高考三角函数题型分析

一、单调性问题

专题.三角函数一、题型分析

此类问题主要考查三角函数的增减性，各象限中各个三角函数值的符号等．很多情况下，需要通过三角恒等变换将已知函数式化为一个角的一个三角函数式的形式来求解．

24例1 写出函数ysinx23sinxcosxcosx在0，π上的单调递增区间．

解：ysin2xcos2xsin2xcos2x23sinxcosx

π3sin2xcos2x2sin2x．

6πππ由已知可得2kπ≤2x≤2kπ，

262ππ则kπ≤x≤kπ，kZ．

63又x0，π，

所以其单调递增区间是0，，π，π．

π356

点评：① 在求单调区间时，要注意给定的定义域，根据题意取不同的k值；② 在求yAsin(x)的单调区间时还应注意的正、负，同学们可以自己求一下y2sin求得的区间对比一下．

π2x的单调递减区间，并与本例所6

二、图象变换问题

三角函数的图象变换是一个重点内容．解这类问题，先通过三角恒等变换将函数化为yAsin(x)(A0，0)的形式，然后再探索其图象是由正弦曲线经过怎样的平移变换、伸缩变换或振幅变换得到的．特别需要注意的是：在图象变换中，无论是“先平移后伸缩”，还是“先伸缩后平移”，须记清每次变换均对“x”而言，尤其是左右平移在由形变换向数的问题转化的的时候，也是用“x + k”代替“x”，其它做法都是多余的。尤其是要弄清楚“变换谁？得到谁？”，这个问题不搞清楚，就不要做题。

例2 已知函数ysinx2sinxcosx3cosx1，xR．该函数的图象可由ysinx，xR的图象经过怎样的变换而得到？

222解：ysinx2sinxcosx3cosx1sin2x2cosxsin2xcos2x122

π2sin2x1． 将函数ysinx依次作如下变换：

4ππ（1）把函数ysinx的图象向左平移，得到函数ysinx的图象；

44π1（2）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数ysin2x的图象；

42

π（3）把得到的图象上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y2sin2x的图

4象；

（4）把得到的函数图象向上平移1个单位长度，得到函数y2sin2x1的图象．

4

22综上得到函数ysinx2sinxcosx3cosx1的图象．

π点评：由ysinx的图象变换得到yAsin(x)的图象，一般先作平移变换，后作伸缩变换，即

ysinxysin(x)ysin(x)yAsin(x．)如果先作伸缩变换，后作平移变换，

则左（右）平移时不是个单位，而是个单位，即ysin(x)ysin(x)是左（右）平移

个单位长度．

三、最小正周期问题

这类问题一般要通过恒等变换，然后得出我们所熟悉的三角函数---------也就是yAsin(x)形式三角函数问题，从而求得其周期．最小正周期问题常与三角函数的奇偶性、单调性、对称性及最值交汇出现．应掌握几个常用三角函数的最小正周期，会求yAsin(x)的周期．

例3 函数ysinxcosx的最小正周期为（ ）．（Ａ）

42

ππ （Ｂ） （Ｃ）π （Ｄ）2π424222解析：ysinx1sinx1sinx(1sinx)11cos4x7cos4x，1sin2xcos2x1sin22x148882ππ． T．故选（Ｂ）

42

点评： 本题是通过平方关系、倍角公式、降次将函数化为单一且次数为一次的函数求解的．

四、求值与证明问题

此类题是高考中出现较多的题型，要求同学们掌握从题设条件入手、以题目结论或要求为目标，正确运用各类三角公式，消除角的差异，实现函数名称的转化，达到解（证）题的目的．

深刻理解三角函数的概念，熟练掌握各类三角公式，熟悉三角恒等变换的常用思想方法和变换技巧，是解决问题的关键．

sin2cos2π1例4 已知tan．（1）求tan的值；（2）求的值．

1cos2421π1tan1，解得tan；解：（1）由题意知tan341tan2sin2cos22sincoscos22sincos（2） 21cos22cos2cos1115 tan．

2326

点评：本题在解答过程中用到了两角和的正切公式、二倍角公式及正、余弦公式的关系，熟练掌握和灵活

应用各类三角公式显得尤为重要，在此前提下，解决该类问题，必须先弄清楚“角”在哪里？否则容易求错题目，弄清楚“角”在哪也就是“求值角先行！”；另外，三角函数问题围绕“角和名”两大问题来思考，尽量寻求角之间的联系，尽量减少函数名，是解决这类问题的基本法则。

五、最值或值域问题

这是在考试中出现频率很高的一类题型，要求掌握基本的三角公式和正弦、余弦等基本三角函数的值域．解题时，常常进行降次处理，尽量将异名三角函数化为同名三角函数，将不同的角化为相同的角．

1cos2xπsinxa2sinx的最大值为23，试确定常数a的值．

4π2sinx2

2cos2xππsinxa2sinxcosxsinxa2sinx解：f(x)

