电力系统课程设计-牛顿拉夫逊法潮流计算

课程设计说明书

题系

(

部

目 )

电力系统分析

专业(班级) 姓学指起

名 号

导止

教日

师 期

电力系统分析课程设计任务书

系（部）： 专业： 指导教师： 课题名称 设计内容及要求 电力系统专家潮流初步设计 1. 了解电力系统专家潮流计算的基本原则 2. 潮流计算不收敛原因分析 3. 潮流计算收敛性分析 4. 电力系统专家潮流计算的流程图设计 5. 分析结果 1. 掌握相关基础概念 设计工作量 2. 了解潮流计算不收敛的数学解释 3. 对潮流计算收敛的分析 4. 设计计算的流程图 起止日期（或时间量） 设计内容（或预期目标） 进度安排 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 年 月 日 课题介绍，收集相关材料，分析原始数据 学习相关的基础理论 初步了解潮流计算的收敛问题 流程图的设计 编写设计说明书 系（部）主 管领导意 见 年 月 日 备注 教研室 意见

目录

一、潮流计算基本原理

1.1潮流方程的基本模型

1.2潮流方程的讨论和节点类型的划分 1.3、潮流计算的意义

二、牛顿－拉夫逊法

2.1牛顿-拉夫逊法基本原理 2.2节点功率方程 2.3修正方程

2.4牛顿法潮流计算主要流程

三、收敛性分析 四、算例分析 总结 参考文献

电力系统分析潮流计算

一、潮流计算基本原理

1.1潮流方程的基本模型

电力系统是由发电机、变压器、输电线路及负荷等组成，其中发电机及负荷是非线性元件，但在进行潮流计算时，一般可以用接在相应节点上的一个电流注入量来代表。因此潮流计算所用的电力网络系由变压器、输电线路、电容器、电抗器等静止线性元件所构成，并用集中参数表示的串联或并联等值支路来模拟。结合电力系统的特点，对这样的线性网络进行分析，普通采用的是节点法，节点电压与节点电流之间的关系

YV I

其展开式为

（1－1）

YVI,2,3,,n) iijj (i1j1n （1－2）

在工程实际中，已经的节点注入量往往不是节点电流而是节点功率，为此必须应用联

系节点电流和节点功率的关系式

PijQi (i1,2,3,,n) （1－3） IiVi将式（1－3）代入式（1－2）得到

PijQiVi

 (i1,2,3,,n) （1－4） YijVjj1n交流电力系统中的复数电压变量可以用两种极坐标来表示

Veji Vii （1－5）

ejf （1－6） 或 Viii

而复数导纳为

YijGijjBij

（1－7）

将式（1－6）、式（1－7）代入以导纳矩阵为基础的式（1－4），并将实部与虚部分开，可以得到以

下两种形式的潮流方程。

潮流方程的直角坐标形式为

,2,3,,n) （1－8） Piei(GijejBijfj)fi(GijfiBijej) (i1jijiQifi(GijejBijfj)ei(GijfiBijej)(i1,2,3,,n) （1－9）

jiji 潮流方程的极坐标形式为

,2,3,,n) PiViVi(GijcosijBijsinij) (i1ji（1－10） （1－11）

QiViVi(GijsinijBijcosij) (i1,2,3,,n)

ji以上各式中，ji表示号后的标号j的节点必须直接和节点i相联，并包括ji的情况。这两种形式的潮流方程通常称为节点功率方程，实牛顿－拉夫逊等潮流算法所采用的主要数学模型。

1.2潮流方程的讨论和节点类型的划分

对于电力系统中的每个节点，要确定其运行状态，需要由四个变量：有功注入注入有功P、无功

注入Q、电压幅值U及电压相角。对于有n个独立节点的网络，其潮流方程有2n个，变量数为4n个。根据电力系统的实际运行情况，一般每个节点4个变量中总有两个是已知的，两个是未知的。按各个节点所已经变量的不同，可把节点分成三种类型。

