一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ） A．（2，3）
B．（﹣2，3）
C．（2，﹣3）
D．（﹣2，﹣3）
2．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A．y＝﹣（x﹣1）2+3 C．y＝﹣（x+1）2﹣3
B．y＝﹣（x+1）2+3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
3．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ） A．3或5
B．﹣1或1
C．﹣1或5
D．3或1
4．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．1）抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，，则关系式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2+1
B．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝﹣（x+2）2+1
6．抛物线y＝3（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ） A．（1，﹣2）
B．（﹣1，2）
C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ） A．m＜a＜b＜n
B．m＜a＜n＜b
C．a＜m＜b＜n
D．a＜m＜n＜b
9．烟花厂为热烈庆祝“十一国庆”，特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是
点处引爆，则这种礼炮能上升的最大高度为（ ） A．91米
B．90米
C．81米
D．80米
，礼炮点火升空后会在最高
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P＝a+b+c，则P的取值范围是（ ）
A．﹣3＜P＜﹣1 B．﹣6＜P＜0 C．﹣3＜P＜0 D．﹣6＜P＜﹣3
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为 ．
12．等边三角形边长为x，面积为y，则y与x之间的函数关系为 ．
13．把抛物线y＝x2﹣2x+3沿x轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为 ．
14．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ．
15．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣
．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 m．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y＜0的x的值 ．
17．已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝ ．
18．一个二次函数的图象满足如下特征：①抛物线开口向上，且对称轴是x＝4；②与x轴两个交点的横坐标都是整数；③与y轴交点纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为3，请写出所有满足上述全部特点的二次函数关系式 ． 三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（7分）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）． （1）求此抛物线的表达式；
（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．
20．（7分）某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当销售单价为44元时，日销售量为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该护肤品的日销售利润为w（元），当销售单价x为多少时，日销售利润w最大，最大日销售利润是多少？
21．（8分）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%． （1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
22．（8分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x y „ „ ﹣4 5 ﹣3 0 ﹣2 ﹣3 ﹣1 ﹣4 0 ﹣3 1 0 2 5 „ „ （1）求这个二次函数的表达式； （2）在图中画出这个二次函数的图象．
23．（8分）如图，用长20米的篱笆围成一个一面靠墙的长方形的菜园，设菜园的宽为x米，面积为y平方米．
（1）求y与x的函数关系式及自变量的取值范围； （2）怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？
24．（8分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
25．（10分）在环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长25米）的空地上修建一个矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用60m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场平行于墙的一边BC的长为x（m），养鸡场的面积为y（m2） （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）养鸡场的面积能达到300m2吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由； （3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x取何值时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少？
26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+8过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
（2）现将此抛物线沿y轴方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D，与y轴的交点为B，与x轴负半轴交于点A，过B作x轴的平行线交所得抛物线于点C，若AC∥BD，试求平移后所得抛物线的表达式．
2019年春北师大新版九年级数学下册《第2章 二次函数》单
元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ） A．（2，3）
B．（﹣2，3）
C．（2，﹣3）
D．（﹣2，﹣3）
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）． 故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．
2．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A．y＝﹣（x﹣1）2+3 C．y＝﹣（x+1）2﹣3
B．y＝﹣（x+1）2+3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
【分析】根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+3． 故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
3．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ） A．3或5
B．﹣1或1
C．﹣1或5
D．3或1
【分析】由解析式可知该函数在x＝h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两
种情况：①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．
