立体几何证明与计算

1棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段AB1,BC1上,且

AM=BN,给出以下结论:

①AA1⊥MN ②异面直线AB1,BC1所成的角为60°

③四面体B1-D1CA的体积为

1 3（ ）

④A1C⊥AB1,A1C⊥BC1,其中正确的结论的个数为 A．4 B]3 C．2 D．1

2已知60的二面角l,点A,ACl,C为垂足,B,BDl,D为垂足,若

0AC=BD=DC=1则AB与面所成角的正弦值为__________

3将

,边长为的菱形沿对角线折成大小等于的二面角,则

下列说法中正确的有__________(填上所有正确的答案). ①; ②当时,;

③若平面BAD⊥平面BCD,则 BC⊥DC,BA⊥DA;

④当

时,四面体B-ACD外接球的体积为.

4如图1,在等腰直角三角形ABC中,A90,BC6,D,E分别是AC,AB上的点,CDBE2,O为BC的中点.将ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥

ABCDE,其中AO3. (Ⅰ) 证明:AO平面BCDE； (Ⅱ) 求二面角ACDB的平面角的余弦值. C D O . E C A 图1

D 图2

P B

A

O E

B 5、5（2011广东高考）如图5，在锥体PABCD中，ABCD菱形，且DAB60，PAPD2，PB2，E,F分别

是边长为1的

F

D E

A

图5

C

B

是BC,PC的中点．

（1）证明：AD平面DEF；

（2）求二面角PADB的余弦值．

6．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．

C C

D

B A B A

第1题图 第1题图

（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．

（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．

（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．

7在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.

(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；

(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．

8如图，

在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝22.

(1)证明：PA∥平面BDE； (2)证明：AC⊥平面PBD；

(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．

9如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点． (1)求直线B1C与DE所成角的余弦值；

(2)求证：平面EB1D⊥平面B1CD； (3)求二面角E－B1C－D的余弦值．

10如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，

∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)证明AE⊥平面PCD；

(3)求二面角A—PD—C的正弦值．

12 如图，在三棱锥A-BOC中，AO底面BOC,OABOAC300, AB=AC=4,BC22,动点D在线段AB上.

(Ⅰ)求证:平面COD⊥平面AOB；

(Ⅱ)当点D运动到线段AB的中点时,求二面角D-CO-B的大小； (Ⅲ)当CD与平面AOB所成角最大时，求三棱锥C-OBD的体积.

立体几何大题

1棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段AB1,BC1上,且AM=BN,给出以下结论:

①AA1⊥MN ②异面直线AB1,BC1所成的角为60° ③四面体B1-D1CA的体积为

13 ④A1C⊥AB1,A1C⊥BC1,其中正确的结论的个数为 A．4 B]3 C．2 D．1 【答案】A

）（

2已知60的二面角l,点A,ACl,C为垂足,B,BDl,D为垂足,若

0AC=BD=DC=1则AB与面所成角的正弦值为__________

【答案】

6 4沿对角线

折成大小等于

的二面角

,则

3将,边长为的菱形

下列说法中正确的有__________(填上所有正确的答案).

①; ②当时,;

③若平面BAD⊥平面BCD,则 BC⊥DC,BA⊥DA;

④当时,四面体B-ACD外接球的体

积为

【答案】①③④

.

4如图1,在等腰直角三角形ABC中,A90,BC6,D,E分别是AC,AB上的点,CDBE2,O为BC的中点.将ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥

ABCDE,其中AO3. (Ⅰ) 证明:AO平面BCDE； (Ⅱ) 求二面角ACDB的平面角的余弦值. C D O . E C A 图1

4、(Ⅰ) 在图1中,易得OC3,AC32,AD22 D 图2

B

A

O E

B

A

连结OD,OE,OCD在中,由余弦定理可得

C D H

O E

B ODOC2CD22OCCDcos455

由翻折不变性可知AD22, 222所以AOODAD,所以AOOD,

理可证AOOE, 又ODOEO,所以AO平面BCDE.