(1) PQ节点。这类节点已知节点注入有功功率Pi、无功功率Qi，待求的未知量是节点电压值Ui及

相位角i，所以称这类节点为PQ节点。

一般电力系统中没有发电设备的变电所母线、发固定功率的发电厂母线可作为PQ节点，这类节点

在电力系统中占大部分。

(2) PV节点。这类节点已经节点注入有功功率Pi和电压值Ui，待求的未知量是节点注入无功功

率Qi及相位角i，所以称这类节点为PV节点。

这类节点一般为有一定无功功率储备的发电厂母线和有一定无功功率电源的变电所母线，这类节点

在电力系统中位数不多，甚至可有可无。

(3)平衡节点。潮流计算时，一般只设一个平衡节点，全网的功率由平衡节点作为平衡机来平衡。

s1.0，平衡节点电压的幅值Us及相位角s是已知的，如果给定Us1.0、待求的则是注入功率Ps、

Qs。

1.3潮流计算的意义

早在20世纪50年代中期，就已开始使用数字计算机进行电力系统潮流计算。时至今日，潮流计算曾采用过多种不同的方法，这些方法的形成和发展都围绕着潮流计算的一些基本要求进行。这些要求基本上可以归纳为以下几个方面：算法的可靠性和收敛性、结果的可信性；满足计算速度和内存占用量的要求；计算方便灵活、适应性好。

电力系统潮流的计算和分析是电力系统运行和规划工作的基础。运行中的电力系统，通过潮流计算可以预知,随着各种电源和负荷的变化以及网络结构的改变,网络所有母线的电压是否能保持在允许范围内，各种元件是否会出现过负荷而危及系统的安全，从而进一步研究和制订相应的安全措施。规划中的电力系统，通过潮流计算，可以检验所提出的网络规划方案能否满足各种运行方式的要求，以便制定出既满足未来供电负荷增长的需求，又保证安全稳定运行的网络规划方案。

二、牛顿－拉夫逊法

2.1牛顿-拉夫逊法基本原理

设有单变量非线性方程f(x)0 (4-1) 求解此方程时。先给出解的近似值为x(0)它与真解的误差

x(0)，则xx(0)x将满足方程，即

f(xx)0 (4-2)

(0)(0)(0)将(3-8)式左边的函数在

x(0)附近展成泰勒级数，于是便得

f(x(0)x)f(x)(0)(0)f'(x)x(0)(0)(0)f''(x)(0)(x)2!(0)2......f(n)(x)(0)(x)n!(0)n....

(4-3)式中，

f(x'(0)),……

f(n)(x)分别为函数f(x)在x(0)处的一阶导数，….，n阶导数。

如果差值化为

x(0)很小，(3-9)式右端x(0)的二次及以上阶次的各项均可略去。于是，(3-9)便简

f(这是对于变量的修正量x(0)x)f(x)(0)(0)f(x'(0))x(0)＝0 (4-4)

x(0)的现行方程式，亦称修正方程式。解此方程可得修正量

(0)x用所求的f(x)(0)f(x(0)'(0) (4-5)

)x(0)去修正近似解，变得

x(1)xx(0)x(0)f(x)(0)f(x'(0) (4-6)

)由于(3-10)是略去高次项的简化式，因此所解出的修正量x(0)也只是近似值。修正后的近似解

x(1)同真解仍然有误差。但是，这样的迭代计算可以反复进行下去，迭代计算的通式是

迭代过程的收敛判据为

x(k1)x(k)f(x)(k)f(x'(k) (4-7)

)f(x)1 (4-8)

或 式中

(k)x(k)2 (4-9)

，12为预先给定的小正数。

这种解法的几何意义可以从图3－1得到说明。函数y＝f(x)为图中的曲线。f(x)＝0的解相当于曲线与x轴的交点。如果第k次迭代中得到x轴的交点便确定了下一个近似值线性化的方法。

应用牛顿法求解多变量非线性方程组(3-1)时，假定已给出各变量的初值

x(k)，则过x(k),y(k)f(x)点作一切线，此切线同

(k)x(k1)。由此可见，牛顿－拉夫逊法实质上就是切线法，是一种逐步

x(0)1，

x(0)2….