【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小， ∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5， 可得：（1﹣h）2+1＝5， 解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5， 可得：（3﹣h）2+1＝5， 解得：h＝5或h＝1（舍）． 综上，h的值为﹣1或5， 故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
4．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，ab＞0，即a、b同号，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，
当a＞0时，b＞0，y＝ax2与开口向上，过原点，y＝ax+b过一、二、三象限； 此时，没有选项符合，
当a＜0时，b＜0，y＝ax2与开口向下，过原点，y＝ax+b过二、三、四象限； 此时，D选项符合， 故选：D．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．
5．1）抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，，则关系式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2+1
B．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝﹣（x+2）2+1
【分析】抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向，形状只与a有关；y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．据此作答．
【解答】解：抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，所以a＝． 顶点在（﹣2，1），所以是y＝（x+2）2+1． 故选：C．
【点评】本题考查抛物线顶点坐标式表达时的顶点坐标．抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向，形状只与a有关．y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）． 6．抛物线y＝3（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ） A．（1，﹣2）
B．（﹣1，2）
C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由y＝3（x+1）2﹣2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2）， 故选：C．
【点评】考查将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴在直线x＝1的右侧得到b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，利用抛物线与y轴交点在x轴下方得到c＜0，也可判断abc＞0，利用抛物线与x轴有2个交点可判断b2﹣4ac＞0，利用x＝1可判断a+b+c＜0，利用上述结论可对各选项进行判断． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在直线x＝1的右侧， ∴x＝﹣
＞1，
∴b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，
∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△＝b2﹣4ac＞0， ∵x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0． 故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8．已知函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ） A．m＜a＜b＜n
B．m＜a＜n＜b
C．a＜m＜b＜n
D．a＜m＜n＜b
【分析】令抛物线解析式中y＝0，得到方程的解为a，b，即为抛物线与x轴交点的横坐标为a，b，再由抛物线开口向下得到a＜x＜b时y大于0，得到x＝m与n时函数值大于0，即可确定出m，n，a，b的大小关系． 【解答】解：函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，
令y＝0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根为a，b， ∵当x＝m或n时，y＝3＞0，
∴实数m，n，a，b的大小关系为a＜m＜n＜b． 故选：D．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握抛物线的性质是解本题的关键． 9．烟花厂为热烈庆祝“十一国庆”，特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是
点处引爆，则这种礼炮能上升的最大高度为（ ） A．91米
B．90米
C．81米
D．80米
，礼炮点火升空后会在最高
【分析】将h（m）与飞行时间t（s）的关系式化成顶点式，顶点坐标的横坐标即达到最高点的时间，有时间即可求出礼炮能上升的最大高度．
【解答】解：（1）把h（m）与飞行时间t（s）的关系式化成顶点式为： h＝
（t﹣6）2+91，
∴当t＝6时，炮弹到达它的最高点，最高点的高度是91m．
【点评】本题主要考查了二次函数的顶点坐标及求解方法，难度一般，次函数的表达式有三种形式，一般式，顶点式，交点式．要求最高（低）点，或者最大（小）值，需要先写成顶点式．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P＝a+b+c，则P的取值范围是（ ）
A．﹣3＜P＜﹣1 B．﹣6＜P＜0 C．﹣3＜P＜0 D．﹣6＜P＜﹣3
【分析】利用二次函数图象的开口方向和对称轴求出a＞0，b＜0，a+b+c＜﹣3，把x＝
﹣1代入求出b＝a﹣3，把x＝1代入得出P＝a+b+c＝2a﹣6，求出2a﹣6的范围即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3）， ∴0＝a﹣b+c，﹣3＝c， ∴b＝a﹣3，
∵当x＝1时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c， ∴P＝a+b+c＝a+a﹣3﹣3＝2a﹣6， ∵顶点在第四象限，a＞0， ∴b＝a﹣3＜0， ∴a＜3， ∴0＜a＜3， ∴﹣6＜2a﹣6＜0， 即﹣6＜P＜0． 故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象的性质，根据图象过（﹣1，0）和点（0，﹣3）得出a与b的关系，以及当x＝1时a+b+c＝P是解决问题的关键． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为 5 ．
【分析】先根据点A，C的坐标，建立方程求出x1+x2＝﹣2，代入二次函数解析式即可得出结论．
【解答】解：∵A（x1，4）、C（x2，4）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上， ∴2（x+1）2+3＝4， ∴2x2+4x+1＝0，
根据根与系数的关系得，x1+x2＝﹣2，
∵B（x1+x2，n）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上， ∴n＝2（﹣2+1）2+3＝5， 故答案为5．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特点，根与系数的关系，求出x1+x2＝﹣2是解本题的关键．
12．等边三角形边长为x，面积为y，则y与x之间的函数关系为 y＝x2 ．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．
【解答】解：等边三角形三线合一，即D为BC的中点，∴BD＝DC＝x， 在Rt△ABD中，AB＝x，BD＝， ∴AD＝
＝
x，
x＝
x2，
∴△ABC的面积为：y＝BC•AD＝×x×故答案为：y＝
x2．
【点评】此题主要考查了根据实际问题确定二次函数关系式以及勾股定理在直角三角形
中的运用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．
13．把抛物线y＝x2﹣2x+3沿x轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为 y＝（x﹣3）2+2 ．
