维普资讯 http://www.cqvip.com 《中学数学杂志》（高中）２００２年第ｌ期 函数中几类逆问题的求解策略 安徽省砀山中学 ２３５３００ 式。 朱奇勇 李厚忠 已知函数ｖ＝厂（ ）的解析式，我们可以确定 ，‘（ｏｒ＂）的定义域、值域、单调区间等函数性质。反之， 若函数厂（－・）的解析式中含有参数，又已知－，’（ ）的 有关性质（如定义域、值域、单调性等），而求其中参 数（范围），我们称这样的问题为函数中的逆问题。本 文的目的是通过典型例题剖析和阐述这样的逆问题 的求解策略，并与相关问题进行比较和辨析。 ｌ 已知函数的定义域求参数 例２ 已知ｎ，ｂ，Ｃ是实数，，、（ ）＝ （，ｇ（ ｒ）＝ ＋ ＋ ＋『）（ｎ＞０），当 ｒ∈［一ｌ，１］时－，’（ ） 值域是［一ｌ，１］，ｇ（ ）最大值是２，试求厂（＿’）．（１９９６ 年高考题改编） 略解 因为ｎ＞０，所以ｇ（１）＝２，即ｎ＋ｂ＝ ２．因为一ｌ≤，（ ）≤ｌ，所以一ｌ≤ｌ／‘（１）＝ｎ＋ｂ ＋Ｃ≤ｌ，一ｌ≤ｆ（０）＝Ｃ≤１． 所以一１≤Ｃ＝（Ⅱ＋ｂ＋Ｃ）一２≤ｌ一２ ＝一例ｌ（１）已知函数＿厂（ ）：ｌ。＆Ｌ±一 在 ∈（一ｏ。，１］上恒有意义，求实数ｎ的取值范围。 ｌ，所以Ｃ＝一１． 于是＿，’（０）＝一ｌ是ｆ（ｘ）在［一ｌ，１］上的最小 （１９９９年广西联赛题） （２）已知函数＿厂（ ，）：ｌｏｇａ 十一 的定义 值。故 ＝０是函数ｙ＝ｆ（ ）图象的对称轴，从而 一 ＝０，ｂ＝０，贝４ ｎ＝２，所以厂（．ｒ）＝２ｘ：一１． 域是（一ｏ。，１），求实数ｎ的值。 略解 （１）依题意不等式ｌ＋２ ＋４ Ⅱ＞０在 辨析 本题巧妙确定 ∈［一ｌ，１］时ｆ（ ）的 最小值是，‘（０）＝一ｌ得等式一 ，＝０，从而避免讨 （一ｏ。，１］上恒成立，也就是ｎ＞一［（÷） ＋（告） ］ 论简化了运算。一般来说已知二次函数，’（ ）＝ ＝ｇ（ｘ）在（一ｏ。，１］上恒成立。 因为ｇ（ ）在（一ｏ。，１］上单调递增，所以 ＋ ＝一 ＋ｃ，（ｎ≠０）的值域求参数，须讨论对称轴 ｒ ｂ的情况。ｇ （ ）＝ｇ（１）＝一 ，所以ｎ＞ｇ（１）＝一ｊ． （２）依题意不等式ｌ＋２ ＋４ ｎ＞０解集是 例如已知二次函数Ｙ：号 一３ａ＂ ＋４在区间［ｎ，ｂ］（０＜ｎ＜ｂ）上值域是［ｎ，ｂ］，求实 数ｎ，ｂ的值，要按对称轴 ＝２与区间［“，ｂ］的三 种关系：２＜ｎ，ｎ≤２＜ｂ，ｂ≤２，分别讨论确定Ｙ的 值域后再建等式求ｎ，ｂ． （一ｏ。，１），即ｎ＞一［（—｝） ＋（｛） ］＝ （ ｒ）的解 集为（一ｏ。，１）． 因为ｇ（ ）在（一ｏ。，＋ｏ。）上有意义且单凋递 增，所以不等式ｇ（１）＞ｇ（ ）的解是（一ｏ。，１），所以 例３ 设０＜ｎ≠ｌ，函数／’（ ）＝ｌ。岛≥ ， 若 ∈［， ，．，１）时总有ｌ＋ｌｏｇ （，Ｉ—１）＜＿，’（ ）≤ｌ ＋ｌｔ） （川一１），试求实数Ⅲ与ｎ的取值范围。 