x(0)n，令

x(0)，x(0)12，…..

x(0)1n分别为各变量的修正量，使其满足方程(3-1)即

f(x(0)x(0),x(0)f(x(0)x(0),x(0)112112x(0),....,x(0)x(0))02nn2x(0),....,x(0)x(0))02nn

......f(x(0)x(0),x(0)n112x(0),....,x(0)x(0))02nn(4-10)

将上式中的n个多元函数在初始值附近分别展成泰勒级数,并略去含有(0),(0)，……，

x1x2x(0)二次及以上阶次的各项，便得

n

fff111(0)(0)f((0),(0),...,(0))...x(0)0|||xxx0001x1x2n12nx1x2xnfff111(0)(0)(0)(0)(0),x,...,x)xx...x(0)0f2(x|||00012n12n x1x2xn......((0),(0),...,(0))f1(0)f1(0)...f1(0)0|0x1|0x2|0xnxfnx1x2nx1x2xn (4-11)

方程式(3-17)也可以写成矩阵形式

 ffff1|0x1((0),x(0),...,x(0))1x12nf2(x(0),x(0),...,x(0))|0212nx1.........(x(0),x(0),...,x(0))nf12nn|0x1f|xf|x12220.........0...f|xn20(0)fxnn...|xn0...f|x(0)xf(0)|x x...10n1202n (4-12)

方程式(3-18)是对于修正量(0),(0),……, (0) 的线性方程组,称为牛顿法的修正方程

x1x2x1n式.利用高斯消去法或三角分解法可以解出修正量(0),(0),……, (0)。然后对初始近似

xx2xn值进行修正

x(1)x(0)x(0) (i=1,2,….,n) (4-13)

iii如此反复迭代，在进行k＋1次迭代时，从求解修正方程式

 ffff1|k(k)(k)(k)x1(,,...,x)1x1x2nf2(x(k),x(k),...,x(k))|k212nx1.........(x(k),x(k),...,x(k))nf12nn|kx1f|xf|x1222k.........k...f|xn2k(k)fxnn...|xnk...f|x(k)xf(k)|x x...1kn12k2n (4-14)

得到修正量(k)，(k)，(k)，并对各变量进行修正

x1x2xn

式(3-20)和(3-21)也可以缩写为

x(k1)x(k)x(k)iii (i=1,2,…,n) (4-15)

F(和

X(k))JX(k)(k) (4-16) (4-17)

X(k1)X(k)X(k)式中的X和X分别是由n个变量和修正量组成的n维列向量；F(X)是由n个多元函数组成的n维列项量；J是n阶方阵，称为雅可比矩阵，它的第i、j个元素

Jijfxii是第n个函数

f(x,x,...,x,)i12n,,对第j个变量

xj的偏导数；上角标(k)表示

J阵的每一个元素都在点f(x(k)1x(k)2...,x(k)n)处

i,取值。

迭代过程一直到满足收敛判据

f(x(k),x(k),...,x(k)) (4-18)

或 max(k) (4-19)

xmaxi12n1i2为止。

和12为预先给定的小正数。

2.2节点功率方程

电力系统的负荷习惯用功率表示，对于有n个节点的电力系统，系统中各节点注入电流与注入功率以标幺值表示的关系为

SIUi(PijQi)*Ui* i=1，2，……，n （3-20）

式中表示其共轭复数。将此关系式代入节点电压方程的通式，可得到以节点注入功率表示的节点电压

方程:

