2019中考数学第一轮复习导学案平面直角坐标系与函数的概念

平面直角坐标系与函数的概念

◆【课前热身】

1.如图，把图①中的⊙A经过平移得到⊙O(如图②)，如果图①中⊙A上一点P的坐标为(m，n)，那么平移后在图②中的对应点P’的坐标为（ ）．

A．(m＋2，n＋1) B．(m－2，n－1) C．(m－2，n＋1) D．(m＋2，n－1) 2.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AOC45°，OC2，则点B的坐标为（ ）

A．(21)， y C O B B．(1，2)

C．(211)，

D．(1，21)

x A （第2题）

-5)关于x轴对称的点的坐标为（ ） 3.点p(3，A． (-3,-5) B． (5,3) C．(-3,5) D． (3,5) 4.函数yx2中，自变量x的取值范围是（ ）

B．x≥2

C．x2

D．x≤2

A．x2 5.在函数y1中，自变量x的取值范围是（ ） 3x11111A.x B. x C. x D. x

3333【参考答案】 1. D 2. C 3. D

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4. B 【解析】本题考查含二次根式的函数中中自变量的取值范围，由于二次根式a中a的

范围是a0；∴y5. C

◆【考点聚焦】

x2中x的范围由x20得x2.

〖知识点〗

平面直角坐标系、常量与变量、函数与自变量、函数表示方法 〖大纲要求〗

1.了解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点的位置，由点的位置确定点的坐标；

2.理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数； 3.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数的图象. 〖考查重点与常见题型〗

1.考查各象限内点的符号，有关试题常出选择题；

2.考查对称点的坐标，有关试题在中考试卷中经常出现，习题类型多为填空题或选择题； 3.考查自变量的取值范围，有关试题出现的频率很高，重点考查的是含有二次根式的函数式中自变量的取值范围，题型多为填空题； 4．函数自变量的取值范围. ◆【备考兵法】

1.理解函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点.

2.要进行自变量与因变量之间的变化图象识别的训练，真正理解图象与变量的关系. 3.平面直角坐标系：

①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；

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②点P（a，b）到x轴的距离为│b│，•到y轴距离为│a│，到原点距离为a2b2； ③各象限内点的坐标的符号特征：P（a，b），P•在第一象限a>0且b>0，

P在第二象限a<0，b>0，P在第三象限a<0，b<0，P在第四象限a>0，b<0； ④点P（a，b）：若点P在x轴上a为任意实数，b=0；

P在y轴上a=0，b为任意实数；P在一，三象限坐标轴夹角平分线上a=0； P在二，四象限坐标轴夹角平分线上a=－b；

⑤A（x1，y1），B（x1，y2）：A，B关于x轴对称x1=x2，y1=－y2； A、B关于的y轴对称 x1=－x2，y1=y2；

A，B关于原点对称x1=－x2，y1=－y2；AB∥x轴y1=y2且x1≠x2； AB∥y轴x1=x2且y1≠y2（A，B表示两个不同的点）．

4.变量与函数：

①在某一变化过程中，可以取不同数值的值叫做变量．数值保持不变的量叫常量．常量和变量是相对的，判断常量和变量的前提是“在某一变化的过程中”，同一量在不同的变化过程中可以为常量也可以为变量，这是根据问题的条件而定的．常量和变量并一定都是量，也可以是常数或变数．

②在某一变化的过程中有两个变量x与y，如果对于x在取值范围内取的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么说x是自变量，y是x的函数，函数不是数，•它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．

③自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义．自变量的取值范围可以是无限的也可以是有限的．可以是几个数，也可以是单独的一个数，表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义．

④对于自变量在取值范围内取一个确定的值，函数都有唯一确定的值与之对应，这个对应值叫做函数的一个函数值．函数由一个解析式表示时，求函数的值，就是求代数式的值，函数的值是唯一确定的，但对应的自变量的值可以是多个．函数值的取值范围是随自变量的取值范围的变化而变化的．

⑤函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法．这三种表示法各具特色，在应用时，•通常将这三种方法结合在一起运用，其中画函数图象的一般步骤为：列表、描点、连线． ◆【考点链接】

1. 坐标平面内的点与______________一一对应．

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2. 根据点所在位置填表（图） 点的位置 横坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 纵坐标符号

3. x轴上的点______坐标为0, y轴上的点______坐标为0.

4. P(x,y)关于x轴对称的点坐标为__________，关于y轴对称的点坐标为________，

关于原点对称的点坐标为___________.