(Ⅱ) 传统法:过O作OHCD交CD的延长线于H,连结AH, 因为AO平面BCDE,所以AHCD, 所以AHO为二面角ACDB的平面角.

结合图1可知,H为AC中点,故OH323022,从而AHOHOA 22所以,所以二面角ACDB的平面

OH1515弦值为. 5AH55、（2011广东高考）如图5，在锥体PABCD中，ABCD是P 角的余cosAHO边长为1的

菱形，且DAB60，PAPD2，PB2，E,F 分别是BC,PC的中点．

（1）证明：AD平面DEF；

（2）求二面角PADB的余弦值．

F

D E

A

图5

C

B

5、 （1）证明：取AD的中点H，连接PH,BH,BD ∵PAPD，∴ADPH

∵在边长为1的菱形ABCD中，DAB60 ∴△ABD是等边三角形

∴ADHB，PHHBH ∴AD平面PHB ∴ADPB

∵E,F分别是BC,PC的中点 ∴EF∥PB，HB∥DE

∴ADDE，ADEF，DEEFE ∴AD平面DEF

（2）解：由（1）知PHAD，HBAD ∴PHB是二面角PADB的平面角 易求得PH73 ,BH222227334PHHBPB21442∴cosPHB∴二面角2PHHB773212222PADB的余弦值为



21 7

6．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．

C C

D

B A B

A 第1题图 第1题图

（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．

（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．

（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值． 解：（1）用直尺度量折后的AB长，若AB＝4cm，则二面角A－CD－B为直二面角．

∵ △ABC是等腰直角三角形，

 ADDB22cm,

又∵ AD⊥DC，BD⊥DC． ∴ ∠ADC是二面角A－CD－B的平面角．

 ADDB22, 当AB4cm时,有 AD2DB2AB2.  ADB90.

（2）取△ABC的中心P，连DP，则DP满足条件 ∵ △ABC为正三角形，且 AD＝BD＝CD． ∴ 三棱锥D－ABC是正三棱锥，由P为△ABC的中心，知DP⊥平面ABC， ∴ DP与平面内任意一条直线都垂直． （3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r，故有VABCDVOBCDVOADCVOABDVOABC代入得r最大的小球半径为

326，即半径3326． 3（4）

7在如图所示的

几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.

(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；

(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．

6如图，

在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝22.

(1)证明：PA∥平面BDE； (2)证明：AC⊥平面PBD；

(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．

7如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点． (1)求直线B1C与DE所成角的余弦值； (2)求证：平面EB1D⊥平面B1CD； (3)求二面角E－B1C－D的余弦值． 9．(1)证明 因为MA⊥平面ABCD，

PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.

又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.(2分) 因为四边形ABCD为正方形， 所以BC⊥DC.

又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.(4分)

在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，

所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG， 所以平面EFG⊥平面PDC.(6分)

(2)解 因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1， 则PD＝AD＝2，

18

所以VP－ABCD＝S正方形ABCD·PD＝.(8分)

33

由题意可知，DA⊥平面MAB，且PD∥MA， 所以DA即为点P到平面MAB的距离，

112

所以VP－MAB＝××1×2×2＝.(10分)

323

所以VP－MAB∶VP－ABCD＝1∶4.(12分) 10．(1)证明

设AC∩BD＝H，连接EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又由题设，知E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE，且PA⊄平面BDE，

所以PA∥平面BDE.(4分)

(2)证明 因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(Ⅰ)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，

故AC⊥平面PBD.(8分)

(3)解 由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．

232由AD⊥CD，AD＝CD＝1，DB＝22，可得DH＝CH＝，BH＝. 22

CH1

在Rt△BHC中，tan∠CBH＝＝. BH3

1

所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为.