2cosx44例5若函数

f(x)πππ2sinxa2sinx2a2sinx．

44422因为f(x)的最大值为23，所以2a23，即a3，a3．

点评：本题先进行三角恒等变换，化为yAsin(x)的形式，再求a的值．求一个复杂三角函数的最小正周期、最值、单调区间等，一般是将这个复杂的三角函数通过三角恒等变换化简为yAsin(x)的

形式后再求解．另外，在求最值问题还有一类题型就是：把所给的函数运用换元的办法转化为一元二次函数的问题来解决，这里就不再举例。换元的时候要注意“引进新元要立刻根据旧元求出新元的取值范围”，当然，还有可能把三角函数问题跟导数简单结合，这样只能扩大知识点的覆盖，但不会增加试题的难度，要想正确解答这类问题，必须对三角函数的求导熟悉，否则在求导这一知识环节出问题，题目也就没办法进行了。

二、题型特点：（条件给出的变化、难度等）

在这部分考题中，选择题，解答题多是基本题目，概念性比较强；这里就不再论述；

在大题中，在条件的给出过程中，多与平面向量结合，这是近年来变化比较大的地方，多是利用平面向量的坐标运算以及平面向量数量积最终转化为三角函数的问题；在上面的分析中，我们给出了六类三角函数题型，其中估计在三角函数的应用部分2008年不会设置大题，三角函数图象变换出大题的可能性也不大，肯定要在三角函数图象和性质的利用上做文章，这点也是三角函数部分的重点之重点，大家除了要对三角函数的图象和性质非常熟练之外，还要对三角恒等变换以及诱导公式和两角和与差的公式非常熟悉。因此必须引起大家的高度重视。但历年来三角函数问题难度的设置上不会太多，多是中、低档题，因此，这部分不能丢分。更不能会而不对，对而不全。

三、强化训练

一、选择题

1、（海南、宁夏理3）函数ysin2xππ，π在区间的简图是（ A ）32

2、（海南宁夏理9）若

Ａ．7 2

cos22，则cossin的值为（ C ）π2sin4711Ｂ． Ｃ． Ｄ．

222

xππ2平移，则平移后所得图象的解析式为（ A ）3、将y2cos的图象按向量a，364

xπxπxπxπＡ．y2cos2 Ｂy2cos．C、y2cos2 Ｄ．y2cos223431234312

4、（江西理5）若0xπ，则下列命题中正确的是（ D ）2

Ａ．sinxx

π3Ｂ．sinx3x π

Ｃ．sinx42x 2π

Ｄ．sinx42x2π

5、（全国卷1理1）是第四象限角，tanA．

5，则sin（ D ）121 5B．

15C．

5 132D．5132

6、全国卷1理（12）函数f(x)cosx2cosA．，

627、（全国卷2理2）函数ysinx的一个单调增区间是（ C ）

B．，

A．， B．，

233x的一个单调增区间是（ A ）2C．0， D．，366

332C．， D．，

8、函数ysin2xcos2x的最小正周期和最大值分别为（ A ）

63A．，1 B．，2 C．2，1 D．2，22ππ9、“”是“tan2cos”的（ A ）

32

Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件

10、若函数f(x)2sin(x)，xR（其中0，）的最小正周期是，且f(0)2

则（D）

3，A．，

6 2二、填空题

1

B．

1， C．2， D．2，23634、（江苏11）若cos()131，cos()，则tantan_____．552

11、（上海理6）函数ysinxππsinx的最小正周期T π ．32

15、（浙江理12）已知sincos，且≤≤，则cos2524

12、（四川理16）下面有五个命题：

13的值是 k7 25①函数y=sinx-cosx的最小正周期是.②终边在y轴上的角的集合是{a|a=,kZ|.

2

③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.

4

4

④把函数y3sin(2x⑤函数ysin(x

三、解答题

)的图象向右平移得到y3sin2x的图象.36

)在〔0，〕上是减函数.其中真命题的序号是 ① ④2

16、（安徽理16）已知01 ，为f(x)cos2x的最小正周期，atan，1，42cos2sin2()的值．b(cos，2)，且abm．求

cossin

主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．

解：因为为f(x)cos2xπ 的最小正周期，故π．

811·bcosat·n2cos·tanm2．因a又a． 故·bm，44

π由于0，所以

42cos2sin2()2cos2sin(22π)2cos2sin22cos(cossin)

cossincossincossincossin1tanπ2cos2cos·tan2(2m)

1tan41318、（福建理17）在△ABC中，tanA，tanB．

45（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．

考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力

133解：（Ⅰ）Cπ(AB)，tanCtan(AB)451．又0Cπ，Cπ．

134145

3（Ⅱ）C，AB边最大，即AB17．又tanAtanB，A，B0，，

4

sinA1，tanAπ角A最小，BC边为最小边．由 cosA4且A0，，

2sin2Acos2A1，得sinA．由得：BCAB2．所以，最小边BC17sinCsinAsinC

19、（广东理16）已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c，0)．

17ABBCsinA2．

（1）若c5，求sin∠A的值； （2）若∠A是钝角，求c的取值范围．

15解析： （1）AB(3,4)，AC(c3,4)，若c=5， 则AC(2,4)，∴cosAcos,ACAB616525，∴sin∠A＝

3c9160252525； 2）若∠A为钝角，则解得c，∴c的取值范围是(,)；533c0221、（湖南理16）已知函数f(x)cosxπ1g(x)1sin2x．，122

