z一元二次方程应用题经典题型汇总之欧侯瑞魂
创作
创作时间：二零二一年六月三十日 一、增长率问题
例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元, 十月份的销售额下降了20%, 商厦从十一月份起加强管理, 改善经营, 使销售额稳步上升, 十二月份的销售额到达了193.6万元, 求这两个月的平均增长率.
解 设这两个月的平均增长率是x., 则根据题意, 得200(1－20%)(1+x)＝193.6,
即(1+x)＝1.21, 解这个方程, 得x1＝0.1, x2＝－2.1（舍去）.
答 这两个月的平均增长率是10%.
说明 这是一道正增长率问题, 对正的增长率问题, 在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义, 即可利用公式m(1+x)＝
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n求解, 其中m＜n.对负的增长率问题, 若经过两次相等下降后,
则有公式m(1－x)＝n即可求解, 其中m＞n.
二、商品订价
例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品, 该商品可以自行订价, 若每件商品售价a元, 则可卖出（350－10a）件, 但物价局限定每件商品的利润不得超越20%, 商店计划要盈利400
创作时间：二零二一年六月三十日
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元, 需要进货几多件？每件商品应订价几多？
解 根据题意, 得(a－21)(350－10a)＝400, 整理, 得a－56a+775＝0,
解这个方程, 得a1＝25, a2＝31.
因为21×(1+20%)＝25.2, 所以a2=31分歧题意, 舍去. 所以350－10a＝350－10×25＝100（件）. 答 需要进货100件, 每件商品应订价25元.
说明 商品的订价问题是商品交易中的重要问题, 也是各种考试的热点.
三、储蓄问题
例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年按期含蓄存入“少儿银行”, 到期后将本金和利息取出, 并将其中的500元捐给“希望工程”, 剩余的又全部按一年按期存入, 这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%, 这样到期后, 可得本金和利息共530元, 求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）
解 设第一次存款时的年利率为x.
则根据题意, 得[1000(1+xx)＝530.整理, 得90x+145x－3＝0. 解这个方程, 得x1≈0.0204＝2.04%, x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数, 所以将x2≈－1.63舍去.
答 第一次存款的年利率约是2.04%.
说明 这里是按教育储蓄求解的, 应注意不计利息税. 四、趣味问题
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例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城, 横着怎么也拿不进去, 量竹竿长比城门宽4米, 旁边一个醉汉讥笑他, 你没看城门高吗, 竖着拿就可以进去啦, 结果竖着比城门高2米, 二人没法子, 只好请教聪慧人, 聪慧人教他们二人沿着门的对角斜着拿, 二人一试, 未几很多刚好进城, 你知道竹竿有多长吗？
解 设渠道的深度为xm, 那么渠底宽为(x+0.1)m, 上口宽为(x+0.1+1.4)m.
则根据题意, 得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8, 整理, 得xx－1.8＝0.
解这个方程, 得x1＝－1.8（舍去）, x2＝1. 所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5. 答 渠道的上口宽2.5m, 渠深1m.
说明 求解本题开始时好象无从下笔, 但只要能仔细地阅读和口味, 就能从中找到等量关系, 列出方程求解.
五、古诗问题
例5 读诗词解题：（通过列方程式, 算出周瑜去世时的年龄）.
年夜江东去浪淘尽, 千古风流数人物； 而立之年督东吴, 早逝英年两位数； 十位恰小个位三, 个位平方与寿符； 哪位学子算得快, 几多年华属周瑜？
解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x, 则十位数字为x－3.
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则根据题意, 得x＝10(x－3)+x, 即x-11x+30＝0, 解这个方程, 得x＝5或x＝6.
当x＝5时, 周瑜的年龄25岁, 非而立之年, 分歧题意, 舍去；
当x＝6时, 周瑜年龄为36岁, 完全符合题意. 答 周瑜去世的年龄为36岁. 六、象棋角逐
例6 象棋角逐中, 每个选手都与其他选手恰好角逐一局, 每局赢者记2分, 输者记0分.如果平局, 两个选手各记1分, 领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数, 分别是1979, 1980, 1984, 1985.经核实, 有一位同学统计无误.试计算这次角逐共有几多个选手介入.
解 设共有n个选手介入角逐, 每个选手都要与(n－1)个选手角逐一局, 共计n(n－1)局, 但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次, 因此实际角逐总局数应为n(n－1)局.由于每局共计2分, 所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的自然数, 容易验证, 相邻两自然数乘积的末位数字只能是0, 2, 6, 故总分不成能是1979, 1984, 1985, 因此总分只能是1980, 于是由n(n－1)＝1980, 得n－n－1980＝0, 解得n1＝45, n2＝－44（舍去）.
答 介入角逐的选手共有45人.
说明 类似于本题中的象棋角逐的其它体育角逐或互赠贺年片
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等问题, 都可以仿照些方法求解.
七、情景对话
例7 年龄旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游, 推出了如图1对话中收费标准.