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，2）．
向右平移2个单位长度后的顶点坐标为（3，2），得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣3）
2
+2，
故答案为：y＝（x﹣3）2+2
【点评】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
14．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 （1+，2） ．
，2）或（1﹣
【分析】先计算出自变量为0时所对应的二次函数值得到C点坐标，则过CD中点与x轴平行的直线为y＝2，再利用等腰三角形的性质得点P为直线y＝2与抛物线y＝﹣x2+2x+3的交点，然后解方程﹣x2+2x+3＝2即可确定P点坐标． 【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）， ∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴点P为直线y＝2与抛物线y＝﹣x2+2x+3的交点， 当y＝2时，﹣x2+2x+3＝2，解得x1＝1+∴P点坐标为（1+故答案为（1+
，2）或（1﹣
，x2＝1﹣
，
，2）．
，2）或（1﹣，2）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了等腰三角形的性质．
15．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣
．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 24 m．
【分析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围即可，结合取值范围求得最后4s滑行的距离． 【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来， 则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来． 因此t的取值范围是0≤t≤20； 即当t＝16时，y＝576， 所以600﹣576＝24（米） 故答案是：24．
【点评】此题考查二次函数的实际运用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y＜0的x的值 2（答案不唯一） ．
【分析】根据函数图象可以直接得到答案．
【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，
∴当y＜0的x的取值范围是：1＜x＜3， ∴x的值可以是2．
故答案是：2（答案不唯一）．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点坐标，需要学生熟悉二次函数图象的性质并要求学生具备一定的读图能力．
17．已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝ 1 ． 【分析】根据题意，将（﹣1，0）代入解析式即可求得a+c的值． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1， ∴抛物线y＝ax2+x+c经过（﹣1，0）， ∴a﹣1+c＝0， ∴a+c＝1， 故答案为1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，是基础知识要熟练掌握．
18．一个二次函数的图象满足如下特征：①抛物线开口向上，且对称轴是x＝4；②与x轴两个交点的横坐标都是整数；③与y轴交点纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为3，请写出所有满足上述全部特点的二次函数关系式 y＝x2﹣x+3或y＝x2﹣x+1 ．
【分析】经过点（3，0），（5，0）、（0，3）的函数的解析式符合以上所有特点，然后依据待定系数法求解即可．
【解答】解：经过点（3，0），（5，0）、（0，3）的抛物线符合上述特点．
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x﹣5），将点C的坐标代入得：15a＝3，解得：a＝．
∴符合题意的一个二次函数的关系式为y＝（x﹣3）（x﹣5）＝x2﹣x+3． 经过点（1，0），（7，0）、（0，1）的抛物线符合上述特点．
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣7），将点C的坐标代入得：7a＝1，解得：a＝．
∴符合题意的一个二次函数的关系式为y＝（x﹣1）（x﹣7）＝x2﹣x+1． 故答案为：y＝x2﹣x+3或y＝x2﹣x+1．
【点评】本题主要考查的是二次函数与x轴的交点、待定系数法求函数的解析式，找出抛物线经过的点的坐标是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（7分）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）． （1）求此抛物线的表达式；
（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．
【分析】（1）把点B（﹣1，0）和点C（2，3）坐标代入抛物线解析式，再解方程组即可；
（2）设沿y轴平移m个单位，则得出抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3+m，再把点（﹣2，1）代入即可得出答案． 【解答】解：（1）由题可得解得
所以此抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设沿y轴平移m个单位，
则此抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3+m 由题意可知 1＝﹣4﹣4+3+m 解得m＝6＞0，
所以抛物线向上平移了6个单位长度．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握用待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．
20．（7分）某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当销售单价为44元时，日销售量为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该护肤品的日销售利润为w（元），当销售单价x为多少时，日销售利润w最大，最大日销售利润是多少？
【分析】（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），将（44，72），（48，64）代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据（1）的函数关系式，利用求二次函数最值的方法便可解出答案． 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0）， 由题意得：
，
解得：k＝﹣2，b＝160，
所以y与x之间的函数关系式是y＝﹣2x+160（40≤x≤80）；
（2）由题意得，w与x的函数关系式为：
w＝（x﹣40）（﹣2x+160）＝﹣2x2+240x﹣6400＝﹣2（x﹣60）2+800， 当x＝60元时，利润w最大是800元，
所以当销售单价x为60元时，日销售利润w最大，最大日销售利润是800元． 【点评】此题考查了一次函数与二次函数的应用，根据已知求出一次函数与二次函数的解析式是解题的关键．
21．（8分）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%． （1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；
（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可； （3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．
w＝【解答】解：（1）由题意，得：（x﹣20）•y＝（x﹣20）•（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，即w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）
（2）对于函数w＝﹣10x2+700x﹣10000的图象的对称轴是直线
．
又∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W随着X的增大而增大， ∴当x＝32时，W＝2160