（I）设xx0是函数yf(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值．（II）求函数h(x)f(x)g(x)的单调递增区间．

解：（I）由题设知f(x)1π[1cos(2x)]．26

因为xx0是函数yf(x)图象的一条对称轴，所以2x0即2x0kππkπ，6

π（kZ）．6

所以g(x0)111πsin2x01sin(kπ)．226

当k为偶数时，g(x0)1当k为奇数时，g(x0)1113πsin1，2644

1π15sin1．2644

（II）h(x)f(x)g(x)1π11cos2x1sin2x262

31π31π3131sin2xcos2xsin2xcos2xsin2x．2326222222

当2kππππ5ππ≤2x≤2kπ，即kπ≤x≤kπ（kZ）时，2321212

函数h(x)1π35ππsin2x是增函数，故函数h(x)的单调递增区间是kπ，kπ（kZ）．2321212

22、（江西理18）

如图，函数y2cos(x)(xR，≤0≤)的图象与y轴交于点(0，3)，且在该点处切线的斜率为（1）求和的值；2．

π2y 3 0，（2）已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，

π2P x 3π当y0，x0，π时，求x0的值．

22解：（1）将x0，y因为0≤≤

O A 3代入函数y2cos(x)得cos3，2x0



，所以．又因为y2sin(x)，y26．62，



，所以2，6

因此y2cos2x

0，Q(x0，y0)是PA的中点，y0（2）因为点A，所以点P的坐标为2x023，2

，3．2

又因为点P在y2cos2x因为

53的图象上，所以．cos4x0662

7519，≤x0≤，所以≤4x0≤2666

从而得4x051151323或4x0．即x0或x0．666634

23、（全国卷1理17）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA．

（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围．

解：（Ⅰ）由a2bsinA，根据正弦定理得sinA2sinBsinA，所以sinB由△ABC为锐角三角形得B1，2

π．6

（Ⅱ）cosAsinCcosAsinA

13sinA3sinA．cosAsinAcosAcosA2236由△ABC为锐角三角形知，

2 B． AB，A，

222263336所以

1333．由此有sinA3sinA3，232232

33所以，cosAsinC的取值范围为2，．2

24、（全国卷2理17）在△ABC中，已知内角A

（1）求函数yf(x)的解析式和定义域；（2）求y的最大值．解：（1）△ABC的内角和ABC，由A，边BC23．设内角Bx，周长为y．

2．，B0，C0得0B

应用正弦定理，知AC

BCBC232sinC4sinx．sinBsinx4sinx，ABsinAsinAsin

因为yABBCAC，所以y4sinx4sin22x230x，

3

5143sinx23x（2）因为y4sinx cosxsinx23，2

所以，当x

，即x时，y取得最大值63．

5、（陕西理17）设函数f(x)a1)，xR，且yf(x)的图，cos2x)，b(1sin2x，·b，其中向量a(m2．象经过点，（Ⅰ）求实数m的值 （Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x值的集合．

解：（Ⅰ）f(x)abm(1sin2x)cos2x，

π

4



由已知fπππm1sincos2，得m1．422（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)1sin2xcos2x12sin2x

当sin2x由sin2xπ，4

π1时，f(x)的最小值为12，4

π3πx1，得值的集合为xxkπ，kZ．48

26、已知cos

本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。

113（Ⅱ）求.,cos(),且0<<<,(Ⅰ)求tan2的值.

27142112解：（Ⅰ）由cos,0，得sin1cos1437277

∴tansin43743，于是tan22tan243283cos711tan214347

（Ⅱ）由02，得02

2131333由 得：又∵cos，∴sin1cos21141414

coscoscoscossinsin所以

11343331 71471423

27、（天津理17）已知函数f(x)2cosx(sinxcosx)1，xR．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函数f(x)在区间，上的最小值和最大值．

84

本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数yAsin(x)的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．

π3π

（Ⅰ）解：f(x)2cosx(sinxcosx)1sin2xcos2x因此，函数f(x)的最小正周期为π．

（Ⅱ）解法一：因为f(x)π2sin2x．

4

ππ3π3π3π2sin2x在区间，上为增函数，在区间，上为减函数，

48488π3π3ππf2sin2cos1，

4424又fπ0，83πf2，8π3π

故函数f(x)在区间，上的最大值为2，最小值为1．84228、（重庆理17）设f(x)6cosx3sin2x．

（Ⅰ）求f(x)的最大值及最小正周期；（Ⅱ）若锐角满足f()323，求tan

4的值．5解f(x)6

31cos2x1cos2xsin2x33sin2x3cos2x3sin2x323222223cos2x3． 故f(x)的最大值为233；最小正周期T．

62（Ⅱ）由f()323得23cos2又由0

3323cos2，故1．66

5得2，故2，解得．26666123．3

从而tantan45