高一数学第2章数列单元测试题

一、选择题（在每小题给出的四个选项中；只有一项是

符合题目要求的；请把正确答案的代号填在题后的括号内；12道小题；每题5分；共60分）

1．数列5；7；9；11；；2n1的项数是 ( ) A．n B．n1 C．n2 D．n3

2．在ABC中；a=23 b=6 A=300 则 C等于 （ ） A . 300 B. 600 C . 1200 D .900 或 300

3．等差数列an中；S10120；那么a1a10 （ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48

4．下列各一元二次不等式中；解集为空集的是 （ ）A．(x+3)(x－1)>0 B．(x+4)(x－1)<0 C．x2－2x+3<0 D．2x2－3x－2>0

1)>0的解集是 （ ） a11A．(a；) B．(；a)

aa11C．(－∞；a)∪(；+∞) D．(－∞；)∪(a；+∞)

aa26．直角三角形三边成等比数列；公比为q；则q的值为 （ ）

5．若0＜a＜1；则不等式（x－a）(x－A．2 B.

515151 C. D. 2227．如果点p（5,b）在平行直线6x8y10和 3x4y50 之间；则 b 应取值

的整数值为 （ ） A. 5 B. -5 C. 4 D . -4

yx8．设变量x、y满足约束条件xy2；则目标函数z2xy的最小值为（ ）

y3x6A．2 B．3 C．4 D．9 9．设

x；y

为正数； 则(x+y)(错误! + 错误!)的最小值为

( )

A.6 B.9 C.12

10．海上有A、B两个小岛相距10 nmile；从A岛望B岛和C岛成60°的视角；从B岛望A岛和C岛成75°角的视角；则B、C间的距离是 （ ）

2 nmile 3 nmile C. 错误!nmile 错误!nmile

11．正项等比数列｛an｝的首项a1=2-5；其前11项的几何平均数为25；若前11项中抽取

一项后的几何平均数仍是25；则抽去一项的项数为 ( )

A.6 B.7 C.9 D.11 12．某工厂的年产值第二年比第一年的增长率为p1；第三年比第二年的增长率是p2；而这两年中的年平均增长率为p；在p1+p2为定值的情况下；p的最大值是 （ ）

ppp1p2 C.12 D.(1p1)(1p2) 22二、填空题（把正确答案填在横线位置；共4小题；每小题5分；共20分）

A.p1p2

B.

13．在ABC中；三边a、b、c所对的角分别为A、B、C；已知a23；b2；

ABC的面积S=3；则C

14．不等式

ax＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}；那么a的值为__________. x115．两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn；若16．已知两个正实数x、y满足x+y=4；则使不等式是__________.

三、解答题（共6道大题）

Sn7n3a；则8 . Tnn3b814+≥m恒成立的实数m的取值范围xy17．已知数列an是等差数列；且a12；a1a2a312．

(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn； (2)求

111S1S2S31的值． S10

18．已知方程x(bcosB)xacosA0的两根之积等于两根之和；其中a、b为ABC的两边；A、B为两内角；试判断这个三角形的形状。

19．某旅游公司年初用98万元购买一艘游艇；第一年各种费用12万元；以后每年都增加

4万元；每年旅游收益50万元； （Ⅰ）问第几年开始获利？

（Ⅱ）若干年后；有两种处理方案：

（1）年平均获利最大时；以26万元出售该游艇； （2）总纯收入获利最大时；以8万元出售该游艇.

问哪种方案合算.

20．解关于x的不等式

2a(x1)＞1(a≠1) x2

21．央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒；广告时间为30秒；收视观众为60万；宣传片乙播映时间为1分钟；广告时间为1分钟；收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告；而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次；才能使得收视观众最多？

22．已知数列a1,a2,,a30；其中a1,a2,,a10是首项为1；公差为1的等差数列；（d0）. a10,a11,,a20是公差为d的等差数列；a20,a21,,a30是公差为d2的等差数列

（1）若a2040；求d；

（2）试写出a30关于d的关系式；并求a10a20a30的取值范围；

（3）续写已知数列；使得a30,a31,,a40是公差为d3的等差数列；……；依次类推；把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例）；并进行研究；你能得到什么样的结论？