3

(12分)

11．(1)解 连接A1D，则由A1D∥B1C知，B1C与DE所成角即为A1D与DE所成角．(2分)

连接A1E，可设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a， 则A1D＝2a，

5

A1E＝DE＝a，

2

∴cos∠A1DE＝ A1D2＋DE2－A1E210

＝. 2·A1D·DE5

10.(6分) 5

(2)证明 取B1C的中点F，B1D的中点G， 连接BF，EG，GF.∵CD⊥平面BCC1B1， 且BF⊂平面BCC1B1，∴CD⊥BF. 又∵BF⊥B1C，CD∩B1C＝C， ∴BF⊥平面B1CD.(8分)

11

又∵GF綊CD，BE綊CD，

22

∴GF綊BE，∴四边形BFGE是平行四边形， ∴BF∥GE，∴GE⊥平面B1CD. ∵GE⊂平面EB1D，

∴平面EB1D⊥B1CD.(10分) (3)解 连接EF.

∵CD⊥B1C，GF∥CD，∴GF⊥B1C. 又∵GE⊥平面B1CD，∴GE⊥B1C.

又∵GE∩GF＝G，∴B1C⊥平面GEF，∴EF⊥B1C， ∴∠EFG是二面角E－B1C－D的平面角．(12分) 设正方体的棱长为a，则在△EFG中，

13GF3GF＝a，EF＝a，GE⊥GF，∴cos∠EFG＝＝，

22EF3

3

∴二面角E－B1C－D的余弦值为.(14分)

3

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，

∴直线B1C与DE所成角的余弦值是∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)证明AE⊥平面PCD；

(3)求二面角A—PD—C的正弦值．

思维启迪：(1)先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；(2)可以利用线面垂直根据二面角的定义作角． (1)解 在四棱锥P—ABCD中， 因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD， 故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A， 从而AB⊥平面PAD，

故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角． 在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°. 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°. (2)证明 在四棱锥P—ABCD中， 因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， 故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC.

又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD.

由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD.

(3)解 过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示． 由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM， 则AM⊥PD.

因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角． 由已知，可得∠CAD＝30°. 设AC＝a，可得

23212PA＝a，AD＝a，PD＝a，AE＝a.

332在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD， 23a·a3PA·AD27

则AM＝＝＝a.

PD721

a3AE14

在Rt△AEM中，sin∠AME＝＝.

AM4所以二面角A—PD—C的正弦值为

14

. 4

【解析】

类型四、平面与平面垂直的性质及应用

例4 如图，在三棱锥A-BOC中，AO底面BOC,OABOAC30, AB=AC=4,BC22,动点D在线段AB上.

(Ⅰ)求证:平面COD⊥平面AOB；

(Ⅱ)当点D运动到线段AB的中点时,求二面角D-CO-B的大小； (Ⅲ)当CD与平面AOB所成角最大时，求三棱锥C-OBD的体积. 证明(Ⅰ)：∵AO底面BOC,∴AOOC，AOOB。

∵OABOAC30,AB=AC=4, ∴OC=OB=2。…2分 ∵BC22,∴OCOB,∴OC平面AOB。……4分 ∵OC平面COD，∴平面COD平面AOB。………5分

00解(Ⅱ)：

由(Ⅰ)知OC平面AOB，∴OCOB，OCOD, ∴DOB是二面角D-CO-B的平面角。 …………7分 ∵D为AB的中点，∴OD=2,BD=2,又OB=2，∴DOB=60， ∴二面角D-CO-B的大小为60。…………9分 解(Ⅲ)：∵OC平面AOB，CD交平面AOB于D, ∴CDO是CD与平面AOB所成角。…10分 tanCDO=

OCOD2OD，据正切函数的单调性知，当OD最小时，CDO最大，OD=3为最小值，此时，BD=1.…12分

∴V113C-OBD=323123. 即CD与平面AOB所成角最大时，三棱锥C-OBD的体积为33.

ODAB, ∴取