(PijQi)Ui (3-21) YijUjj1n 上述的方程式，通常称为功率方程。根据方程中的节点电压向量表示的不同，可以得到不同形式的功

率方程。

若节点电压向量以直角坐标表示，即以复数平面上实轴与虚轴上的投影表示可写成

Uieijfi （3-22）

其共轭值为

Uieijfi （3-23）

导纳表示为

YijGijjBij （3-24）

把这两关系式代回式（3-21）的功率方程中，展开后再将功率方程的实部和虚部分别写成有功、无功功率分离的节点方功率方程：

Piei(GijejBijfi)fi(GijfjBijej)j1j1 （3-25） nnQifi(GijejBijfi)ei(GijfjBijej)j1j1式中：i=1，2，……，n为各节点的编号。

nnUe若节点电压以极坐标表示，则Uii或写成

ji

UcosjUsin （3-26） Uiiiii 将其同导纳的复数表达式一起代入式（3-21）的功率方程，进整理可以得到

PiUiUj(GijcosijBijsinij)j1 （3-27） nQiUiUj(GijsinijBijcosij)j1式中：ijij——i与j节点电压的相角差。

由式（3-25）和（3-27）给出的功率方程表示方法避免了复数运算，因此，在潮流计算中普遍采用。

2.3修正方程

采用牛顿法计算潮流时，需要对功率方程进行修改。下面将根据在不同坐标内的修改进行讨论： （1）在直角坐标系内时，由PQ节点功率方程（3-25）可知：节点i的注入功率是各点电压的函数，设节点的电压已知，代入式（3-25），可以求出节点i的有功及无功功率Pi,Qi，它们与给定的PQ 节点的注入功率Pis,Qis的差值应满足以下方程

nPiPisPiPisei(GijejBijfi)fi(GijfjBijej)0j1j1 （3-28） nnQiQisQiQisfi(GijejBijfi)ei(GijfjBijej)0j1j1对于PV 节点，已知节点的注入有功功率及节点电压大小，记作Pis,Uis，其节点的有功功率应满方程：

PiPisPiPisei(GijejBijfi)fi(GijfjBijej)0j1j1 （3-29） 2222UiUis(eifi)0(im1,m2,.......,n1)对于平衡节点，因为其电压给定，故不需要迭代求解。

通过以上分析可见，式（3-28）和式（3-29）共2（n-1）个方程，待求量e1,f1,e2,f2,,en1,fn1共2（n-1）个。将上述2（n-1）个方程按泰勒级数展开，并略去修正量的高次方项后得到修正方程如下：

WJU （3-30）

22 WP1Q1PmQmPm1Um1Pn1Un1nnnnT

Ue1f1emfmem1fm1en1fn1TPPPPPPPP11111111ef1emfmem1fm1en1fn11Q1Q1Q1Q1Q1Q1Q1Q1efefefef11mmm1m1n1n1PmPmPmPmPmPmPmPme1f1emfmem1fm1en1fn1QQQQQQQQmmmmmmmmef1emfmem1fm1en1fn11JPPPPPPPPm1m1m1m1m1m1m1m1ef1emfmem1fm1en1fn1122222222Um1Um1Um1Um1Um1Um1Um1Um1f1emfmem1fm1en1fn1e1PPPPPPPPn1n1n1n1n1n1n1n1ef1emfmem1fm1en1fn11 22222222Un1Un11Un1Un1Un1Un1Un1Un1ef1emfmem1fm1en1fn11

其中雅克比矩阵的各元素可以对式（3-28）和式（3-29）求偏导数获得。 对于非对角元素（ij）有

PiQi(GijeiBijfi)ejfjPiQiBijeiGijfi （3-31） fjejUi2Ui20ejfj对于对角元素（ij)有

nPi(GijejBijfj)GiieiBiifieij1nPi(GijfjBijej)GiifiBiieifij1nQi(GijfjBijej)BiieiGiifieij1 （3-32） nQi(GijejBijfj)GiieiBiififij12Ui2eiei2Ui2fifi由上述表达式可以看到，雅克比矩阵具有以下特点：

（1）各元素是各节点电压的函数，迭代过程中每迭代一次各节点电压都要变化，因而各元素每次也变化；

（2）雅克比矩阵不具有对称性；

Ui2Ui2（3）互导纳Yij0，与之对应的非对角元素亦为零，此外因非对角元素0，故雅克

ejfj比矩阵是稀疏矩。

当在极坐标系内时，由功率方程（3-27）可知节点i的注入功率是各节点电压幅值和相角的函数。代入式（3-27）可以求出节点i的有功功率和无功功率，它们与给定的PQ节点的注入功率Pis,Qis的差值满足下面方程：