略解 ，’（ ）定义域是＝ ｒ十，～ｎ＝ｇ（１）：一丢． 辨析 例ｌ中（１）、（２）两小题十分相似．容易 误认为是同一题。其实（１）中（一ｏｏ．１］是，’（ ｒ）的定 义域是一个子集，是不等式恒成立问题；（２）中 （一ｏｏ，１）是，（．ｔ－）的定义域，是已知不等式解集求 ｊ ＞０ ∈（一ｏｏ， ３）Ｕ（３，＋ｏｏ），因为 ＜，Ｉ，ｌｏｇ， （”一１）＜ ｌ（） （ 一１）．所以０＜“＜１． 参数范围问题，即已知１｝２ ＋４ “＞（）解集是 （一ｏｏ，１），求ｎ． ２ 已知函数值域求参数 又 ｛＝ｌ一 ｊ，所以 ， （ ）在定义域 （一一．一３）和（３，＋ｏｏ）上分别单调递减． 这类题频繁出现在各地高三数学复习题中．是 高考的热点题。解题关谜是根据题设确定函数值域 与已给值域相对应，从而建 参数的等式或小等 、 因为，，Ｊ一１＞０＇，Ｊ—ｌ＞０，所以［Ⅲ ）（二＝（３， ），ＥＵⅢ＞３．因为Ⅲ≤ ＜， 时１＋ｌ‘憾 （，，一 １）＜，（ ）： ｌ＋ｌｏｇ， 【Ⅲ一１） 维普资讯 http://www.cqvip.com 《中学数学杂志》（高中）２００２年第ｌ期 ２９ ，、（１），令 （１）＝３十“＝０得“＝一３符合题意． 所以Ⅱ：一３． 所以 ， ｌｌ 即ｊ【 簪 １ ～ ：１％“（川一１） １）¨ （『Ｊ＞ｍ’＞３）（１） （２） 辨析 两小题区别明显，解法相异．解第（２）小 题分类讨论就是为了求函数＿厂（ ）的值域，使所求 值域［／（１），十ｃｏ）与已知值域 （ ）∈［０，十ｏｏ）等 效，建立舍“的方程． ３ 已知函数的单调区间求参数 例５ 已知函数厂（ ）＝２ｘ 十（Ⅱ十１） ＋ｌ， 若，’（ ）在区间（一ＯＯ，一２］上是减函数，求实数ａ的 范围． 所 【 ＝ｎ（ —１） （２）等价于方程｝丢＝“（ 一１）有大于３的两相 辨析 本题厂（ ）是基本初等函数之一，应紧 异实根ｍ。 ，即方程ｇ（ｘ）＝甜 十（２Ⅱ一１）３２十３（１ 一ａ）＝０有大于３的两相异实根。 ｒａｇ（３）＞０ 所以 一 ＞３ Ｊ “ 【Ａ＝（２Ⅱ一１） 一１２Ⅱ（１一Ⅱ）＞０ ０＜。＜２二 综上可得：， ＞３，０＜Ⅱ＜—２－－＿４３． 辨析 根据ｆ（ｘ）单调递减建立等式（１）是本 题关键。解这类题应充分认识到已给值域（１十 ｌｏｇ．（，Ｉ—１），ｌ十ｌｏｇ．（，， —１）］与所求值域（－，’（， ）， ｆ（， ）］等效，从而建立方程组（１）． 例４ （１）已知 （ ）＝ ，对任意 ， ∈［１，十。ｏ），－，’（ ）≥０恒成立，试求实数“的取值 范围（２０００年上海高考题） （２）已知几 ，）： ，当 ∈［１，十 ｃｏ）时ｆ（ｘ）值域是［０，十ｃｏ），试求实数“的值． 略解 （１） ‘∈［１，十ｃｏ）时，‘（ ）＝ ≥０恒成立㈢ ≥ｌ时 ．！