圆概念总结
1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。
2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上随意一点的间隔 都相等．
3．半径：连接圆心到圆上随意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的间隔 就是圆的半径。 4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。 6．在同一个圆内，全部的半径都相等，全部的直径都相等。 7．在同一个圆内，有多数条半径，有多数条直径。
8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 用字母表示为：d＝２r r ＝
12d
用文字表示为：半径=直径÷2 直径=半径×2 9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
10．圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 11．圆的周长公式：C=d 或C=2r
圆周长=×直径 圆周长=×半径×2 12、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。
13．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，
用字母〔r〕表示，宽相当于圆的半径，用字母〔r〕表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积= r×r。圆的面积公式：Ｓ＝ｒ²。 14．圆的面积公式：Ｓ＝ｒ² 或者S=〔d2〕² 或者S=〔C 2〕²
15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
17．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是S=R²－ｒ² 或 S=〔R²－ｒ²〕。 〔其中R＝r＋环的宽度．〕
19．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长及圆周长的一半的区分在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。 半圆的周长公式：Ｃ＝d2＋d 或 Ｃ＝r＋2r 圆周长的一半=r
20．半圆面积＝圆的面积2 公式为：Ｓ＝ｒ²
2 21．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小一样的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大４倍，那么直径和周长就都扩大４倍，而面积扩大１６倍。
22．两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。 例如：两个圆的半径比是２：３，那么这两个圆的直径比和周长比都是２：３，
而面积比是４：９。
圆周长和直径的比是：1，比值是 圆周长和半径的比是2：1，比值是2
23．当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２ａ厘米； 当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加ａ厘米。
24．在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几．
25．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小
26．扇形弧长公式： 扇形的面积公式： S=
n360ｒ²
〔n为扇形的圆心角度数，r为扇形所在圆的半径〕
27．轴对称图形：假如一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形可以完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
28． 有一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。 有2条对称轴的图形是：长方形 有3条对称轴的图形是：等边三角形 有4条对称轴的图形是：正方形 有多数条对称轴的图形是：圆、圆环。 29．直径所在的直线是圆的对称轴。
第二单元 百分数应用题 〔一〕百分数的根本概念
1．百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。
百分数表示两个数之间的比率关系，不表示详细的数量，所以百分数不能带单位。 2．百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。 例如：25％的意义：表示一个数是另一个数的25％。
3．百分数通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％〞来表示。分子部分可为小数、整数，可以大于100，小于100或等于100。 4．小数及百分数互化的规那么：
把小数化成百分数，只要把小数点向右挪动两位，同时在后面添上百分号； 把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左挪动两位。 5．百分数及分数互化的规那么：
把分数化成百分数，通常先把分数化成小数〔除不尽的保存三位小数〕，再把小数化成百分数；
把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 〔二〕百分数应用题
百分数应用题〔一〕
求增加百分之几？削减百分之几？
公式：增加百分之几=增加的部分÷单位1
削减百分之几=削减的部分÷单位1
例如：1、45立方厘米的水结成冰后，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：依据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，已经知道是45：增加的部分不知道，可以利用50减45求得5；最终用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米
第二步：增加的部分：50—45=5立方厘米 第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
2、45立方厘米的水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：依据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，已经知道是45：增加的部分是5立方厘米；最终用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米 第二步：增加的部分： 5立方厘米 第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
3、水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：依据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，不知道但可以依据题目“水结成冰后，体积增加了5立方厘米〞知道水是少的，冰是多的，所以可以用50—5求出水是45立方厘米。加的部分是5立方厘米；；最终用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。 计算步骤：第一步：单位1：水：50—5=45立方厘米 第二步：增加的部分： 5立方厘米 第三步：增加百分之几：5÷45=11.1% 4、“削减百分之几及增加百分之几〞的解题方法完全一样。 5、及增加百分之几一样的还有“多百分之几〞“进步百分之几〞 “增长百分之几“等。
及削减百分之几一样的还有“少百分之几〞“降低百分之几〞“节约百分之几〞等。
百分数应用题〔二〕
比一个数增加百分之几的数，比一个数削减百分之几的数。
例如1、矣得小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年增加了25%，今年有多少名学生？
解题思路：单位1去年已经知道用乘法，增加用〔1+25%〕 算式：80×〔1+25%〕
2、矣得小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年削减了25%，今年有多少名学生？