5. 描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________． 6. 函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________． 7. yx有意义，则自变量x的取值范围是 . y1有意义，则自变量x的取值x范围是 . ◆【典例精析】

例1. 已知点A（a，－5），B（8，b）根据下列要求，确定a，b的值． （1）A，B两点关于y轴对称；（2）A，B两点关于原点对称；

（3）AB∥x轴；（4）A，B两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上．

【分析】（1）两点关于y轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同； （2）两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数； （3）两点连线平行于x轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同）；

（4）当两点位于一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同．

xAxB 【答案】解：（1）当点A（a，－5），B（8，b）关于y轴对称时有：yAyB （2）当点A（a，－5），B（8，b）关于原点对称时有a8

b5xAxByAyBa8 b5xAxB （3）当AB∥x轴时，有yAyBa8

b5（4）当A，B两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有：

xA=yB且xA=yB即a=－5，•b=8．

【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．

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例2.如图所示，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（0，6），（－8，0），求Rt△ABO的内心的坐标．

【分析】本题考查勾股定理，直角三角形内心的概念，运用内心到两坐标轴的距离，结合实际图形，确定内心的坐标．

【答案】解：∵A（0，6），B（－8，0），∴OA=6，OB=8， 在Rt△ABO中，AB=OA+OB=6+8=100，∴AB=10（负值舍去）． 设Rt△ABO内切圆的半径为r， 则由S△ABO=

2

2

2

2

2

11×6×8=24，S△ABO =r（AB+OA+OB）=•12r，知r=2， 22而内心在第二象限，∴内心的坐标为（－2，2）． 【点评】运用数形结合并借助面积是解答本题的关键．

例3 如图所示表示玲玲骑自行车离家的距离与时间的关系，•她9•点离开家，15点回到家，请根据图象回答下列问题：

（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （2）她何时开始第一次休息？休息多长时间？ （3）第一次休息时，离家多远？ （4）11：00到12：00她骑了多少千米？

（5）她在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度各是多少？ （6）她在何时至何时停止前进并休息用午餐？ （7）她在停止前进后返回，骑了多少千米？

（8）返回时的平均速度是多少？

【分析】小玲骑自行车离家的距离是时间的函数，从图象中线段CD和EF与横轴平行，表明这两段时间她在休息，通过读图可分别求解各问题．

【答案】解：（1）由图象知，玲玲到达离家最远的地方是12点，离家30km； （2）由线段CD平行于横轴知，10：30开始休息，休息半个小时；

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（3）第一次休息时离家17km；

（4）从纵坐标看出，11：00到12：00，她骑了13km（30－17=13）；

（5）由图象知，9：00～10：00共走了10km，速度为10km/h，10：00～10：30•共走了7km，速度为14km/h；

（6）她在12：00～13：00时停止前进并休息用午餐； （7）她在停止前进后返回，骑了30km回到家（离家0km）；

（8）返回时的路程为30km，时间为2h，故返回时的平均速度为15km/h．

【点评】如图a所示，表示速度v与时间t的函数图象中，①表示物体从0开始加速运动，②代表物体匀速运动，③代表物体减速运动到停止．如图b所示，•表示路程s与时间t的函数图象中，①代表物体匀速运动，②代表物体停止，•③代表物体反向运动直至回到原地．

(a) (b) ◆【迎考精练】 一、选择题

1. （河南）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.

0

月牙①绕点B顺时针旋转90得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为（ ） A.（2，2） B.（2，4） C.（4，2） D.（1，2）

2.（北京市）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D.E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是（ ）

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3.（天津市）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A4，1，B1，1，将线段AB平移后得到线段AB，若点A的坐标为2，2，则点B的坐标为（ ）

A．4，3 B．3，4 C．1，2 D．2，1 4.（重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC1，动点P从点B出发，

沿路线BCD作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（ ） D A

C P B

第4题

S 3 1 O

5.(黑龙江牡丹江)如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿ABCDA运动一周，则P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（ ） y 2 1 O 1 2 3 4 A.

s y 2 1 O 1 2 3 4 B.

y 2 1 s O 1 2 3 4 C.

y 2 1 s O 1 2 3 4 D.

s

1 A．

1 3 x O 1 B．

3 x O C．

S 3 2 1 3 x O 1 D．

3 x

S S 2019-2020学年

6.（浙江杭州）两个不相等的正数满足ab2，abt1，设S(ab)2，则S关于

t的函数图象是（ ）

A．射线（不含端点） B．线段（不含端点） C．直线 D．抛物线的一部分

7.（山东济南）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点a，b，若规定以下三种变换：

①fa，b=a，b．如，f13，，13; ②ga，b=b，a．如，g13，，31;