十２ ＋ ≥ ０恒成立甘 ≥ｌ时，“≥一（ ・ 十２ａ・）＝譬（ ・）恒成 立． 而ｇ（ ）＝一（ ＋１）！＋１在［１，十ｃｏ）上单凋 递减，ｇ…（ ）＝ｇ（１）＝一３，所以“≥一３． （２）因为＿，’（ ）：．ｒ＋ ＋２ ‘∈［１，＋ｏｏ）， ｌ，（ ）∈［０，十ｃｏ）． 当“≥１时，（ ）≥２√ 十２，令２ｖ ｝２＝０， 无解； 当（１≤“＜１时／（＿）≥八１）＝３ （Ｊ．令３＋ （ｚ＝０，无解； 当ｃ ＜（１时／（ ） ｆ １．＋一）Ｉ 递增．／（ ．） 扣基本函数的单调性列不等式或等式。本题ｆ（ ） 的单调减区间是（一ｏｏ，一 ． ］，只要（一ｏｏ，一２］ （一ｃｏ，一 ］，即一２≤一 就可以了。又 如题目：已知函数八 ）＝２ｘ 十（Ⅱ十１） 十ｌ的减 区问是（一ｃｏ，一２］，增区间是［一２，十。ｏ），求实数ａ 的值。则列等式一 － ＝一２即可． 例６设函数－，‘（ ）＝￣／ 十ｌ一∞ ，其中ｎ＞ ０ 求ｎ的取值范围使函数－，（ ）在区间［０，十ｃｏ）上 是单调函数（２０００年全国高考题） 辨析 本题厂（ ）不属基本初等函数，应从函 数单调性定义出发寻找解题思路，并注意将厂（ ） 单调等价转化为差－，‘（ ）一 （ ：）恒为正或恒为负 （即恒成立问题），从而建立“的不等式（解略）． 例７ 已知函数ｆ（ｉ・一２）＝ 一（Ⅱ一３） 十 （“一２）（“∈ｚ）的图象过点（Ⅲ一２，０）（Ⅲ∈Ｒ）． 设ｇ（ ）＝．，（ １（ ）），Ｆ（ｘ）＝Ｐ・ｇ（ｉ ） ｑ・ｆ（ｘ）， 问是否存在实数Ｐ（Ｐ＞０）和ｑ，使Ｆ（ ）在区间（一 ｃｏ，／（２）］上是增函数，且在区间［ｆ（２），０］上是减函 数，并证明你的结论． 略解 ，（川一２）＝０ ！“，”一（“一３），”＋“一２＝０． 因为ｉｎ∈Ｒ，Ⅱ≠０， 所以Ａ＝（“一３） 一４ａ（Ⅱ一２）≥０ ≤ ≤ ，５Ｌ。∈ｚ，所以 二一１． 从而 ／（． ）＝一 ＋ｌ， （ ）＝一 十２．ｒ！， ，（２）＝一３． Ｆ（ ）＝一 ‘ 十（２ｐ—ｑ）． ：十ｑ． 假没存在实数户（户＞０）和ｑ，使Ｆ（ ）满足题 没．则可设 Ｉ＜ｌｒ ， ’（ ）一Ｆ（ ）＝（ ～ ！）。一 （ ｝ 。）＋２户一ｑ Ｊ． 维普资讯 http://www.cqvip.com 《中学数学杂志》（高中）２００２年第１期 （Ｉ）当 ｌ， ２ Ｅ（一ｏｏ， ３］时，因为Ｆ（ ）是 一ｄ＝０＝＞３ａ＋ｂ＝０ ６＝一３． 增函数， 一 ｉ＞０，所以 ｐ（ｘ ＋ ）＋２ｐ—ｑ ＜０恒成立，即２一 ＜ ＋ ；恒成立． 因为 ＋ｌｒ２２＞１８，所以２一 ≤１８・ （１） 又，（．ｒ）＝ａ．ｒ（ｘ一１）（ 一２），而 ＞２时，（ ） ＞０恒成立，所以ｂ：一３ａ＜０，选（Ａ）． ＇ － （Ⅱ）当 ， ２ Ｅ［一３，０）时，因为Ｆ（ ）是减函 数， — ＞０，所以一户（ ＋ ）＋２户一１＞０５ 成立，即２一詈＞ ＋ ｚ２恒成立 因为 ｊ＋ ｉ＜ｌ８．