第十章回归方程

一、内容提要

（一）一元线性回归分析

设x，y是两个相关的变量,x的取值是可以精确控制的，称之为普通变量；x的变化引起y的变化，但关系不确定，y是随机变量，当x取值为x0时，y有许多值可取，但又不能事先确定。

1.最小二乘估计

当x取n个不同的值x1,x2,…,xn时，作n次独立试验，就得到y的n个观测值y1,y2,…yn于是得到观测数据

（x1,y1）,(x2,y2),…(xn,yn) (10.1)

以上述n个二维有序数组为坐标，在直角坐标系中可描出n个点，称之为平面散点图。

若这些点大体上落在某条直线附近，我们就说y与x之间大致呈线性关系，此时我们设想： y=β0+β1x+ε (10.2) 其中ε是其它随机因素引起的误差。

将观测数据（10.1）代入（10.2）,得到

y10x11y21x22 （10.3） yx01nnn称（10.3）式为一元线性回归分析的数学模型，这里假定εi（i=1,2,…,n）相互独立地服从正态分2

布N（0，σ）。

用最小二乘法确定β0，β1的估计值b0，b1，就是要选择b0，b1，使残差平方和

ˆi)yi(b0b1xi)2Q(yiy2i1i1nn

达到最小。记

1n1nˆyi, xxi,yni1ni11nsxx(xix)xi(xi)2,

ni1i1i122nnSyy1n(yiy)yi(yi)2,

ni1i1i122n1n(xix)(yiy)xiyi(xi)(yi).

ni1i1i1i1nnnnSxy得到β1，β0的最小二乘估计

b1xyii1nninxynx2(xi1nnix)(yiy)iSxySxx （10.4）

xi12i(xi1x)2b0yb1x (10.5)

2.相关检验

由（10.4）及（10.5）得到经验回归方程

ˆb0b1x （10.6） y也称其为经验公式，并称b1为回归系数，于是得到yi的估计值yi01xi。进行相关性检验，就是要检验假设

H0：β1=0 （10.7）

(1)F检验 记

ˆiy)2b1sxy, SR(yi1nnˆi)2syysR. Se(yiyi1称Syy为总平方和；SR为回归平方和；Se为剩余（或误差）平方和。可以证明如下平方和分解

公式

Syy=SR+Se

且当假设（10.7）成立时，统计量

FSR~F(1,n2)

Se/(n2)给定显著性水平，查F分布表得到F分布的临界值F(1,n2)。当F＞λ时，拒绝假设（10.7），认为y与x之间线性关系显著；反之，若F≤λ，则接受假设（10.7），认为y与x之间的线性关系不显著。通常，将检验结果归结在方差分析表10.1中。

表10.1 方差分析表 方差来源 回归 剩余 总 和 平方和 SR Se Syy 自由度 1 n-2 n-1 均 方 SR/1 Se/(n-2) F 值 显著性 SR/1 Se(n2) 通常，当F≤F0.05(1,n-2)时，认为回归方程（y与x之间的线性关系）不显著；当F0.05（1，n-2）＜F≤F0.01（1,n-2）时，认为回归方程显著，并在方差分析表中用*表示；当F＞F0。01（1，n-2）时，认为回归方程高度显著，并在方差分析表中用**表示。

（2）复相关系数 引入无量纲指标

SRSyySe （10.8） RSyySyy2R1Se (10.9) Syy称R为复相关系数,不难推出如下关系式:

R2F F ,R2(n2)F(1R)/(n2)因此进行相关系数检验与F检验是等价的.

可以证明，b0，b1分别为β0,β1的无偏估计,即有 E(b0)=β0,E(b1)=β1.

Se1nˆi)2 且 S(yiyn2n2i12为σ2的无偏估计.