③ha，b=a，b．如，h13，3．1，3按照以上变换有：fg2，那么fh5，3f3，23，2，A．5，3 B．5，3 C．5，3

等于（ ）

D．5，3

8.（山东青岛）一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（ ）． A．(30350，30)

B．(30，30350) C．(303，30)

D．(30，303)

9.（山东东营）如图，点A的坐标为(－1，0)，点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为( )

y B A O x （第9题图）

A.（0，0） B.（

222211，） C.（－，－） D.（－，－） 22222210.(陕西省)如果点P(m，1-2m)在第四象限，那么m的取值范围是 ( )

A．0m1 2B．1m0 2C．m0 D．m1 211.(四川成都)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，若将OA绕原点O逆时针旋转180°

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得到0A′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

12.（山东威海）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1）若将线段AB平移至A1B1，则ab的值为（ ）

A．2 y

B．3

C．4

D．5

B1(a，2) B(0，1) O

A1(3，b)

A(2，0) x

13.（湖北襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△ABC，则与点B关于x轴对称的点的坐标是（ ）

A．0，1 B．11，1 D．1，1  C．2，

14．（浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直

1）线交⊙P于M，N两点．若点M的坐标是（2，，则点N的坐标是（ ）

4) B. (2，4.5) C.(2，5) D.(2，5.5) A．(2，

15.（浙江杭州） 已知点P（x，y）在函数y直角坐标系中的（ ）

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1x的图象上，那么点P应在平面2x

A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 16.(广东肇庆)函数yx2的自变量x的取值范围是（ ）

A．x2 B．x2 C．x≥2 D．x≤2

17.（浙江杭州）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第

k棵树种植在点Pk(xk，yk)处，其中x11，y11，当k≥2时，

k1k2xx15([][])k1k55，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]=2，k1k2yy[][]kk155[0.2]=0．按此方案，第棵树种植点的坐标为（ ）

A．（5，） B．（6，2010） C．（3，401） D（4，402） 二、填空题

1.（湖北荆门）将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P（1，3），则点P的坐标是______．

2.（吉林省）如图，点A关于y轴的对称点的坐标是 ．

y A -5 O 3 x 3.（山东泰安）如图所示，△A’B’C’是由△ABC向右平移5个单位，然后绕B点逆时针旋转90°得到的（其中A’、B’、C’的对应点分别是A、B、C），点A’的坐标是（4，4）点B’的坐标是（1，1），则点A的坐标是 。

4.（湖南衡阳）点A的坐标为（2，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135º到点B，那么点B的坐标是 _________ ．

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5.（内蒙古包头）线段CD是由线段AB平移得到的，点A(1，4)的对应点为C(4，7)，则点B(4，1)的对应点D的坐标是 ．

6.（广东肇庆）在平面直角坐标系中，点P(2，3)关于原点对称点P的坐标是 ． 7.（湖北十堰）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，4)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是 ．

8.（浙江衢州）如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F．已知BD=2，设AD=x，CF=y，则y关于x的函数解析式是 ．

C E A F D O 第8题图 B

9.（湖北仙桃）函数y4x中，自变量x的取值范围是__________________． x210.（福建龙岩）函数y2x中自变量x的取值范围是 ．

11.(广东梅州)星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示． y(千米) 3 O t(分)

12 72 11题

根据图象回答下列问题：

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（1）小明家离图书馆的距离是____________千米； （2）小明在图书馆看书的时间为___________小时； （3）小明去图书馆时的速度是______________千米/小时． 三、解答题

1.（吉林长春）如图，点P的坐标为2，，过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双

32

M⊥AN曲线y（x0）于点N，作P知PN4． y M A O N P x

kx交双曲线y（x0）于点M，连结AM．已

kx（1）求k的值．（3分）

（2）求△APM的面积．（3分）

2.（安徽）如图，在对Rt△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O′A′B′． （1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；

（2）设P（x，y）为△OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．

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y A′ A O′ B′ B

O 第2题图 x

3)、3.（黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(2，B(3，2)、C(1,1)．

（1）若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的

△A1B1C1；

（2）画出△A1B1C1绕原点旋转180°后得到的△A2B2C2；

（3）△ABC与△ABC是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：___________； （4）顺次连结C、C1、C、C2，所得到的图形是轴对称图形吗？

y 4 3 C 2 1 A B 4321O 1 2 3 4 x 1C2′ B2′ 23A4′

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，OA2，OB4．如图，4.（天津市）已知一个直角三角形纸片OAB，其中AOB90°将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点