所以２一 ≥ｌ８． （２） ．７＿ ，。 ０ ｌ＼／２ 图ｌ 图２ 综合（１）（２）得２一÷＝ｌ８，１６ｐ＋ｑ＝０．即存 在实数Ｐ和ｑ使Ｆ（ｘ）在（一ｏ。，ｆ（２）］上增，在 ［ｆ（２），０］上减。 辨析 本题的解题思路仍是充分利用函数单 调性定义，将Ｆ（ ）单调等价转化为差Ｆ（ ）一 Ｆ（ ）恒为正或恒为负，建立不等式（１）、（２）． ４ 已知函数图象求参数 例８ 已知函数厂（ ）＝ － ＋如 ＋（ ＋ 的 例９设函数ｙ：ｆ（ｚ）是最小正周期为２的偶 函数，它在区间［０，１］上的图象为如图２所示的线段 ＡＢ，在区间［１，２］上＿，’（ ）＝高考题） 略解 因为，（ ）是偶函数，所以ｖＴ∈［一１，０］ 时，（ｊ’）： ＋２． ——（２０００年上海 因为／’（ ）是周期为２的函数，所以ｖＴ Ｅ［１，２］ 时ｆ（ｘ）： ． 辨析 例８，例９很有代表性。已知函数图象求 参数，一方面注意运用待定系数法，另一方面注意运 用函数性质和图象特征。如三角函数中的图象题， ２０００年高考全国卷（理）第２１题的解法大都是这样。 解决好上述函数中的几个逆问题，准确理解函 图象如图１，则： （Ａ）ｂ Ｅ（一ｏｏ，０） （Ｃ）ｂ Ｅ（１，２） （Ｂ）ｂ Ｅ（０，１） （Ｄ） Ｅ（２，＋ｏｏ） （２０００年春季高考北京、安徽试题） 略解 将三点（０，０），（１，０），（２，０）分别代入 厂（ ）得ｄ＝０，ａ＋ｂ＋（＋ｄ：０，８ａ＋４ｂ＋２（＋ 数概念和性质，熟练画出函数图象是解题的基本功， 而“逆向问题正向解”是解题的基本策略。 线性规划问题 中的近似计算 山东新泰市第一中学 许多实际问题可以通过建模将其转化为线性 规划问题，进而求出最优解，但作为实际问题，往往 对结果有近似计算要求，那么在处理的时候，我们是 否遵循四舍五入原则呢？ 先看这样一道例题： ２７１２００ 徐加华 这是一本资料中的一道例题，其解答如下： 设生产甲、乙两种棉纱分别为 ・吨， 吨，利润 额为 元，则 ｆ２．ｒ＋Ｙ≤３００ ＜ 十２ ≤２５０ Ｌ ≥０，Ｙ≥０ ：３００ａ・十５００ｙ 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉 纱１吨需消耗一级子棉２吨，二级子棉１吨；生产乙 种棉纱需消耗一级子棉１吨，二级子棉２吨。每１吨 甲种棉纱的利润是３００元．每１吨乙种棉纱的利润是 ５００元，工厂在生产这两种棉纱的汁划中要求消耗 一作出可行域（如图１），作直线，ｆ｝：３００－ｒ十５００ｖ＝０， ｆＩｌ：３．ｒ＋５ｙ＝０．平移直线，¨至， 位置．此时，．过 ／Ｖｌ ＝３００ ＋５００ｙ取得最大值． 解方程 ２ ３ｏ０ 十２ｙ＝２５０ 级子棉不超过３００吨，二级于棉不超过２５０吨．甲 乙两种棉纱应各生产多少（精确到吨），能使利润总 额最大？ 解僻一 ≈ｌ １７ ： ６７．