3. 预报与控制

若前面建立的经验公式(10.6)是显著的,则可用于对y的预报和对x的控制。 现给定x=x0,则y0的置信概率为1-a的预报区间为

1(x0x)21(x0x)2ˆ0taS1ˆ0taS1,yynSxxnSxx221(x0x)2l(x0)2taS1

nSxx2 （10.10） 由预报问题可知，当x=x0时，y0的置信概率为1-a的预报区间的长度

因此，对于y的取值区间（y1,y2）,要实现对x的控制，必须要求

y2-y1≥l(x1)， 其中x1满足b0+b1x1=

y2y1。 2当n较小时，控制问题无实际意义，当n较大，并且 y2y12taS

2y1b0b1x1taS2时，从方程组 （10.11）

ybbxtS012a22分别解出x1,x2,得到，当b1＞0时x的控制区间为(x1,x2),即

11(y1b0taS),(y2b0taS)。 bb1221当b1＜0时x的控制区间为（x2,x1）,即

11(y2b0taS),(y1b0taS)。 bb12214.线性化

实际问题中，y与x的关系可能并不是线性关系。若由观测数据描出的散点图和某条已知曲线y=ƒ(x)近似，则可通过适当的变换，将非线性问题线性化，下面列举常见的几种情况。

（1）双曲线

图10-1

令y1ba（图10-1） yx11,x,则有yabx yx（2）幂函数y=axb(图10-2)

令y1ny,x1nx,a1na,则有yabx

图10-2

（3）指数曲线y=aebx(图10-3) 令y1ny,a1na,则有yabx

图10-3

（4）指数曲线yae(图10-4) 令y1ny,x

bx1,a1na,则有yabx x

图10-4

（5）对数曲线y=a+b1nx（图10-5） 令x1nx,即有yabx （6）S型曲线y令y1（图10-6） abex1,xex，即有yabx y（二）多元线性回归分析

设因变量y与自变量x1,x2，…xp之间有 y=β0+β1x1+β2x2+…βpxp+ε

其中ε为其它随机因素引起的误差，β0，β1…βp为P+1个待定常数。

图10-5

今作n次独立试验，得到n组观测值 （x11,x12,…,x1p；y1） （x21,x22,…,x2p；y2） ……

（xn1,xn2,…,xnp；yn） 图10-6 于是有

y101x112x12px1p1y201x212x22px2p2 （10.12） yn01xn12xn2pxnpn这里，我们假定x1，x2，…xp是p个可观察的一般变量，ε1，ε2，…，εn是n个相互独立，且

2

服从同一正态分布N（0，σ）的随机变量。

1.参数β0，β1…，βp的最小二乘估计

1n1n记 xjxij,yyi,

ni1ni1Lij(xkixi)(xkjxj)k1nnxkixkjnxixj

k1n(i,j1,2,p),

Liy(xkixi)(yky)k1nxkiyknxiyk1(i1,2,p).

L11b1L12b2L1pbpL1yL21b1L22b2L2pbpL2y则有 （10.13）

Lp1b1Lp2b2LppbpLpy及 b0yb1x1b2x2bpxp （10.14）

式（10.13）是b1，b2，…，bp的线性方程组，当其系数矩阵满秩时有唯一解。从中求出b1，b2，…，bp，再代入（10.4）求出b0，于是得到βi的最小二乘估计bi（i=0，1，2…，p）。由此得到经验回归方程

yb0b1x1b2x2bpxp (10.15)

^ˆib0b1xi1b1xi2bpxip为yi的估计值。 称b1，b2，…，bp为回归系数，称y2.显著性检验

欲检验y与x1，x2，…，xp之间的线性关系是否显著，即要检验假设 H0:12p0 （10.16） 沿用一元线性回归分析中的有关记号： Syy(yi1iniy)yiny2,

22i12nn SRˆ(yi1ny)biLiy,

i1 SeSyySR. 在上述平方和的计算中，除

2yi需要重新计算外，其余各项在计算回归方程时都已算出，可以直

接应用。

（1）复相关系数与F检验

引进无量纲的指标R.R2与R的表达式仍由（10.8）式和（10.9）式决定，并称R为复相关系数。

易知：0≤R≤1.显然，R越接近1回归效果越好。

虽然我们常把R作为衡量回归效果的一个重要指标，但是，R与p和n的大小有关，当n相对于p并不很大时常常有较大的R。特别当n=p+1时，即使p个自变量与y风马牛不相干，亦必有R=1。这就是说，实际计算中，要注意p与n的适当比例。一般认为，n至少应是p的5～10倍。考虑到p与n的作用，可以给出一个比R更为合理的指标：