D．

（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标； y B O A x

（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B，设OBx，OCy，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围； y B O

A x

（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使BD∥OB，求此时点C的坐标． y B O

A x

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5.(河北)某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cm×30 cm，B型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图）

裁法一 裁法二 裁法三 A型板材块数 1 2 0 B型板材块数 2 m n 设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z张，且所裁出的A.B两种型号的板材刚好够用．

（1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；

（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，

并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材 多少张？

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单位：cm

30 A 60 150 B 40 B 40 第5题图

【参考答案】 选择题 1. B 2. A 3. B 4. B

5. D 6. B 7. B 8. A 9. C 10. D

11. C 12. A 13. D

【解析】本题考查坐标与平移，由图3可知点B的坐标是（-1，1），将△ABC向右平移两个单位长度得到△ABC，所以点B的坐标是（1，1），所以点B关于x轴对称的点的坐标是（1，-1），故选D. 14. B 15. B 16. C 17. D 填空题

1. （1，2）【解析】本题考查坐标与平移，将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P（1，3），所以点P（1，3）向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到P（1，2），故填（1，2）． 2. （5，3） 3. （-1，-2） 4. (1,-1)

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5. (1,2) 【解析】 本题考查图形平移后图形上点的坐标变化情况，由于平移图形上的所有点均作相同的运动，由A(-1,4)至C(4,7)是先将点A(-1,4)向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到；所以点D可由点B(-4，-1)向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到点D(1,2). 6. (2，3) 7. (4，－1)

x8.y

1x

9. x4且x2 10. x≤2

11. （1）3（2）1（3）15 解答题

1. 解：(1)∵P(2，

∴N(6，

3)，PN=4 23) 23k把N(6，)代入y得：k=9

x23(2)∵PM⊥AN, P(2，)

2∴M(2，y)

∵k=9，点M在双曲线ykk9上，把M(2，y)代入y，得：y= xx29) 23又∵P(2，)

2∴M(2，∴MP=3，AP=2 ∴S△APM=

1233 22. （1）如图所示；

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y A′ A O′ B′ B O x

（2）设坐标纸中方格边长为单位1，则

P（x，y）以O为位似中心放大为原来的2倍（2x，2y）；经y轴翻折（2x，2y）；

；向上平移5个单位（2x4，2y5） 向右平移4个单位（2x4，2y）

说明：如果以其它点为位似中心进行变换，或两次平移合并，或未设单位长，或（2）中直接写出各项变换对应点的坐标，只要正确就相应赋分 3. 画出平移后的图形， 画出旋转后的图形 写出坐标（0，0） 答出“是轴对称图形”

y 4 A1 B1 3 C 2 1 C1 A B 4321O 1 2 3 4 x 1C2C2 ′ B2B2 ′ 23AA2 4′

4. 解：（Ⅰ）如图①，折叠后点B与点A重合，则△ACD≌△BCD.设点C的坐标为

0，mm0.则BCOBOC4m.于是ACBC4m.在Rt△AOC中，由

22222勾股定理，得ACOCOA，即4mm2，解得m23. 23点C的坐标为0，.

22019-2020学年

y B C O A 图①

x B D C O y D x B C B′ 图②

y D x

O B′ 图③

（Ⅱ）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B,则△BCD≌△BCD.由题设

BCOB，则BCOBx，OCyOC4y，在Rt△BOC中，由勾股定理，得

12BC2OC2OB2.4yy2x2，即yx22.由点B在边OA上，有

80≤x≤2，

1解析式yx220≤x≤2为所求. 当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，

83y的取值范围为≤y≤2.

2∥OB（Ⅲ）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B，且BD又

.则OCBCBD.

CBDCBD，OCBCBD，有CB∥BA.Rt△COB∽Rt△BOA.

OBOC有，得OC2OB. 在Rt△BOC中，设OBx0x0，则OC2x0.OAOB12由（Ⅱ）的结论，得2x0x02，解得x0845．x00，x0845.88516. 点C的坐标为0，5. 解：（1）0 ，3．

（2）由题意，得

x2y240， ∴y1201x． 22 2x3z180，∴z60x．

312（3）由题意，得 Qxyzx120x60x．

231整理，得 Q180x．

61120x2由题意，得

260x3 解得 x≤90．

【注：事实上，0≤x≤90 且x是6的整数倍】

2019-2020学年

由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小．此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张．

2019-2020学年