广东省增城市2015届高中毕业班调研测试数学理试题

广东省增城市2015届高中毕业班调研测试

数学理试题

试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．第I卷（选择题）每小题选出答案后，用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上； 2．第II卷（非选择题）答案写在答卷上。

2参考公式：S球4R,V柱Sh,V锥114Sh,V台(SSSS)h,V球R3 333如果事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)P(B). 如果事件A、B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B).

第I卷（选择题，共40分）

一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1i 1i （A） i （B） i （C） 2i （D） 2i

1.计算

2.设集合A{x2x4},B{x3x782x},则AB （A） [3,4) (B) (3,4) (C) [2,3] (D) [2,4) 3.下列等式中错误的是

(A) sin()sin (B) cos()cos （C） cos(2)cos (D) sin(2)sin 4.化简4x(3xy)(6x131314141312y)

123(A) 2xy (B) -2xy (C) 2y (D) 2y 5.若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是 （A）平面内的所有直线都与直线a异面. （B）平面内存在与a平行的直线. （C）平面内的直线都与直线a相交. （D）直线a与平面有公共点.

6.如图1是一个圆锥的三视图，则其侧面积 是

俯视图 （A） （B） 2 （C） 3 （D） 4

2 图1

正视图

侧视图

3

11(a0,a1)，则实数a的取值范围是 3111(A) (1,) (B) (,1) (C) (0,)(D) (0,)(1,)

3338.已知圆C：(x1)2(y2)225,直线l：(2m1)x(m1)y7m40,mR，当直线l被

7.已知loga圆C截得的弦最短时的m的值是 （A）3143 （B）  （C）  （D） 4334

第II卷（非选择题，共110分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分.其中14～15题是选做题，只能做一题，两题全答的，只

计算前一题得分.

（一）必做题（9～13题）

9.已知a(n,1),b(4,n)共线且方向相同，则n . 10. 二项式(x)9的展开式中x的项的系数是 . 11.如果函数f(x)1x32a是奇函数，则a的值是 . 2x1开始 i1 12. 如图2，是一个问题的程序框图，输出的结果 是1717，则设定循环控制条件(整数)是 . 1xy313.已知实数x,y满足，则

1xy14x2y的取值范围是 .

（二）选做题（14、15题）

14（几何证明选讲选做题）已知圆o内的 两条弦AB,CD相交于圆内一点P，且

S=0 ii3 SSi 是 i? 否 输出S 结束 PAPB4,PC1PD, 则CD . 4

15（坐标系与参数方程选做题）曲线

2cos23sin(02)与

极轴交点的极坐标为 .

图2

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16（12分）一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球. （1）求摸出的两个球中有1个白球和1个红球的概率； （2）用表示摸出的两个球中的白球个数，求的分布列及数学期望.

17（12分）已知函数f(x)2sinx(cosxsinx)1

（1）求f(x)的最小正周期和最大值； （2）若为三角形的内角且f(2，求f()的值 )283

18（14分）如图3，在三棱锥VABC中，VO平面ABC,

V OCD,VAVB32,ADBD3,BC5.

（1)求证：VCAB;

（2）当二面角VABC的平面角为60时，求三棱锥

A

D B 图3

C O VABC的体积.

19（14分）设f(x)131x(b1)x2bx,xR 32（1）当b1时,求f(x)的单调区间；

（2）当f(x)在R上有且仅有一个零点时,求b的取值范围.

20（14分）已知椭圆的中心在坐标原点,一个焦点坐标是F1(0,1),离心率为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F1作直线交椭圆于A,B两点，F2是椭圆的另一个焦点,求SABF2的取值范围.

21（14分）在数列{an}中,已知a12,对任意正整数n都有nan12(n1)an.

（1）求{an}的通项公式； （2）求{an}的前n项和Sn;

3. 3

(3)如果对任意正整数n都有nank(Sn2)(k为实数)恒成立,求k的最大值.

增城市2015届高中毕业班调研测试 理科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：

AABAD BDA

二、填空题：

9. 2 10. -84 11. -1 12. 100或101或102 13. [2,10] 14. 10 15. （0,0），（2,0）

三、解答题：

16.解：（1）从5个球中摸出2个球有C5210种方法 1分 摸出的2个球中有1个白球和1个红球有C31C216种方法 2分

所以所求的概率是

63 4分 105（2）0,1,2 5分

当0时，摸出的2个球是红球的方法有1种 6分

1 7分 103当1时，同（1），P2 8分

5P1当2时，摸出的2个球是白球的方法有C323种

P33 9分 10所以的分布列是

 P 0 1 2 1 103 53 10 10分

的数学期望是：E()0  17.解：（1）

13312 11分 105106 12分 5f(x)2sinxcosx2sin2x1 1分

sin2x1cos2x1 3分 sin2xcos2x 2sin(2x) 4分

4 所以f(x)的最小正周期是，最大值是2 6分 （2）

f()2sin[2()] 7分 282842sin()2cos 8分

212s且为钝角 9分 co332  2cos sin1cos22 10分 3所以f()2sin(cossin)1

222122()1 11分 333 742 12分 918.（1）证明：VAVB,ADBD,VDAB 1分 VO平面ABC,VOAB 2分 VD与VO相交于V 3分 AB平面VCD 4分 VCAB 5分 （2）解：由（1）知VDC是二面角VABD的平面角 6分 VDC60 7分 在VAB中，VAVB32,ADBD3