FSR/p

Se/(np1)当假设（10.16）成立时，统计量F服从F（p,n-p-1）分布。不难推出

R2/ppF。 F,R2(np1)pF(1R)/(np1)利用这两个式子可以回答R值应多大时才算是回归效果显著。对给定的显著性水平a，查表得F临界值F，使可算出R的临界值R。

表10.2 方差分析表 方差来源 回 归 剩 余 总 和 平方和 SR Se Syy 自由度 p-1 n-p-1 n-1 均 方 SR/(p-1) Se/(n-p-1) F 值 显著性 SR/(p1) Se/(np1)(2)βi的区间估计

记 (Cij)ppL11L12L1p1LLL21222p Lp1Lp2Lpp2

可以证明，bi服从正态分布N（βi,Ciiσ）,如果σ已知，则对给定的显著水平,i的区间估计为

biZaCiiibiZaCii，

22如果σ未知，βi的区间估计为

bitaCiiSibitaCiiS，

22其中S=Se/(n-p-1)为σ的无偏估计。

（3）各自变量的重要性——βi的显著性检验 检验假设为

Hi:i0,i1,2,,p

①t检验。当假设Hi成立时，统计量

tibiCiiSy~t(np1)，

②F检验。当假设Hi成立时，统计量

Fibi22CiiSy~F(1,np1)。

二、要求

1.了解回归分析的基本思想。

2.掌握最小二乘法；会求经验回归方程。

3.掌握平方和分解公式；知道相关性检验的统计思想，会作相关性检验。 4.了解预报和控制问题。

5.掌握非线性问题线性化的一般办法。

三、例题分析

例1 今测得x与y的数据如下表。试找出二者之间的经验公式，并检验x与y之间是否有线性相关关系（a=0.05），若线性相关，试求当x=50.1时，y的95%的预报区间及y的希望区间是（16.7,17.0）时，x的95%的控制范围。 i xi yi 1 49.2 16.7 2 50.0 17.0 3 49.3 16.8 4 49.0 16.6 5 49.0 16.7 6 49.5 16.8 7 49.8 16.9 8 49.9 17.0 9 50.2 17.0 10 50.2 17.1 分析 由散点图看，10个点在直线附近分布，因此试作线性回归。

解 （1）求回归直线。作散点图10-7。令

ˆabx yˆ表示直线的纵坐标，以示与随机变量Y的取值y相区别。a,b是待定参数。根据（10.6）及(10.7)y式先求出Sxx及Sxy等，把计算表格化，并为进一步的相关性检验做准备（如表10.3）

表10.3 数据及计算表 数据 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ xi 49.2 50.0 49.3 49.0 49.0 49.5 49.8 49.9 50.2 50.2 496.1 yi 16.7 17.0 16.8 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 17.0 17.1 168.6 xiyi 821.64 850.00 828.24 813.40 858.30 831.60 841.62 818.60 853.40 858.42 8364.92 xi2 2420.64 2500.00 2430.49 2401.00 2401.00 2450.25 2480.04 2490.01 2520.04 2520.04 24613.51 yi2 278.89 289.00 282.24 275.56 278.89 282.24 285.61 289.00 289.00 282.41 2842.84 n10,496.1x49.61,102y 168.616.86,10Sxxxinx224613.511049.6121.989,

Sxy Syyxyii nxy8364.921049.6116.860.67,4y2iny22842.841016.860.244.

所以a,b的估计值为

ˆ b

SxySxx0.6740.3389, 1.989ˆx16.860.338949.610.0472。 ˆyb aˆ的值入（1）式得回归方程（经验公式） ˆ,b将aˆ0.04720.3389x. y （2）相关检验。欲检验假设H0：b=0。给定a=0.05。自由度为（1，8），查表得临界值为F0。05=5.32。

即

P（F（1，8）＞5.32）=0.05.

由（1）中的计算，得到

ˆS0.338 SRb90.6740.228，4 xySeSyySR0.2440.22840.0156,

FSR0.22848117.13.Se/80.0156

因为F=117.13＞F0。05=5.32，H0被拒绝。即在显著性水平a=0.05下可以认为y与x之间具有线

性相关关系。

（3）预报

给定置信概率1－a=0.95，查t分布表得临界值t0.052.306，y0的置信概率为0.95的预报区间

2为

2^y02.306S10.1x0x,Sxxy02.306Sx10.1x0,Sxx2

其中 SSe0.01560.04416， n280xSxxhx10.12250.149.611.11.989

=1.105，

d=2.306Sh=0.1125，

y00.04870.338950.117.028.