某单元组织员工去天水湾风景区旅游, 共支付给年龄旅行社旅游费用27000元.请问该单元这次共有几多员工去天水湾风景区旅游？
解 设该单元这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000, 所以员工人数一定超越25人.
则根据题意, 得[1000－20(x－25)]x＝27000.
整理, 得x－75x+1350＝0, 解这个方程, 得x1＝45, x2＝30. 当x＝45时, 1000－20(x－25)＝600＜700, 故舍去x1； 当x2＝30时, 1000－20(x－25)＝900＞700, 符合题意. 答：该单元这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.
说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系, 求得的解还要注意分类讨论, 从中找出符合题意的结论.
八、等积变形
例8 将一块长18米, 宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部份）所占的面积为原来荒空中积的三分之二.（精确到0.1m）
（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.
（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.
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以上两种方案是否都能符合条件?若能, 请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件, 请说明理由.
解 都能.（1）设小路宽为x, 则18x+16x－x＝×18×15, 即x－34x+180＝0,
解这个方程, 得x＝
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, 即x≈6.6.
2
（2）设扇形半径为rr＝×18×15, 即r≈57.32, 所以
r≈7.6.
说
明 等积变形一般都是涉及的是罕见图形的体积, 面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变, 但重量不变, 等等.
九、静态几何问题
例9 如图4所示, 在△ABC中, ∠C＝90?/SPAN>, AC＝6cm,
BC＝8cm, 点P从点A动身沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,
点Q从C点动身沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q同时动身, 几秒钟后, 可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中, 是否存在某一时刻, 使得△PCQ创作时间：二零二一年六月三十日
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的面积即是△ABC的面积的一半.若存在, 求出运动的时间；若不存在, 说明理由.
解 因为∠C＝90?/SPAN>, 所以AB＝（cm）.
（1）设xs后, 可使△PCQ的面积为8cm, 所以AP＝xcm, PC＝(6－x)cm, CQ＝2xcm.
则根据题意, 得·(6－x)·2x＝8.整理, 得x－6x+8＝0, 解这个方程, 得x1＝2, x2＝4.
所以P、Q同时动身, 2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm. （2）设点P动身x秒后, △PCQ的面积即是△ABC面积的一半. 则根据题意, 得(6－x)·2x＝××6×8.整理, 得x－6x+12＝0.
由于此方程没有实数根, 所以不存在使△PCQ的面积即是ABC面积一半的时刻.
说明 本题虽然是一道静态型应用题, 但它又要运用到行程的知识, 求解时必需依据路程＝速度×时间.
十、梯子问题
例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上, 梯子的底端距墙角6m. （1）若梯子的顶端下滑1m, 求梯子的底端水平滑动几多米？ （2）若梯子的底端水平向外滑动1m, 梯子的顶端滑动几多米？
（3）如果梯子顶端向下滑动的距离即是底端向外滑动的距离,
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那么滑动的距离是几多米？
解 依题意, 梯子的顶端距墙角
＝8（m）.
xm.
则根据勾股定理, 列方程7+(6+x)＝10, 整理, 得x+12x－15＝0,
解这个方程, 得x1≈1.14, x2≈－13.14（舍去）, 所以梯子顶端下滑1m, 底端水平滑动约1.14m.
（2）当梯子底端水平向外滑动1m时, 设梯子顶端向下滑动xm. 则根据勾股定理, 列方程(8－x)+(6+1)＝100.整理, 得x－16x+13＝0.
解这个方程, 得x1≈0.86, x2≈15.14（舍去）.
所以若梯子底端水平向外滑动1m, 则顶端下滑约0.86m. （3）设梯子顶端向下滑动xm时, 底端向外也滑动xm. 则根据勾股定理, 列方程 (8－x)+(6+x)＝10, 整理, 得2x－4x＝0,
解这个方程, 得x1＝0（舍去）, x2＝2.
所以梯子顶端向下滑动2m时, 底端向外也滑动2m.
说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动, 梯子始终与墙上、空中构成直角三角形.
十一、航海问题
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例11 如图5所示, 我海军基位置于A处,
在其正南方向200海里处有一重要目标B, 在B的正西方向200海里处有一重要目标C, 小岛D恰好位于AC的中点, 岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向, 一艘军舰从A动身, 经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D动身, 沿南偏西方向匀速直线航行, 欲将一批物品送往军舰.
（1）小岛D和小岛F相距几多海里？
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍, 军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处, 那么相遇时补给船航行了几多海里？（精确到0.1海里）
解（1）F位于D的正南方向, 则DF⊥BC.因为AB⊥BC, D为
AC的中点, 所以DF＝AB＝100海里, 所以, 小岛D与小岛F相
距100海里.
（2）设相遇时补给船航行了x海里, 那么DE＝x海里, AB+BE＝2x海里, EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.
在Rt△DEF中, 根据勾股定理可得方程x＝100+(300－2x), 整理, 得3x－1200x+100000＝0.
解这个方程, 得x1＝200－
≈118.4, x2＝200+
（分
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创作时间：二零二一年六月三十日
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歧题意, 舍去）.
所以, 相遇时补给船年夜约航行了118.4海里.