解题思路：单位1去年已经知道用乘法，削减用〔1-25%〕 算式：80×〔1-25%〕
3、矣得小学今年有100名学生，比去年增加了25%，去年有多少名学生？ 解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用〔1+25%〕 算式：100÷〔1+25%〕
4、矣得小学今年有100名学生，比去年削减了25%，去年有多少名学生？ 解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用〔1-25%〕 算式：100÷〔1-25%〕
百分数应用题〔三〕列方程解百分数应用题
1、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，第一天比第二天多看20页，这本书一共有多少页？
解题思路：单位1一本书不知道，可以选用方程或除法来解答。
依据“第一天比第二天多看20页〞可以知道第一天是多的，第二天是少的，第一天减去第二天等于多出的20页。 等量关系式：第一天—第二天=20页 方法1：解：设这本书一共有X页。
由“第一天看了全书的25%〞可以知道第一天等于全书乘以25%，用X可以表示为25%X，由“第二天看了全书的20%〞“第一天—第二天=20页〞可以列方程为：25%X—20%X=20 方法2：“第一天比第二天多看20页〞可以知道20页是第一天和第二天的差。要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。 列算式为：20÷(25%—20%)
2、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，两天共看了20页，这本书一共有多少页？
等量关系式：由“两天共看了20页〞可以知道第一天+等二天=20页。 方程法：解：设这本书共有X页，那么第一天为25%X，第二天为20%X。 方程列为：25%X+20%X=20
算术法：由“两天共看了20页〞可以知道20页是第一天和第二天的和，要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。 列算式为：20÷(25%+20%)
3、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，还剩20页，这本书一共有多少页？
等量关系式：一本书—第一天—第二天=20页
方程法：解设这本书一共有X页，那么第一天为25%X，第二天为20%X。 列方程为：X—25%X—20%X=20 算术法：20÷〔1- 25%X- 20%〕
4、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天比第一天多看10页，还剩20页，这本书一共有多少页？
方程法：解设这本书一共有X页，那么第一天为25%X，第二天为〔25%X+10〕页。
列方程为：X—25%X—〔25%X+10〕=20 百分数应用题〔四〕利息的计算 1.本金：存入银行的钱叫做本金。
2．利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。 利息=本金×利率×时间
3．2021年10月9日以前国家规定，存款的利息要按20％的税率纳税。国债的利息不纳税。2021年10月9日以后免收利息税。所以如无特别说明，就不在计算利息税。
4．利率：利息及本金的比值叫做利率。
5．银行存款税后利息的计算公式：税后利息＝利息×〔１－20％〕 6．国债利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间 7．本息：本金及利息的总和叫做本息。 8．应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额。
9．税率：应纳税额及各种收入的比率叫做税率。 10．应纳税额的计算：应纳税额＝各种收入×税率
例如：李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期时，李老师的本金和利息共有多少元？
解题思路：要求“本金和利息共有多少元〞应当用本金的2000元加上利息的。 解题步骤：第一步：依据“利息＝本金×利率×时间〞算利息 利息：2000×4.14%×5=414元 第二步：本金+利息：2000+414=2414元。
例如：李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期时，李老师的本金和利息共有多少元？〔假如利息按20%来上税〕
解题思路：要求“本金和利息共有多少元〞应当用本金的2000元加上利息的。 解题步骤：第一步：依据“利息＝本金×利率×时间〞算利息 利息：2000×4.14%×5=414元 第二步：算税后利息：414×〔1— 本金+利息：2000+331.2=233.2元。
第三章 图形的变换
1、 图形变换的三种方法：
第一种平移：要说明向什么方向〔上、下、左、右〕平移几个。
第二种旋转：要说明绕哪个点，顺时针还是逆时针，旋转多少度〔90度、180度、270度〕
第三种作对称图形：要说明是关于哪条直线作哪个图形的对称图形。 2、竞赛场次、握手次数的计算
第一步：首先要算出有多少个人〔或多少支队伍〕进展竞赛。有多少个人进展握手。
第二步：计算竞赛场次、握手次数。假如是5人，从1加到4，假如是6人，从1加到5，假如是8人，从1加到7，假如是100人，从1加到99. 2、 计算起跑线。
那么：第二道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度=36+1.2。
不同的两个道的起跑点相差多少米的算法：第一步：先算出要跑几圈。第二步：计算出两个半圆性跑道所构成的圆的周长。第三步：有两个道的圆周长相减，就得出了在两个道种跑一圈的起点相差多少米。第四步：用这个相差数×要跑的圈数.
第四单元 比的相识 〔一〕比的根本概念 1． 两个数相除又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 2． 比值通常用分数、小数和整数表示。 3． 比的后项不能为0。
4． 同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商； 5． 依据分数及除法的关系，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值
相当于分数的值。
6．比的根本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时除以一样的数〔0除外〕，比值不变。
〔二〕求比值
1、求比值：用比的前项除以比的后项
〔三〕化简比
1、化简比：用比的前项除以比的后项求出分数的比值后，在把分数比值改成比。 〔四〕比的应用
1、比的第一种应用：两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或这几个数量是多少？
例如：六年级有60人，男女生的人数比是5：7，男女生各有多少人？ 题目解析：60人就是男女生人数的和。 解题思路：第一步求每份：60÷〔5+7〕=5人
第二步求男女生：男生：5×5=25人 女生：5×7=35人。 2、比的第二种应用：一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？
例如：六年级有男生25人，男女生的比是5：7，求女生有多少人？全班共有多少人？
题目解析：“男生25人〞就是其中的一个数量。 解题思路：第一步求每份：25÷5=5人
第二步求女生： 女生：5×7=35人。 全班：25+35=60人
3、比的第三种应用：两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或这几个数量是多少？
例如：六年级的男生比女生多20人〔或女生比男生少20人〕，男女生的比是7：5，男女生各有多少人？全班共有多少人？ 7、要求量=量×
要求量份数已知量份数
7、比在几何里的运用：
〔1〕长方形的周长，长和宽的比是ａ：ｂ。求长和宽、面积。 长=周长÷2×
aab 宽=周长÷2×bab 面积＝长×宽
〔2〕长方体的棱长和，长、宽、高的比是ａ：ｂ：ｃ。求长、宽、高、体积
ab 宽=周长÷４×
abcabcc高=周长÷４× 体积＝长×宽×高
abc长=周长÷４×
〔３〕三角形三个角的比是ａ：ｂ：ｃ，求三个内角的度数。 三个角分别为： １８０×
abc １８０× １８０×
abcabcabc〔４〕三角形的周长，三条边的长度比是ａ：ｂ：ｃ，求三条边的长度。 三条边分别为： 周长×
-
abc 周长× 周长×
abcabcabc
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