一．选择题（共 10 小题） 1．（2013•铁岭）如图，在△ABC 和△DEC 中，已知 AB=DE，还需添加两个条件才能使 △ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（
）
C BC=DC，∠A=∠D ．
BC=EC，AC=DC
D ∠B=∠E，∠A=∠
．
A BC=EC，∠B=∠E B ．
．
2．（2011•恩施州）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为 F，DE=DG，△ ADG 和△AED 的面积分别为 50 和 39，则△EDF 的面积为（ ）
5.5
C 7 D ． ．A 11 B ．
．
3．（2013•贺州）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AC=8cm，F 是高 AD 和 BE 的交点，则 BF 的长是（
）
6cm
C 8cm D ．
．
A 4cm B ．
．
4．（2010•海南）如图，a、b、c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是（
）
3.5 9cm
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（2013•珠海）点（3，2）关于 x 轴的对称点为（ A （3，﹣2） ．
B （﹣3，2） ．
）
C （﹣3，﹣2） ．
D （2，﹣3） ．
6．（2013•十堰）如图，将△ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合．已知 AC=5cm，△ADC 的周长为 17cm，则 BC 的长为（ ）
A 7cm ．
B 10cm ．
C 12cm ．
D 22cm ． ） D 18 ．
7．（2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（ A 12 B 15 C 12 或 15 ．
．
．
8．（2013•烟台）下列各运算中，正确的是（ ） A 3a+2a=5a2 B （﹣3a3）2=9a6 ．
．
）
B．﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a） D 4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）2
． C a4÷a2=a3 ．
D （a+2）2=a2+4 ．
9．（2012•西宁）下列分解因式正确的是（ A 3x2﹣6x=x（3x﹣6） ．
C．4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y）
10．（2013•恩施州）把 x2y﹣2y2x+y3 分解因式正确的是（ ） A y（x2﹣2xy+y2） B x2y﹣y2（2x﹣y） C y（x﹣y）2 ． ． ．
D y（x+y）2
．
二．填空题（共 10 小题） 11．（2013•资阳）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，点 D 是 BC 边上的点， CD=1，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是 ．
12．（2013•黔西南州）如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG=CD，DF=DE，则∠E=
度．
13．（2013•枣庄）若
，
，则 a+b 的值为
．
14．（2013•内江）若 m2﹣n2=6，且 m﹣n=2，则 m+n=
．
．
．
15．（2013•菏泽）分解因式：3a2﹣12ab+12b2=
16．（2013•盐城）使分式
的值为零的条件是 x=
17．（2013•南京）使式子 1+
有意义的 x 的取值范围是
．
18．（2012•茂名）若分式
的值为 0，则 a 的值是
．
19. 在下列几个均不为零的式子，x2﹣4，x2﹣2x，x2﹣4x+4，x2+2x，x2+4x+4 中任选两个
都可以组成分式，请你选择一个不是最简分式的分式进行化简：
．
20. 不改变分式的值，把分式 分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是
．
三．解答题（共 8 小题）
21．（2013•遵义）已知实数 a 满足 a2+2a﹣15=0，求值．
﹣÷ 的
22．（2013•重庆）先化简，再求值：
÷（
﹣a﹣2b）﹣ ，其中 a，b 满足
．
23．（2007•资阳）设 a1=32﹣12，a2=52﹣32，…，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n 为大于 0 的自然数）．
（1） 探究 an 是否为 8 的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论； （2） 若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，
a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数，并指出当 n 满足什么条件时，an 为完全平方数（不必说明理由）．
24．在△ABC 中，若 AD 是∠BAC 的角平分线，点 E 和点 F 分别在 AB 和 AC 上，且DE⊥AB，垂足为 E，DF⊥AC，垂足为 F（如图（1），则可以得到以下两个结论： ①∠AED+∠AFD=180°；②DE=DF．
那么在△ABC 中，仍然有条件“AD 是∠BAC 的角平分线，点 E 和点 F，分别在 AB 和 AC 上”，请探究以下两个问题：
（1） 若∠AED+∠AFD=180°（如图（2），则 DE 与 DF 是否仍相等？若仍相等，请证明；
否则请举出反例． （2） 若 DE=DF，则∠AED+∠AFD=180°是否成立？（只写出结论，不证明）
25．（2012•遵义）如图，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A、C 不重合），Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB延长线方向运动（Q 不与 B 重合），过 P 作 PE⊥AB 于 E，连接 PQ 交 AB 于 D．
（1） 当∠BQD=30°时，求 AP 的长；
（2） 当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化
请说明理由．
26．（2005•江西）将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形式，使点 B、F、C、D 在同一条直线上．
（1） 求证：AB⊥ED；
（2） 若 PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．
27．（2013•沙河口区一模）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4．点 M 在 AB 边上以 1 单位长度/秒的速度从点 A 向点 B 运动，运动到点 B 时停止．连接 CM，将△ACM 沿着 CM 对折，点 A 的对称点为点 A′．
（1） 当 CM 与 AB 垂直时，求点 M 运动的时间；
（2） 当点 A′落在△ABC 的一边上时，求点 M 运动的时间．