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
（3）取W＝2000得，﹣10x2+700x﹣10000＝2000 解这个方程得：x1＝30，x2＝40． ∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下． ∴当30≤x≤40时，w≥2000． ∵20≤x≤32
∴当30≤x≤32时，w≥2000．
设每月的成本为P（元），由题意，得：P＝20（﹣10x+500）＝﹣200x+10000 ∵k＝﹣200＜0， ∴P随x的增大而减小．
∴当x＝32时，P的值最小，P最小值＝3600．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．
【点评】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
22．（8分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x y „ „ ﹣4 5 ﹣3 0 ﹣2 ﹣3 ﹣1 ﹣4 0 ﹣3 1 0 2 5 „ „ （1）求这个二次函数的表达式； （2）在图中画出这个二次函数的图象．
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，3）代入求出a即可； （2）利用描点法画二次函数图象．
【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4）， 设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4， 把点（0，3）代入y＝a（x+1）2﹣4得a＝1 ∴抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4； （2）如图所示：
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
23．（8分）如图，用长20米的篱笆围成一个一面靠墙的长方形的菜园，设菜园的宽为
x米，面积为y平方米．
（1）求y与x的函数关系式及自变量的取值范围； （2）怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？
【分析】（1）由于靠墙的一边不需要篱笆，即篱笆只用做三方，用矩形面积公式可表示函数式；
（2）将（1）中所得函数解析式配方成顶点式可得答案． 【解答】解：（1）根据已知得，矩形面积y＝x（20﹣2x）， 即y＝﹣2x2+20x（0＜x＜10）；
∵y＝﹣2（x﹣5）2+50，
∵a＝﹣2＜0，当x＜5时，y随x的增大， ∴当x＝5时，y最大＝50m2．
答：菜园的宽为5米时，面积最大，最大面积为50平方米．
【点评】本题考查了矩形的面积公式的运用，二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 24．（8分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x的取值范围．
（2）将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值．
【解答】解：（1）根据题意得y＝（70﹣x﹣50）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000， ∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，
∴0≤x＜20；
（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣）2+6125， ∴当x＝时，y取得最大值，最大值为6125，
答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
25．（10分）在环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长25米）的空地上修建一个矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用60m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场平行于墙的一边BC的长为x（m），养鸡场的面积为y（m2） （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）养鸡场的面积能达到300m2吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由； （3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x取何值时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少？
【分析】（1）先用x表示出AB，根据矩形的面积公式得到y＝﹣x2+20x，然后利用墙长25米可得到x的取值范围；
（2）令y＝300得到﹣x2+20x＝300，解得x＝30，然后根据x的取值范围可判断养鸡场的面积不能达到300m2；
（3）把（1）中的解析式配成顶点式，然后利用二次函数的性质求解． 【解答】解：（1）BC＝x，则AB＝（60﹣x）， 所以y＝x•（60﹣x）＝﹣x2+20x（0＜x≤25）； （2）不能．理由如下：
当y＝300时，即﹣x2+20x＝300，
整理得x2﹣60x+900＝0，解得x1＝x2＝30， 因为0＜x≤25，
所以x＝30不满足条件，
所以养鸡场的面积能达到300m2；
（3）y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣30）2+300， 因为0＜x≤25，
所以当x＝25时，y的值最大，最大值为﹣（25﹣30）2+300＝答：当x取25m时，养鸡场的面积最大，最大面积是
m2．
．
【点评】本题考查了二次函数的应用：利用矩形的面积公式列二次函数关系，然后根据二次函数的性质确定面积的最大值．实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．也考查了一元二次方程的应用．
26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+8过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
（2）现将此抛物线沿y轴方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D，与y轴的交点为B，与x轴负半轴交于点A，过B作x轴的平行线交所得抛物线于点C，若AC∥BD，试求平移后所得抛物线的表达式．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的表达式，并求其顶点坐标；
（2）令平移后抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+k，可得顶点D和B的坐标，证明△CTA∽△DHB，根据CT＝AT，即【解答】解：（1）由题意得：
，解方程可得结论．
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2
分） 解得：
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8，其顶点为（1，9）．﹣﹣﹣﹣﹣（5分） （2）令平移后抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+k，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） 易得顶点D（1，k），B（0，k﹣1），且k﹣1＞0， 由BC平行于x轴，知点C与点B关于对称轴x＝1对称， 得C（2，k﹣1）．（7分） ∴DH＝k﹣（k﹣1）＝1，BH＝1， 当y＝0时，0＝﹣（x﹣1）2+k， 解得：x＝1±
，即
．﹣﹣﹣﹣（8分）
作DH⊥BC于H，CT⊥x轴于T，
则在△DBH中，HB＝HD＝1，∠DHB＝90°， ∴∠BHD＝∠ATC＝90° 又AC∥BD，
∴∠DBC＝∠BCA＝∠CAT ∴△CTA∽△DHB， 所以CT＝AT，即解得k＝4，
所以平移后抛物线表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数的平移变换及二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、二次函数的性质是解题的关键，第2问有难度．
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