角形中最常用的不等关系就是“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”，实现边角关系相互转化的常用工具是“正弦定理”和“余弦定理
”.
解： 在△ＡＢＣ中，设∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边分别是a、b、c，则得a+b>c>a-b. 由正弦定理得
=k，故ksinＡ＋ksinB>ksinC>ksinA-ksinB，
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所
以
sinA+sinB>sinC>sinA-sinB.
特殊地：将Ａ＝７０°、Ｂ＝１０°、Ｃ＝１００°代入上面的不等式即得所求证的结论
2. 一般问题特殊化：
esp2: 如图１，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中，已知面ＡＢＣＤ是边长３的正方形，ＥＦ∥ＡＢ，ＥＦ与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积可能为（ ）.
解： 本题的图形是多面体，需要对其进行必要的分割.连ＥＢ、ＥＣ，得四棱锥Ｅ－ＡＢＣＤ和三棱锥Ｅ－ＢＣＦ，这当中，四棱锥Ｅ－ＡＢＣＤ的体积易求得ＶＥ－ＡＢＣＤ＝×３×３×２＝６，又因为一个几何体积的体积应大于它的部分体积，所以不必计算三棱锥Ｅ－ＢＣＦ的体积，就可以排除Ａ，Ｂ，Ｃ，故选Ｄ.
３. 特殊问题特殊化：
对具体的问题，给出另一种解释，其目的是为了使问题中的对象进入某一领域，以便利用此领域的知识及方法来解决给定的问题. esp3: 求函数
的最大值与最小值.
一般解法：∵ 对一切x∈R，２－sinx≠0都成立， ∴ 函数的定义域为Ｒ.
由
∵ 函数的定义域为Ｒ，
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∴ 函数的最大值与最小值分别为：
，-；
特殊解法：把函数值看成由点Ａ（２，０）和点Ｐ（sinx，-cosx）构成直线的斜率
（如图），
由图易求函数的最大值与最小值分别为，－.
4.取特殊数值： esp4：（2008重庆卷,理6）若定义在上的函数
满足：对任意
有
,则下列说法一定正确的是（ ）
(A)
为奇函数（B）
为偶函数(C) 为奇函数（D）与
为偶函数
所以
分析：判断函数的奇偶性需要用定义，即找
需要先求出解：令
的值，这时需要取特殊值，得，∴
答案：
，令
之间的关系，由于解答。
得
∴
为奇函数，故选
5.取特殊函数：
esp5:（2008陕西卷，理11.改编）定义在（A．2
），B．3
及 ，则C．6
上的函数
满足
等于（ ） D．9
，可令
为特殊值，求出
，
分析：由
再取特值研究函数的奇偶性；或直接取满足条件的特殊函数解答。 解法一：取解法二：
，则满足
中，令
和，得
，∴，再令
，选D 得
，
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再令D
，得
，令
得，
，再令
，得
，选
6.取特殊数列：
esp6：（2008四川卷，理7）已知等比数列) （Ａ） （Ｃ）
（Ｂ） （Ｄ）
中
，则其前3项的和
的取值范围是(
分析：本题中的等比数列只知道问题，可取定公比加以排除。 解法一：∵等比数列 当公比为
故选D； 解法二：∵等比数列
中
∴
时，
中
，如果再知道公比，数列就可以确定，而选项是范围
∴当公比为1时，
，
， ；
从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）
∴当公比时，；
当公比时，
∴
故选D；
评注：取特殊数列入手淘汰，如果一次不能区分，则需多次取有区分度的值进行排除，直至能辨别出正确答案为止，也可多种方法并存。要重视等比数列的通项公式，前项和公式，
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以及均值不等式的应用，特别注重均值不等式使用的条件是否具备，不具备就要进行分类讨论。
4.取特殊位置：
esp7：（2008宁夏区银川一中）如图，边长为的正已知
是
绕
旋转过程中的一个图形，现给出
中线
与中位线
相交于
下，
列命题，其中正确的命题
有 （填上所有正确命题的序号）
（1）动点（2）三棱锥（3）恒有平面（4）异面直线分析:由于情况.
解: 不论怎样转动,锥
,（1）（3）正确,（2）
FGA
时, 三棱锥
在平面
内的射影与
不再变化,当高最大时,三棱的体积有最大值也正确,平行时就一定垂直.
是
与绕
在平面
上的射影在线段的体积有最大值； 平面
；
上；
不可能互相垂直；
旋转过程中的一个图形,可以转动到特殊位置,需要考虑特殊
的体积有最大值,即当
（4）不正确,由三垂线定理知,当
esp8:（福建省八闽高中）某校高三年级老师到外校参观学习2天，留下6位老师值班，记每天上午、下午、晚上各为一“工作时”，则每位老师必须且只需值班一个“工作时”，由于有事，甲老师不能值晚班，乙老师不能值下午班，那么年级值班排法共有…………………………………（ ）
A．288种 B．312种 C．336种 D．360种
分析：甲老师、乙老师都有特殊要求，应该先满足他们的特殊要求先排，如果先排甲老师，则由于他排在上午和下午会影响到乙老师的排法，所以需要分类讨论。
解：先排甲老师有两种情况，（1）甲老师排在上午值班，有2种方法，乙老师排在晚上值班也有2种方法，其余4位老师有
种方法，共2×2×24=96种方法。（2）甲老师排在下
种方法，共有240种
午值班，有2种方法，乙老师与其他4位老师随便排都可以，有方法；由（1）（2）可知共336种方法。
评注：本题为排列组合的特殊元素和特殊位置题，按特殊元素和特殊位置优先的原则，分情
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况讨论。
5.取特殊的点: esp9：（2009山东文登三中）已知函数
，则
的图象是（ ）
A B C D
分析：可以根据已知函数写出所研究的函数，没有必要画出函数图象，只需取特殊点就可以
判断。 解：由已知得
取特殊值
和
时，图象所过的点为
，结合图形知选D。
答案：D
6．由一般到特殊和由特殊到一般： esp10：（2008湖北卷，理15）观察下列等式：
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……………………………………
可以推测，当≥2（）时，
.，0
分析：本题为找规律题，可以纵观全局，就会发现这些式子的特点，纵向观察，找出规律和共性，得到答案。
解：纵向观察每个式子的第一项，
可知
再看每个式子的第二项，都
是，所以，同理，，0
答案：，0
esp11：（2008辽宁卷，理21）在数列列，
成等比数列（
）
，
的通项公式，并证明你的结论；
，
中，a1=2，b1=4，且
成等差数
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测（Ⅱ）证明：
．
分析：由已知条件可先算出前几项，再归纳总结，用数学归纳法证明。 解：（Ⅰ）由条件得由此可得
．猜测
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立． ②假设当n=k时，结论成立，即
．
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，
那么当n=k+1时，
．
所以当n=k+1时，结论也成立． 由①②，可知（Ⅰ）
．
对一切正整数都成立．
n≥2时，由（Ⅰ）知故
．
综上，原不等式成立．
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