28．已知点 C 为线段 AB 上一点，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 同侧作△ACD 和△ BCE，且 CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线 AE 与 BD 交于点 F， （1）如图 1，若∠ACD=60°，则∠AFB=
；如图 2，若∠ACD=90°，则
∠AFB= ；如图 3，若∠ACD=120°，则∠AFB= ； （2） 如图 4，若∠ACD=α，则∠AFB= （用含 α 的式子表示）；
（3） 将图 4 中的△ACD 绕点 C 顺时针旋转任意角度（交点 F 至少在 BD、AE 中的一条线
段上），变成如图 5 所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB 与 α 的有何数量关系？并给予证明．
环球优学八年级（上）典型题
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题） 1．（2013•铁岭）如图，在△ABC 和△DEC 中，已知 AB=DE，还需添加两个条件才能使 △ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（
）
C BC=DC，∠A=∠D ．
BC=EC，AC=DC
D ∠B=∠E，∠A=∠
．
A BC=EC，∠B=∠E ． B ．
考点： 全等三角形的判定．
分析： 根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
解答： 解：A、已知 AB=DE，再加上条件 BC=EC，∠B=∠E 可利用 SAS 证明△ABC≌△DEC，故此选项不
意；
B、已知 AB=DE，再加上条件 BC=EC，AC=DC 可利用 SSS 证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意C、已知 AB=DE，再加上条件 BC=DC，∠A=∠D 不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知 AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D 可利用 ASA 证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题
故选：C．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、
HL． 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一应相等时，角必须是两边的夹角．
2．（2011•恩施州）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为 F，DE=DG，△
ADG 和△AED 的面积分别为 50 和 39，则△EDF 的面积为（ ）
5.5
C 7 ． D 3.5 ．
A 11 ．
B ．
考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 作 DM=DE 交 AC 于 M，作 DN⊥AC，利用角平分线的性质得到 DN=DF，将三角形 EDF 的面积转化为
角形 DNM 的面积来求． 解答： 解：作 DM=DE 交 AC 于 M，作 DN⊥AC，
∵DE=DG，DM=DE， ∴DM=DG，
∵AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DN，
在 Rt△DEF 和 Rt△DMN 中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵△ADG 和△AED 的面积分别为 50 和 39，
∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11， S△DNM=S△DEF= S△MDG= 故选 B．
=5.5
点评： 本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三
形的面积转化为另外的三角形的面积来求．
3．（2013•贺州）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AC=8cm，F 是高 AD 和 BE 的交点，
则 BF 的长是（ ）
6cm C 8cm ．
D 9cm ．
A 4cm ．
B ．
考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 求出∠FBD=∠CAD，AD=BD，证△DBF≌△DAC，推出 BF=AC，代入求出即可． 解答： 解：∵F 是高 AD 和 BE 的交点，
∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，
∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD， ∴∠CAD=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°， ∴∠BAD=45°=∠ABD， ∴AD=BD，
在△DBF 和△DAC 中
∴△DBF≌△DAC（ASA）， ∴BF=AC=8cm， 故选 C． DBF≌△DAC．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△
4．（2010•海南）如图，a、b、c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点： 全等三角形的判定．
分析： 根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角． 解答： 解：A、与三角形 ABC 有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；
B、选项 B 与三角形 ABC 有两边及其夹边相等，二者全等； C、与三角形 ABC 有两边相等，但角不是夹角，二者不全等； D、与三角形 ABC 有两角相等，但边不对应相等，二者不全等． 故选 B．
点评： 本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即
AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用 HL 定理，但 AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一较为简单的题目．
5．（2013•珠海）点（3，2）关于 x 轴的对称点为（ A （3，﹣2） ．
B （﹣3，2） ．
）
C （﹣3，﹣2） ．
D （2，﹣3） ．
考点： 关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．
分析： 根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案．
解答： 解：点（3，2）关于 x 轴的对称点为（3，﹣2），
故选：A．
点评： 此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6．（2013•十堰）如图，将△ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合．已知 AC=5cm，△ADC 的周长为 17cm，则 BC 的长为（