参考答案： 一、选择题

1、 C 提示：1；3；5；…2n-1；总共有n项；去掉前亮相；还有n-2项。 2、 D 提示：由正弦定理；得

2236000或300；=sinB=；B=60∴C=90或30。 02sinBsin3010(a1a10)=120；∴a1a10=24。

222

4、C 提示：y=x－2x+3 函数图像开口向上；0 故x－2x+3<0的解集为空集。

3、B 提示：S10=

5、C 提示：注意06x8y10和3x4y50；解得

31b5；故整数值为4。 8yCyx8．B 提示：设变量x、y满足约束条件xy2,在坐标系

y3x6中画出可行域

△ABC；A(2；0)；B(1；1)；C(3；3)；则目标函数z2xy的最小值为3。

9．B. 提示： x；y为正数；(x+y)(

OBAx14y4x)≥14≥9．

xyxy0

10．D 提示：由题意A=60；B=75；C=45；由正弦定理

111…

00

10BC；∴BC=56 . sin450sin60011．A 提示： (a

110x10(a1·q)

·q1+2++10)

111=25q55=2110q=4.抽取一项后；

=25qx=2100x=50。抽出的项的q的指数为5；故是第6项。

12．B 提示：设第一年产值为a；则第三年产值为a(1+p1)(1+p2)=a(1+p)2.

∴1+p=(1p1)(1p2)≤二、填空题

(1p1)(1p2)pp2pp2=1+1。∴p≤1。

2221113、30或150 提示：S=3=.absinC；∴sinC=；∴C=30或150。

22114、 提示：原不等式等价于［(a－1)x+1］(x－1)＜0；所以x=2是方程(a－1)x+1=0

2的根. 15、6 提示：

a82a8a1a15S15=6. b82b8b1b15T15914y4x］ 提示：∵(x+y)·(+)=5++≥9；又∵x+y=4； 4xyxy14999∴(+)min=.∴m≤；即(－∞；］。

xy444三、解答题 17、解：（1）由题意知：

16、(－∞；

a1a2a33a212 ；a24；da2a12

数列an的通项公式为：ana1(n1)d22(n1)2n 数列an的前n项和为：Sn（2）

n(a1an)n(22n)n(n1)。 221111 Snn(n1)nn1111S1S2S3111111(1)()()S1022334 11() 1011 =1-

110= 111118、解： 法一(化边) 由题意得：x1+x2= bcosB； x1．x2=acosA；

a2c2b2b2c2a2 ∴bcosB=acosA；由余弦定理得：b=a；

2ac2bc ∴a2c-a4-bc+b4=0c(a2-b)=( a2+b)( a2-b)；

2

22

2

2

2

2

∴(a2-b)（c-a2- b）=0a2-b=0或c-a2- b=0；

2

2

2

2

2

2

∴a=b或a2+b=c。

2

2

所以ABC为等腰三角形或直角三角形。

法二(化角) 由题意得：x1+x2= bcosB； x1．x2=acosA； ∴bcosB=acosA；由正弦定理得：sinBcosB=sinAcosA；

∴sin2B=sin2A；即2A=2B或2A=-2B； ∴A=B或A+B=

；∴ ABC为等腰三角形或直角三角形。 219．解：（Ⅰ）由题设知每年费用是以12为首项；4为公差的等差数列； 设纯收入与年数的关系为f(n)

∴f(n)50n1216(84n)9840n2n298 获利即为f(n)＞0

∴40n2n980,即n20n490；

解之得：1051n1051即2.2n17.1 又n∈N；∴n=3；4；…；17 ∴当n=3时即第3年开始获利

（Ⅱ）（1）年平均收入=f(n)402(n49) ∵n49≥2n4914；当且仅当n=7

nnnn时取“=”；

22∴

f(n)≤40-2×14=12（万元）即年平均收益；总收益为12×7+26=110万元；n此时n=7 ；

（2）f(n)2(n10)2102∴当n10,f(n)max102；

总收益为102+8=110万元；此时n=10；

比较两种方案；总收益均为110万元；但第一种方案需7年；第二种方案需10年；故选择第一种。

20．解 原不等式可化为 ：

(a1)x(2a)＞0；

x2a2①当a＞1时；原不等式与(x－)(x－2)＞0同解 a1由于

a21112 a1a1a2)∪(2；+∞) a1a2②当a＜1时；原不等式与(x－)(x－2) ＜0同解

a1∴原不等式的解为(－∞；

a21； 1a1a1a21a2若a＜0；；2)； 12；解集为(

a1a1a1a21若a=0时；12；解集为；

a1a1a21a2若0＜a＜1；) 12；解集为(2；

a1a1a1由于

a2)∪(2；+∞)；当0＜a＜1时；解集为(2；a1a2a2)；当a=0时；解集为；当a＜0时；解集为(；2） a1a121、解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟；总收益为z