说明 求解本题时, 一定要认真地分析题意, 及时发现题目中的等量关系, 并能从图形中寻找直角三角形, 以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.
十二、图表信息
例12 如图6所示, 正方形ABCD的边长为12, 划分成12×12个小正方形格, 将边长为n（n为整数, 且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式, 黑白相间地摆放, 第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格, 第二张纸片盖住第一张纸片的部份恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去, 直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.
请你认真观察思考后回答下列问题：
（1）由于正方形纸片边长n的取值分歧, 完成摆放时所使用正方形纸片的张数也分歧, 请填写下表：
纸片的边长n 使用的纸片张数 2 3 4 5 6 （2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部份只计一次）为S1, 未被盖住的面积为S2.
①当n＝2时, 求S1∶S2的值；
②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在, 请求出来；若不存在, 请说明理由.
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解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.
（2）S1＝n+(12－n)[n－(n－1)]＝－n+25n－12.
①当n＝2时, S1＝－2+25×2－12＝34, S2＝12×12－34＝110. 所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.
②若S1＝S2, 则有－n+25n－12＝×12, 即n－25n+84＝0, 解这个方程, 得n1＝4, n2＝21（舍去）.
所以当n＝4时, S1＝S2.所以这样的n值是存在的.
说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表, 及时挖掘其中的隐含条件, 对求解第（3）小题, 可以先假定问题的存在, 进而构造一元二次方程, 看获得的一元二次方程是否有实数根来加以判断.
十三、探索在在问题
例13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段, 并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和即是17cm, 那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是几多?
（2）两个正方形的面积之和可能即是12cm吗? 若能, 求出两段铁丝的长度；若不能, 请说明理由.
解（1）设剪成两段后其中一段为xcm, 则另一段为（20－x）cm.
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则根据题意, 得+＝17, 解得x1＝16, x2＝4,
当x＝16时, 20－x＝4, 当x＝4时, 20－x＝16, 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.
（2）不能.理由是：无妨设剪成两段后其中一段为ycm, 则另一段为（20－y+
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＝12, 整理, 得y－20y+104＝0, 移
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项并配方, 得(y－10)＝－4＜0, 所以此方程无解, 即不能剪成两段使得面积和为12cm.
说明 本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b－4acb2
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－4ac≥0, 方程有两个实数根, 若b－4ac＜0, 方程没有实数根, 本题中的b－4ac＝－16＜0即无解.
十四、平分几何图形的周长与面积问题
例14 如图7, 在等腰梯形ABCD中, AB＝DC＝5, AD＝4, BCE•在下底边BC上, 点F在腰AB上.
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长, 设BE长为x, 试用含
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x的代数式暗示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在, 求出此时BE的长；若不存在, 请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部份？若存在, 求此时BE的长；若不存在, 请说明理由.
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解（1）由已知条件得, 梯形周长为12, 高4,
面积为28.
过点F作FG⊥BC于G, 过点A作AK⊥BC于K. 则可得, FG＝
×4,
所以S△BEF＝BE·FG＝－（2）存在.由（1）得－
x2+x2+
x（7≤x≤10）.
x＝14, 解这个方程, 得x1＝
7, x2＝5（分歧题意, 舍去）,
所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分, 此时BE＝7.
（3）不存在.假设存在, 显然有S△BEF∶S多边形AFECD＝1∶2, 即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－
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x2+x＝
2
,
整理, 得3x－24x+70＝0, 此时的求根公式中的b－4ac＝576－840＜0,
所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部份.
说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2＝5时, 其实不属于7≤x≤10, 应及时地舍去；三是处置第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存
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在性.
十五、利用图形探索规律
例15 在如图8中, 每个正方形有边长为1 的小正方形组成：
图
8
（1）观察图形, 请填写下列表格：
正方形边长 黑色小正方形个数 正方形边长 黑色小正方形个数
1 2
3 4
5 6
7 8
… … … …
n（奇数）
n（偶数）
（2）在边长为n（n≥1）的正方形中, 设黑色小正方形的个数为P1, 白色小正方形的个数为P2, 问是否存在偶数n, 使P2＝5P1？若存在, 请写出n的值；若不存在, 请说明理由.
解（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n时, 黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n时, 黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n（偶数）.
（2）由（1）可知n为偶数时P1＝2n, 所以P2＝n－2n.根据题意, 得n－2n＝5×2n, 即n－12n＝0, 解得n1＝12, n2＝0
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（分歧题意, 舍去）.所以存在偶数n＝12, 使得P2＝5P1.
说明 本题的第（2）小问是属于存在性问题, 求解时, 可以先假设结论存在, 进而从中找到数量关系, 使问题获解.
综上所言, 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展, 列方程解应用题就是先把实际问题笼统为方程模型, 然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系, 从而将实际问题转化为方程模型, 要善于将普通语言转化为代数式, 在审题时, 要特别注意关键词语, 如“几多、快、慢、和、差、倍、分、超越、剩余、增加、减少”等等, 另外, 还要掌握一些经常使用的公式或特殊的等量关系, 如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.
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