）
A 7cm ．
B 10cm ．
C 12cm ．
D 22cm ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 首先根据折叠可得 AD=BD，再由△ADC 的周长为 17cm 可以得到 AD+DC 的长，利用等量代换可得 B
的长．
解答： 解：根据折叠可得：AD=BD，
∵△ADC 的周长为 17cm，AC=5cm， ∴AD+DC=17﹣5=12（cm）， ∵AD=BD， ∴BD+CD=12cm．
故选：C．
点评： 此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大
不变，位置变化，对应边和对应角相等．
7．（2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（ A 12 B 15 C 12 或 15 ．
．
．
） D 18 ．
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 因为已知长度为 3 和 6 两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 解答： 解：①当 3 为底时，其它两边都为 6，
3、6、6 可以构成三角形， 周长为 15； ②当 3 为腰时，
其它两边为 3 和 6， ∵3+3=6=6，
∴不能构成三角形，故舍去， ∴答案只有 15． 故选 B．
分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况
8．（2013•烟台）下列各运算中，正确的是（ ） A 3a+2a=5a2 B （﹣3a3）2=9a6 ． ．
C a4÷a2=a3
． D （a+2）2=a2+4 ．
考点： 同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式． 解答： 解：A、3a+2a=5a，原式计算错误，故本选项错误；
B、（﹣3a3）2=9a6，原式计算正确，故本选项正确； C、a4÷a2=a2，原式计算错误，故本选项错误； D、（a+2）2=a2+4a+4，原式计算错误，故本选项错误； 故选 B．
点评： 本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则．
分析： 根据合并同类项的法则、幂的乘方及积的乘方法则、同底数幂的除法法则，分别进行各选项的判断即可
9．（2012•西宁）下列分解因式正确的是（ A 3x2﹣6x=x（3x﹣6） ．
C．4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y）
）
B．﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a） D 4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）2
．
考点： 因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法． 专题： 计算题．
分析： 根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用
方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解． 解答： 解：A、3x2﹣6x=3x（x﹣2），故本选项错误；
B、﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a），故本选项正确；
C、4x2﹣y2=（2x+y）（2x﹣y），故本选项错误； D、4x2﹣2xy+y2 不能分解因式，故本选项错误． 故选 B．
10．（2013•恩施州）把 x2y﹣2y2x+y3 分解因式正确的是（ ） A y（x2﹣2xy+y2） B x2y﹣y2（2x﹣y） C y（x﹣y）2 ． ． ．
D y（x+y）2
．
点评： 本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 首先提取公因式 y，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 解答： 解：x2y﹣2y2x+y3
=y（x2﹣2yx+y2） =y（x﹣y）
2． 故选：C．
点评： 本题主要考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分
要彻底．
二．填空题（共 10 小题） 11．（2013•资阳）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，点 D 是 BC 边上的点， CD=1，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是 1+
．
考点： 轴对称-最短路线问题；含 30 度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题） ．专题： 压轴题．
分析： 连接 CE，交 AD 于 M，根据折叠和等腰三角形性质得出当 P 和 D 重合时，PE+BP 的值最小，即可此时
BPE 的周长最小，最小值是 BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，先求出 BC 和 BE 长，代入求出即可． 解答：
解：连接 CE，交 AD 于 M， ∵沿 AD 折叠 C 和 E 重合，
∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，
∴AD 垂直平分 CE，即 C 和 E 关于 AD 对称，CD=DE=1，
∴当 P 和 D 重合时，PE+BP 的值最小，即此时△BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE， ∵∠DEA=90°， ∴∠DEB=90°， ∵∠B=60°，DE=1， ∴BE=
，BD=
，
+
=1+
，
，
即 BC=1+
∴△PEB 的周长的最小值是 BC+BE=1+
故答案为：1+．
点评： 本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含 30 度角的直角三角形质的应用，关键是求出 P 点的位置，题目比较好，难度适中．
12．（2013•黔西南州）如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG=CD，DF=DE，则∠E= 15 度．
考点： 等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质． 专题： 压轴题．
分析： 根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E 的度数． 解答： 解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°， ∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°， ∵DF=DE， ∴∠E=15°． 故答案为：15．
点评： 本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为 180°以及等腰三角形的性质，难度适中．