当x0=50.1时，y的置信概率为0.95的预报区间为

[17.028－0.1125，17.028＋0.1125]=[16.9155，17.1405]。

（4）控制.y的希望区间为（16.7，17.0），并且y2－y2=17.0－16.7=0.3＞2t0.05S=2×2.306×

2^0.04416=0.2037，于是可以求x的控制区间. 由（10.11）式有

16.70.04870.3389x12.3060.04416 17.00.04870.3389x2.3060.044162解得x1=49.43,x2=49.72.因为b0.3389＞0，于是x的控制区间为（x1,x2）=（49.43,49.72）.

评注 预报区间的半长为

^1xxdtaS10nSxx22

显然，d只与x0x有关。x0x大则d大，x0x小则d小。也就是说，x0越接近x时。预报

区间的长度越小，x0越远离x时。预报区间的长度越长。而对预报来说，范围越小越好，范围太大就失去了实际意义。由此可见x0越接近x预报效果越好，且预报区间上限、下限的曲线对称地落在回归直线两侧呈喇叭形

图10-8 （见图10-8）。 在给定y的希望区间（y1,y2），求x的控制区间时，一定要满足条件

y2y12taS.

2在本例中，若假定y的希望区间为（16.8,17.0），求x的控制区间时，由（10.11）有

16.70.04870.3389x12.3060.04416 17.00.04870.3389x2.3060.044162解出x1=49.73，x2=49.72。由于b＞0，于是x的控制区间为（x1,x2）。但因x1＞x2，这就找不到x的控制区间，其原因是希望区间的长度小于2taS。

2例2 炼钢厂出钢时用的盛钢水的钢包，由于钢液及炉碴对包衬耐火材料的侵蚀，使其容积不

断增大。经过试验，钢包容积y（以钢包盛满钢水的重量表示）与相应的使用次数x的数据如下

x y x y

2 106.42 11 110.59 3 108.20 14 110.60 4 109.58 15 110.90 5 109.50 16 110.76 7 110.00 18 111.00 8 109.93 19 111.20 10 110.49 试确定它们之间的关系。

分析 先做出散点图（图10-9）。由散点图明显看出，x与y之间呈非线性关系，因此考虑用非线性问题线性化的办法处理。对比图10-9与图10-1至图10-6，不难看出，图10-9与图10-1，图10-4及图10-5都比较相

图10-9

似。故本例线性化的办法不唯一，可以建立起多个经验回归方程。

解 方法1：由散点图10-9看出，y与x的关系近似双曲线（参照图10-1）。故令

1ba. ^xy1y^这不是直线，因此作变换

y^^,x1, x有yabx。只要把所给数据xi,y（都作相应的倒代换，就得到13组新的数据（xi,yi）ii=1,2,…,13）（i=1,2,…,13）。求y＇关于x＇的新线性回归，求解过程同例1，不再重复。求得

a0.008966,^^b0.0008302.^

y0.0089660.0008302x.所以 y^x.

0.008966x0.0008302方程的F值为F=394.8229，复相关系数为R=0.9864。

方法2：散点图10-9也与图10-5相象，因而试用对数曲线回归。令

yablnx.

记x＇=lnx，则有yabx.

经计算得到y106.01741.854lnx.

方程的F值为F=60.9895，复相关系数为R=0.9204

方法3：图10-9与图10-4比较，也比较相似，再试用指数曲线回归。令

^^^yae得到 y111.505e7^0.09029x^bxb0，

.