PiPiUiUj(GijcosijBijsinij)0j1  （3-33） nQiQiUiUj(GijsinijBijcosij)0j1式中：ijij——i与j节点电压的相角差。

在有n个节点的系统中，假定第1~m号节点为PQ节点，第m+1~n-1号节点为PV节点，第n号节

点为平衡节点。Vn和n是给定的，PV节点的电压幅值Vm1~Vn1也是给定的，因此，只剩下n-1个

n节点的电压相角1,2,,n1和m个节点的电压幅值V1,V2,Vm是未知量。由（3-33）可知一共包含了n-1+m方程式，正好同未知量的数目相等，而直角坐标形式的方程少了n-1-m个。 由方程（3-33）可以写出修正方程

PQK式中

N1 (3-34) LVD2VP1Q11PQ22;Q;2PPQn1mn1 （3-35）

VV11VV22V;VD2VmVm其中：H是(n1)(n1)阶方阵，其元素为ijPi；N是(n1)m阶矩阵，其元素为jNijVjPiQi；K是m(n1)阶矩阵，其元素为Kij；L是mm阶矩阵，其元素为VijLijVjQi。 Vj 对式（3-33）求偏导数，可得雅克比矩阵元素的表达式如下： 非对角元素（ij）

HijViVj(GijsinijBijcosij)NijViVj(GijcosijBijsinij) （3-36）

KijViVj(GijcosijBijsinij)LijViVj(GijsinijBijcosij)对角元素（ij）

2.4牛顿法潮流计算主要流程

（1）形成节点导纳矩阵； （2）给各节点电压设初值；

HijVi2BiiQi2NiiViGiiPiKiiVi2GiiPiLiiVi2BiiQi （3-37）

（3）将节点电压初值代入（3-28）（3-29），求出修正方程式的常数项向量； （4）将节点电压初值代入（3-31），（3-32），求出雅可比矩阵元素；

（5）求解修正方程式（3-30），求出变量的修正向量； （6）求出节点电压的新值；

（7）如有PV节点，则检查该类节点的无功功率是否越限；

（8）检查是否收敛，由式（3-19）可知，若电压趋近于真解时，功率偏移量将趋于零。如不收敛，则以各节点电压的新值作为初值自第3步重新开始下一次迭代，否则转入下一步。

（9）计算支路功率分布，PV节点无功功率和平衡节点注入功率，最后输出结果，并结束。 牛顿-拉夫逊潮流计算程序框图如图3-2所示

数据输入节点编号优化形成导纳矩阵给定初值逐次迭代t=1i=1t=t+1i>n否是求取修正电压否i=R否收敛否收敛否求取修正方程式的增广矩阵输出不收敛是i=i+1

三、收敛性分析

小阻抗支路两端都是PQ节点时，其功率不平衡方程为：

小阻抗支路的电抗x非常小，它的电纳（1/x）非常大。且1/x的数值远大于上述方程组中出现的代数量 ，为了方便说明，不妨称这些代数量为小代数量。

（1）第一次迭代

忽略式（4.9）中的小代数量。设置初始电压 ，可得：

整理式（4.13）可得

这样可得第一次迭代后节点电压虚部的关系：

式（4.9）乘以k后，加上式(4.10)，设置初始电压为 ,可得:

整理式（4.16）可得第一次迭代后节点电压实部的关系：

式（4.9）乘以k后，加上式(4.10)，设置初始电压为 ,可得:

式（4.11）乘以k后，加上式(4.12)，设置初始电压为 ,可得:

综合式（4.15）、（4.17）可得，节点电压经过第一次迭代后满足收敛电压关系（3.14）。且可

得新的功率不平衡方程组（4.14）、（4.17）、（4.18）和（4.19）。这些方程中并不存在小阻抗问题，潮流计算可正常收敛。

（2）第二次迭代

忽略式（4.9）中的小代数量，并将第一次迭代的结果式（4.15）、（4.17）代入，可得：

将式（4.15）代入式（4.20），可得

忽略式（4.11）中的小代数量，并将第一次迭代的结果式（4.15）、（4.17）代入，可得：

或者

由式（4.21）、（4.23），可得

四、算例分析

采用3.4节的5节点系统算例来论证以上结论，收敛精度为 。3种情形下的迭代结果分别如各表所示，表格中 表示各个节点初给定值与计算值之间的最大差值。

计算结果表明：采用改进算法后，3种情形下，节点5和节点2的电压值在各次迭代中保持关系： 情形1对应的是小阻抗支路两端都为PQ节点的情况，采用常规直角坐标牛顿法计算该情形的潮流时，发散。采用改进方法，经过4次迭代后，收敛。

情形2对应的是小阻抗支路处于PQ节点和PV节点间的情况，常规算法和改进算法都可收敛，切所需迭代次数相同。

情形3对应的是小阻抗支路处于PQ节点和平衡节点间的情况，常规算法和改进算法都可收敛，且所需迭代次数相同。

总结

电力系统潮流计算分布计算，是指电力系统在某一稳定状态的正常运行方式下，电力网络各节点的电压和功率分布的计算。它的主要目的：

(1) 根据功率分布，可以选折电力系统的电气设备和导线截面积，可以为电力系统继电保护整定计算提供必要的数据等。

(2)检查电力系统各节点的电压是否满足电压质量的要求。

(3)根据对各种运行方式的潮流分布计算，可以帮助我们正确地选择系统的接线方式，合理调整负荷，以保证电力系统安全、可靠地的运行，向用户供给高质量的电能。

(4) 检查电力系统各元件是否过负荷。 (5)为电力系统的规划和扩建提供依据。

(6)为调整计算、经济运行计算、短路计算和稳定计算提供必要的数据。

潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，它的任务是对给定的运行条件确定系统的运行状态，如各母线上的电压、网络中的功率分布以及功率损耗等。潮流计算的数学模型是以节点的方程为基础，推导出相应的功率方程。当电力系统中必需的已知条件给定后潮流分布，取决于网络的结构，而网络结构在功率方程中的反映是节点导纳矩阵或节点阻抗矩阵。在复杂电力网中，在各个节点中没有直接相连的节点很多，从而使矩阵中有很多零元素、节点导纳矩阵成为稀疏矩阵。一般来说，对角元素的绝对值大于非对角元素的绝对值，使节点导纳矩阵成为具有对角线优势的矩阵。因此，节点导纳矩阵是一个对称、稀疏且具有对角线优势的方阵。这给以后的分析计算带来了很大的方便，它有利于节省内存、提高计算速度以及改善收敛等。功率方程是非线性代数方程组，必须采用数值求解的方法进行计算。在首先讨论了电力系统节点的分类以及潮流计算结果的约束条件后，具体介绍了常用于潮流计算的主要方法－牛顿－拉夫逊法。在实例计算这一章节中的验证，从计算量来看，计算量不是特别的庞大，计算结果可以迅速的收敛，可以快速准确的计算出各个节点的待求量。从效果来看，牛顿－拉夫逊法的迭代次数较少。从计算的速度来看，速度比较快。在计算初始时，要选定比较适合的初始值才能满足计算结果的迅速收敛，如果选值不合适，计算结果不会收敛，可能成为发散型的算式。

参考文献

[1]电力系统分析第二版，孟祥萍，高等教育出版社，2010年 [2]现代电力系统分析，王锡凡，科学出版社，2003年 [3]电力系统分析，孙淑琴，机械出版社，2011年

[4]电力系统分析课程设计与综合实验，祝淑萍，中国电力出版社，2007年 [5] 电力系统分析题解，何仰赞、温增银，华中科技大学出版社，2006年