VDVA2AD23 8分

在VDO中，VDC60,DOC90

VOVDsin6033 9分 2 在VDC中，DC 所以VVABCBC2BD24 10分

11SABCVO(或SVDCAB) 11分 3311 DCVOAB 12分

32 133 13分 6462 63 14分 19.解(1)当b1时,f(x)

13xx 1分 3f(x)x21(x1)(x1)0 2分

x11,x21 3分

因为

x -1 0 极大值 1 0 极小值 (,1) + (1,1) - (1,) + f(x) f(x) 5分 所以f(x)的单调区间是(,1),(1,1),(1,) 6分 (2)

f(x)1x[2x23(b1)x6b]0 7分 62 x0或2x3(b1)x6b0 8分 当方程2x3(b1)x6b0无解时 9分 9(b1)48b 10分 3(3b1)(b3) 11分 <0 12分

22

3b 13分 所以当3b或解:

131时函数f(x)有且只有一个零点. 14分 3f(x)x2(b1)xb(x1)(xb)0

x11,x2b 7分

当b1时,f(x)(x1)20,所以f(x)在(,)上单调增 又

f(x)1x(x23x3)0,x0,x23x30无解 3所以b1时函数f(x)有且只有一个零点. 8分 当b1时,b1,因为

x (,b) b 0 极大值 (b,1) - 1 0 极小值 (1,) + f(x) + f(x) 9分 及f(x)0有一解x0

f(b)0113b， 1b 10分 330f(1) 因为f(x)在(,b)上单调增，在[b,)上恒有f(x)0

13 当b1时，b1，因为

x 所以当1b时，f(x)在(,)上有且只有一个零点 11分

(,1) + 1 0 极大值 (1,b) - b 0 极小值 (b,) + f(x) f(x) 12分 及f(x)0有一解x0

f(b)013b， 3b1 30f(1) 因为f(x)在(,1)上单调增，在[1,)上恒有f(x)0

所以当3b1时，f(x)在(,)上有且只有一个零点 13分 所以f(x)在(,)上有且只有一个零点时,b的取值范围是3b1 14分 3x2y220.解(1)由条件可设椭圆方程为221(ab0),则有 1分

ba c1,e3 3c3a3 2分 a3 ba2c22 3分

x2y21 4分 所以所求椭圆方程是23(2)由条件设直线AB的方程为y1kx,将ykx1代入椭圆方程得: 5分 (2k3)x4kx40 6分 设A(x1,y1),B(x2,y2)

216k216(k23)22k428( 1 ) 0 7分  x1x2

SABF24k4,xx 8分 122k212k231F1F2x1x2x1x 2 9分 2 (x1x2)2(x1x2)24x1x2 10分

16k216  (2k23)22k2348(k21)  11分 22(2k3)2 令tk1,则t1

设g(t)(2t1)14t4 12分 tt

14t21g(t)422

tt 当t1时,g(t)0,g(t)在[1,)上单调增 g(t)g(1) 9 04848g(t)916 13分 3 0SABF221.解(1)

43 14分 3an1a2n 2分 n1nnan12(n1)an,所以数列{an}是以2为公比,首项为2的等比数列 3分 nan22n1 4分 nann2n 5分

或解:

a12

3 2 2分 2432a4,64 4 42 a2822a,3 所以猜想得ann2n 3分 数学归纳法证明 5分 (2)

Sna1a2an1an2222323(n1)2n1n2n 6分

2Sn22223324 Sn22223(n1)2nn2n1 7分

2nn2n1 8分

2(2n1)n2n1(n1)n12 21 Sn(n1)2n12 9分 (3)

nank(Sn2),n22nk(n1)2n1,n22k(n1) 10分

当n1时,k为任意实数 11分

1n2 当n1时,k2n1 1n21(n1)22(n1)1 12分 2n12n111112[(n1)2](n1)22 2n12n1当且仅当n11,即n2时等号成立 n1 所以当n1时,k2,所以当n为任意正整数时k2, 13分 所以当n为任意正整数时k的最大值是2 14分 解(2)

nank(Sn2),n22nk(n1)2n1,n22k(n1) 10分

当k0时,上述不等式显然成立 11分 当k0时,化为

1n122knn111211() 2nn244110k2,等号(k2)成立时n2,所以k2 13分 2k4所以当n为任意正整数时k的最大值是2 14分

解(3):

nank(Sn2),n22nk(n1)2n1

2n (n2kn2k)2 02 n2kn2k0 令f(n)n2kn2k 10分

2 k 11分 f(n)n2kn2k(n2k)2k 222

当 k2k0时,f(n)0

0k2 12分 当k2k0时, :

2f(1)10,f(n)0在[1,)上无解的条件是

xk1 13分

所以k2

所以当n为任意正整数时k的最大值是2 14分 解(4):

nank(Sn2),n22nk(n1)2n1

22n (n2kn2k)2 0 n2kn2k0 10分

2令f(n)n2kn2k,

4k28k4k(k2)

当0时,0k2,f(n)0,0k2 11分

当0时,k0或k2,f(n)n20,所以k0或k2. 12分 当0时,k0或k2 此时:

f(1)10,f(n)0在[1,)上无解的条件是

xk1 13分 所以k2

所以当n为任意正整数时k的最大值是2 14分