综上所述 当a＞1时解集为(－∞；

xy≤300，元；由题意得500x200y≤90000，

x≥0，y≥0.目标函数为z3000x2000y．

xy≤300，二元一次不等式组等价于5x2y≤900，

x≥0，y≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域；即可行域． 如图：

作直线l:3000x2000y0； 即3x2y0

平移直线l；从图中可知；当直线l过M点时；目标函数取得最大值． 联立xy300，解得x100，y200．

5x2y900.点M的坐标为(100，200)．

zmax3000x2000y700000（元）

答：该公司在甲电视台做100分钟广告；在乙电视台做200分钟广告；公司的收益最大；最大收益是70万元． 22、解：（1）a1010.a201010d40,d3. （2）a30a2010d2101dd2(d0) ；

a10a20a30a10a20a2010d21032dd210[2(d1)2]

当d(,0)(0,)时；a10a20a3020,.

（3）所给数列可推广为无穷数列an；其中a1,a2,,a10是首项为1；公差为1的等差数列；当n1时；数列a10n,a10n1,,a10(n1)是公差为dn的等差数列.

研究的问题可以是：试写出a10a20a10(n1)关于d的关系式；并求

a10a20a10(n1)的取值范围. 研究的结论可以是：由

a10a20a30a40a10a20a30a3010d31043d2d2d3；

依次类推可得

a10a20a10(n1)10(n1)ndn1d(1dn1)],d1,10[2dn(1d)1d5(n1)(n2),d1.因为Sn1a10a20a10(n1)10(n1)nddn1

dn；

2dSn110(n1)dnd2当d1时；(1d)Sn110(n1)(dddn1)

n1d(1dn1)d(1dn1)],d1； ；即Sn110[(1d)Sn110(n1)21d(1d)1d(n1)(n2)当d1时；Sn110(n1)n1105(n1)(n2).

2当d0时；a10a20a10(n1)的取值范围为(10n10,).

备用题：

1．在△ABC中；sinA:sinB:sinC2:6:(31)；则三角形最小的内角是（ ）

A．60°

B．45°

C．30°

D．以上都错

2．已知等差数列an的公差d

1

；a2a4a10080；那么S100（ ） 2

A．80 B．120 C．135 D．160．

3．.设A={x|x2－2x－3＞0}；B={x|x2+ax+b≤0}；若A∪B=R；A∩B=(3；4］；则a+b等于（ ） B.－1 C.1 D.－7

4. 设x+3y－2=0；则函数z=3x+27y+3的最小值是

5．在奥运会垒球比赛前；C国教练布置战术时；要求击球手以与连结本垒及游击手的直

线成15°方向把球击出；根据经验；通常情况下；球速为游击手最大跑速的4倍；问按这样布置；游击手能否接着球？ 6．已知数列an是等差数列；且a12,a1a2a312. (12分)

n（1）求数列an的通项公式； （2）令bnanx(xR).求数列bn前n项和的公

式.

1、.B 提示：∵3+1>6>2；∴边a最小；用余弦定理即得。

2、C 提示：a2a4a10080=25(a2a100)；∴a1a100=a2a100－d=

80－25127=；S100=50(a1a100)=135. 2103．D 提示：:A=(－∞；－1)∪(3；+∞)；

∵A∪B=R；A∩B=(3；4］；则B=［－1；4］. ∴a=－(－1+4)=－3；b=－1×4=－4.

4.9 提示：∵3x＞0；27y＞0；∴z=3x+27y+3≥23x27y+3=23x3y+3=232+3=9(当且仅当3x=27y；即x=3y时 取“=”).

5、解：如图：设接球点为B；O为守垒；A为游击手出发点；

OBAB； sinOABsin15sinOABOBsin15AB vt62621,vt44

故不能接着球．

6．解： （1）设数列{an}公差为d；则 a1a2a33a13d12,又a12,d2.所以an2n.

（2）令Snb1b2bn,则由bnanxn2nxn,得

Sn2x4x2(2n2)xn12nxn,①

xSn2x24x3(2n2)xn2nxn1,②

当x1时；①式减去②式；得

n (1x)Sn2(xx2xn)2nxn12x(1x)2nxn1,

1x所以 S2x(1x)2nxn2(1x)nn11x.

当x1时； Sn242nn(n1)

综上可得当x1时；Snn(n1)；当x1时；S2x(1x)2nxn2nn1(1x)1x.