立体几何证明

1. (本小题满分10分)如图，在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABG、平面ADF、平面CDE都与平面ABCD垂直，且ΔABG, ΔADF, ΔCDE都是正三角形. (I) 求证：AC// EF ； (II) 求多面体ABCDEFG的体积.

2.（本小题满分10分）如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC＝２，BC＝2，E是PC的中点． （Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；

（Ⅱ）求异面直线AD 与BE所成角的大小．

3．（本小题满分14分）如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，

CBCD,ECBD.

(Ⅰ)求证：BEDE；

(Ⅱ)若∠BCD120，M为线段AE的中点， 求证：DM∥平面BEC.

4．（本小题满分14分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ABD=90，EB平面ABCD，

EF//AB，AB=2，EB=3,EF=1，BC=13，且M是BD的中点. （1）求证：EM//平面ADF； （2）求二面角D-AF-B的大小；

（3）在线段EB上是否存在一点P，使得CP与AF所成的角为30？ 若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由. F E

D

M

A

B

C

5．（本小题满分14分）

如图所示，已知多面体PABCD的直观图（图1）和它的三视图（图2），

（1）在棱PA上是否存在点E，使得PC//平面EBD？若存在，求PE:PA的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由； （2）求二面角BPCD的余弦值.

P EA D

212

B C 图1 1图2

6．(本小题满分12分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1,E,F分别为棱BB1和DD1的中点.

（1）求证：平面B1FC1//平面ADE；（2）求四面体A1FEA的体积. （3）若G是C1D1上靠近C1的四等分点，动点H在底面ABCD内，且AH点H的轨迹，并探求GH长度的最小值．

1，请说明2

7．(本小题满分10分)如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，

AC3,BC4,AB5,AA14，

（I）求证：ACBC1；

（II）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值． 8．（本小题满分14分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1

中，棱长为a，E为棱CC1上的的动点． （1）求证：A1E⊥BD；

（2）当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD； （3）在（2）的条件下，求VA1_BDE． 9．（本小题满分14分）

D1C1B1A1ECDAB如图(1),ABC是等腰直角三角形,ACBC4,ACB90,E,F分别是AC,AB的中点,将AEF折起,使点A到达A位置,且A在平面BCEF上的射影恰为点E,如图(2). (1) 求证EFAC; (2) 求点F到平面ABC的距离.

图(1)

A C E

F

E

图(2)

F

B

A' C B

10．(本小题满分10分)在三棱拄ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，已知BC1，

BCC13，ABC1C2.

（Ⅰ）求证：C1B平面ABC；

（Ⅱ）试在棱C1C(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置，使得EAEB1

11．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，已知

A

A1

B C

E

C1

B1

AB3，AD2，PA2，PD22，PAB60

（Ⅰ）证明：AD平面PAB；

（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角正切值。

12．(本小题满分10分) 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F．

（Ⅰ）证明PA//平面EDB；

P（Ⅱ）证明PB平面DEF．

EF

DC AB

13．（本小题满分14分）

如图所示，矩形ABCD中，AD平面ABE，AEEBBC2,F为CE上的点，且

BF平面ACE.

（1）求证：AE平面BCE； （2）求三棱锥CBGF的体积

14．（本小题满分14分）

如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB2,DC1,BC5，ABAD2.将（图1）沿直线BD折起，使二面角ABDC为60（如图2） （1）求证：AE平面BDC；

（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值； CDA（3）求点B到平面ACD的距离. D

EA E

B15.（本小题10分）如图所示，在四棱锥PABCDB图2图1中，AB平面PAD,底面ABCD为正方形，且

PDAD，点E和点F分别是PB和CD的中点，PH为PAD中AD边上的高.

P （1）证明：PH平面ABCD; （2）证明：平面PBF平面PAB.

A

0CD H

E F C B

第15题图

16． 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，

EC，EB和DB．

(1)求证：平面EDB⊥平面EBC； (2)（理）求二面角E－DB－C的正切值. （文）求三棱锥C-BDE的体积.

17.