方程的F值为F=404.0943，复相关系数R=0.9867。

由于从图上看上述三种曲线都与图10-9相似，因此得到三个回归方程。如何判别哪种回归效果更好？为此令

iyiyi

这里，yi是x=xi时的观测值，yi是x=xi时回归曲线上点的纵坐标。当εi＞0时，观测点在回归曲线下方；当εi＜0时，观测点在回归曲线上方。现将三种解法的εi（i=1,2,…,13）对照列表如下。

从这张表可直接看出，方法1，3的εi正负号分散些，说明观测点均匀地分布在回归曲线两侧，而且εi的绝对值也较小。而方法2明显地有左段观测点在回归曲线上方，右段观测点在回归曲线下方。我们的一个重要目的是想用回归曲线上的点“代表”观测点。从这个意义来讲，方法1，3较好，方法2较差。

通常，一个好的回归方程应满足：

（1）各个εi的正负号比较分散且︱εi︱较小； （2）方程的F值比较大（复相关系数较接近1）。

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 方法1 0.1773 -0.0069 -0.5710 0.0046 0.0764 0.3263 0.0192 0.0115 0.1996 -0.0518 0.1307 -0.0384 -0.2085 方法2 0.8830 -0.3279 -0.9915 -0.4976 -0.3736 -0.6559 -0.2021 -0.1253 0.3120 0.1399 0.3996 0.3781 0.2784 方法3 0.1637 -0.0003 -0.5631 0.0102 0.0767 0.3243 0.0134 0.0042 0.1889 -0.0635 0.1182 -0.0522 -0.2229 ^^

对上述三个回归方程而言，第3个方程（指数曲线）最好，其次是第1个方程（双曲线），第2个方程（对数曲线）较差。

评注 对一元回归而言，要确定自变量x与因变量y的关系，可以先描出散点图，然后根据散点图的几何形状，确定回归方程的形式。当散点图和几种已知曲线都相似时，通常要分别求出回归方程，再根据残差εi的符号分布、绝对值大小，以及各方程F值（R值）的大小，从中选优。

例3 研究高磷钢的效率与出钢量及FeO的关系，观测数据列入表10.4。其中y表示效率，x1

是出钢量，x2是FeO。求它们之间的相关关系经验公式并检验之（a=0.05）。

分析 一元回归可以用散点图判断它们呈哪种函数形式，多元回归就难以用直观几何图形判断它们的关系。往往是根据经验判断。数学上，往往先假定诸自变量与因变量间存在线性相关关系，建立线性回归方程，然后对残差进行分析，再决定回归方程的函数形式。

解 根据经验，题中三个变量间有关系

yb0b1x1b2x2

用最小二乘法确定b0,b1,b2，为方便计算，列计算表（见表10.4）并做如下计算。

^n18,p21739.7273.61498.1x96.25,x215.2,y83.23.181818L11(xi1x1)2i118xi118x1i118221739.7171359.21183217.210,L12L21xi1xi218x1x2i11826470.99181739.7273.627.55,182L22xi118x2i1

2273.64240.041881.32,

L1yxi11818i1yi18x1y1739.71498.1560.4,18145351.76L2y

xi1i2yi18x2y273.61498.127.51,18表10.4 数据及计算表 22743.61序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x1i 115.3 96.5 56.9 101.0 102.9 87.9 101.4 109.8 103.4 110.6 80.3 x2i 14.2 14.6 14.9 14.9 18.2 13.2 13.5 20 13 15.3 12.9 yi 83.5 78.0 73 91.4 83.4 82 84 80 88 86.5 81 x12i 13294.09 9312.25 3237.61 10201 10588.41 7726.41 10281.96 12056.04 10691.56 12232.36 6448.09 2x2i yi2 6972.25 6084 5329 8353.96 6955.56 6724 7056 6400 7744 7482.25 6561 x1y 9627.55 7525 4153.7 9231.4 8581.85 7207.8 8517.6 8784 9099.2 9566.9 6504.3 x2y 1185.7 1138.8 1087.7 1361.86 1517.88 1082.4 1134 1600 1144 1323.45 1044.5 x1x2 1637.26 1408.9 847.31 1504.9 1872.78 1160.28 1368.9 2169 1344.2 1692.18 1035.87 201.64 213.16 222.01 222.01 331.24 174.24 182.25 400 169 234.09 166.41 12 93 14.7 13 88 16.4 14 88 18.1 15 108.9 15.4 16 89.5 18.3 17 104.4 13.8 18 101.9 12.2 ∑ 1739.7 273.6 于是得正规方程

