捕鱼策略问题

摘 要：为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源等）

的开发必须适度。在经济生活中，对于“经济人”而言都是追求利润最大化，因此,最优捕鱼策略不仅要求我们要考虑商家的经济效益,还要考虑自然环境的生态效益。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。本文就渔业的可再生问题进行研究，建立模型，并利用相关的lingo和matlab等数学软件对模型进行求解。

问题重述.

在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h．

(1)分别就hrN/4，hrN/4，hrN/4这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．

(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．

问题分析

设时刻t的渔场中鱼的数量为xt，则由题设条件知：xt变化规律的数学模型为

dx(t)dtrx(1xNxN)h

)h

记F(x)rx(1(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性并建立模型： 由Fx0，得rx(1即

rN2xNx2)h0 ．

rxh01

r4rhNr(r4hN) ，

N124hrNN求解：x1,2

①当hrN/4，0，(1)无实根，此时无平衡点； ②当hrN/4，0，(1)有两个相等的实根，平衡点为x01

N2.

F(x)r(1'xN)rxNr2rxN，F'(x0)0 不能断定其稳定性.

但xx0 及xx0 均有F(x)rx(1x0不稳定；

xN)rN40 ，即

dxdt0．

③当hrN/4，0时，得到两个平衡点：

Nx112N24hrNNN124hrNN， x2N2

易知：x1 ， x2 ，F'(x1)0 ，F'(x2)0

平衡点x1不稳定，平衡点x2稳定.

问题二分析：

商家的目标是得到最大的捕捞量，故由捕捞量得到目标函数。又要实现可持续捕获，即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变。 建立模型：

maxh s.t.F(x)0hrN/4 hrN/4 求 解：即 maxhrx(1易得 x0但x0**xN)， x1 N/2 hrN/4 rx1x/N N2 此时 hrN4，

x2 x N2这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．

N2要获得最大持续产量，应使渔场鱼量x，且尽量接近

N2，但不能等于

N2．

参考文献

赵静，但琦,《数学建模与数学实验（第3版）》高等教育出版社

姜启源、谢金星、叶俊,《数学模型（第三版）》高等教育出版社，2003

刘来福，《最优捕鱼策略问题答案评述》，数学的实践与认识,1997年1月

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