88.6 81.5 85.7 81.9 79.1 89.9 80.6 1498.1 8649 7744 7744 11859.21 8010.25 10899.36 10383.61 171359.21 216.09 7849.96 8239.8 1302.42 1367.1 268.96 6642.25 7172 1336.6 1443.2 327.61 7344.49 7541.6 1551.17 1592.8 237.16 6707.61 8918.91 1261.26 1677.6 334.89 6256.81 7079.45 1447.53 1637.85 190.44 8082.01 9385.56 1240.61 1440.72 148.84 6496.36 8213.14 983.32 1243.18 4240.04 125041.51 145351.76 22743.61 26470.99 3217.210b127.55b2560.4, 27.55b181.32b227.51,b83.227896.65b15.2b.120由前两个方程解得

560.481.3227.5127.550.1776, 3217.2181.3227.5527.55b20.3985,b1代入后一个方程得

b0=83.2278－0.1776×96.65＋0.3985×15.2=72.12. 于是得到y与x1,x2的经验公式为

y72.120.1776x10.3985x2，

下面检验y对x1,x2是否线性相关，其检验假设为

^H0:b1b20Syyy18y2ii118221498.1125041.51SRb1L1yb2L2y 180.1776560.395357.98,0.398527.51110.49,F110.49/23.3483.247.49/15显著性水平α=0.05，自由度为（2，15），查F分布表得临界值F0。05=3.68，即

P（F（2，15）＞3.68）=0.05。

因为F=3.3483＜F0.05=3.68，故接受假设H0，即在α=0.05时不能认为y对x1，x2就是线性相关（当然α=0.025时，F0。025=4.77，α=0.01时，F0.01=6.36，更应接受H0；当α=0.1时，F0。1=2.70，即在0.1水平下可以认为y对x1,x2有线性相关关系）。

再判别两个因素的重要性，即要检验假设

Hi:βi=0 （i=1,2）

为此计算

Cij22*0.00031171 Lij22*0.01233b12F16.1311,2C11SF2b222（非对角对线上的元素用不着，就不计算了）。于是

C22S0.7805.对显著性水平α=0.05，查表得临界值

F0.051,134.54，

因为F1＞λ，F2＜λ，故拒绝H1接受H2。即认为在α=0.05，x1是重要的，x2并不重要，可以从回归方程中剔除x2。重新作y与x1之间的回归，结果是

y66.390.174x1。

^四、习 题

1. 研究物体在横断面上渗透深度h（cm）与局部能量E（每平方厘米面积上的能量）的关系，得到试验结果如下：

Ei 41 50 81 104 120 hi 4 8 10 14 16 Ei 139 154 180 208 241 hi 20 19 23 26 30 Ei 250 269 301 hi 31 36 37

检验h与E之间是否存在显著的线性相关关系。如果存在，求h关于E的回归方程。 2. 一册书的成本费y与印刷册数x有关，统计结果如下： xi（千册） 1 2 3 5 10 yi（元） 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 xi（千册） 20 30 50 100 200 yi（元） 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15

检验成本费y与印刷数的倒数1/x之间是否存在显著的线性相关关系。如果存在，求y关于x的回归方程。

3. 气体在容器中被吸收的比率y与气体的温度x1和吸收液体的蒸气压力x2有关，其数学模型是y=a+b1x1+b2x2，测得试验数据为：

x1i 78.0 113.5 130.0 x2i 1.0 3.2 4.8 yi 1.5 6.0 10.0 x1i 169.0 187.0 206.0 x2i 12.0 18.5 27.5 yi 30.0 50.0 80.0 154.0 8.4 20.0 214.0 82.0 100.0 求y关于x1,x2的二元线性回归方程。

五、习题答案与提示

1. E164.462,h21.077;

SEE=86583.231,SEh=10742.538,Shh=1348.923. b0=0.684,b1=0.124.

0.124E. h0.6842 SRSEh， /SEE133.8246^ Se=Shh－SR=16.077.

F=911.943，h与E之间的线性相关关系极显著。 2. 回归方程为

y1.1198.977, x方程的F值为F=30816，y与1/x之间的线性相关关系极显著

3.

xi1881i1251.5,x2i107.4,

i18

yi18i297.5,x12i211344.25,

i18

xi1822i2371.34,x1ix2i2035.39,

i188

xi11iyi5747,8x2iyi692.71.

i1 L11=15562.7188,L22=929.495,

L12=L21=3557.9125,

L1y=10937.8438,L2y=2927.7625. 所求回归方程为：

y9.43980.1384x13.676x2.

^