13．（2013•枣庄）若
，
，则 a+b 的值为
．考点： 平方差公式． 专题： 计算题．
分析： 已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将 a﹣b 的值代入即可求出 a+b 的解答： 值． 解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=，a﹣b=，
∴a+b= ． 故答案为：．
点评： 此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
14．（2013•内江）若 m2﹣n2=6，且 m﹣n=2，则 m+n= 3 ．
考点： 因式分解-运用公式法．
分析： 将 m2﹣n2 按平方差公式展开，再将 m﹣n 的值整体代入，即可求出 m+n 的值． 解答： 解：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6，
故
m+n=3． 故答案为：3．
点评： 本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
15．（2013•菏泽）分解因式：3a2﹣12ab+12b2= 3（a﹣2b）2
．考点： 提公
因式法与公式法的综合运用．
分析： 先提取公因式 3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案． 解答： 解：3a2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2．
故答案为：3（a﹣2b）2．
点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再
其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．
16．（2013•盐城）使分式
的值为零的条件是 x= ﹣1 ．
考点： 分式的值为零的条件．
分析： 分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零． 解答： 解：由题意，得
x+1=0，
解得，x=﹣1． 经检验，x=﹣1 时，
=0．
故答案是：﹣1．
点评： 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（为 0．这两个条件缺一不可．
17．（2013•南京）使式子 1+
有意义的 x 的取值范围是 x≠1 ．
考点： 分式有意义的条件． 分析： 分式有意义，分母不等于零．
解答： 解：由题意知，分母 x﹣1≠0，即 x≠1 时，式子 1+
有意
义． 故填：x≠1．
点评： 本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1） 分式无意义⇔分母为零；
（2） 分式有意义⇔分母不为零；
（3） 分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
18．（2012•茂名）若分式
的值为 0，则 a 的值是 3
．
考点： 分式的值为零的条件． 专题： 探究型．
分析： 根据分式的值为 0 的条件列出关于 a 的不等式组，求出 a 的值即可． 解答：
解：∵分式
的值为 0，
1）分子为 0；（2）分母
∴
，
解 得
a=3． 故答案为：3．
点评： 本题考查的是分式的值为 0 的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
19. 在下列几个均不为零的式子，x2﹣4，x2﹣2x，x2﹣4x+4，x2+2x，x2+4x+4 中任选两个
都可以组成分式，请你选择一个不是最简分式的分式进行化简： ．
考点： 最简分式． 专题： 开放型．
个，把分式的分子分母分别分解因式，然后进行约分即可．
解答：
解：
故填：
=．
=
，
分析： 在这几个式子中任意选一个作分母，任意另选一个作分子，就可以组成分式．因而可以写出的分式有很
点评： 本题主要考查分式的定义，分母中含有字母的有理式就是分式．并且考查了分式的化简，首先要把分子
分母分解因式，然后进行约分．
20. 不改变分式的值，把分式
分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是
．
考点： 最简分式．
分析： 首先将分子、分母均乘以 100，若不是最简分式，则一定要约分成最简分式．本题特别注意分子、分母
每一项都要乘以 100．
解答： 解：分子、分母都乘以 100 得，
约分得，
三．解答题（共 8 小题）
21．（2013•遵义）已知实数 a 满足 a2+2a﹣15=0，求值．
﹣
÷
的
．
，
点评： 解题的关键是正确运用分式的基本性质．
考点： 分式的化简求值．
最后把 a2+2a﹣15=0 进行配方，得到一个 a+1 的值，再把它整体代入即可求出答案．
解答： 解：
分析： 先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式
﹣÷ =﹣• =﹣ =
，
∵a2+2a﹣15=0， ∴（a+1）2=16， ∴原式=
= ．
点评： 此题考查了分式的化简求值，关键是掌握分式化简的步骤，先进行通分，再因式分解，然后把除法转化
乘法，最后约分；化简求值题要将原式化为最简后再代值．
22．（2013•重庆）先化简，再求值：
÷（
﹣a﹣2b）﹣，其中 a，b
满足
．
考点： 分式的化简求值；解二元一次方程组． 专题： 探究型．
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出 a、b 的值代入进行计算即可． 解答：
解：原式=
÷ ﹣
= ==﹣ ∵
× ﹣ ， ， ，
=﹣ ．
﹣
∴
∴原式=﹣
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
23．（2007•资阳）设 a1=32﹣12，a2=52﹣32，…，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n 为大于 0 的自然数）．
（1） 探究 an 是否为 8 的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论； （2） 若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，
a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数，并指出当 n 满足什么条件时，an 为完全平方数（不必说明理由）．
考点： 因式分解-运用公式法． 专题： 规律型．
分析： （1）利用平方差公式，将（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 化简，可得结论；
（2）理解完全平方数的概念，通过计算找出规律． 解答： 解：（1）∵an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1=8n，（3 分）
又 n 为非零的自然数，
∴an 是 8 的倍数．（4 分）
这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是 8 的倍数（5 分） 说明：第一步用完全平方公式展开各（1），正确化简（1 分）．
（2）这一列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数为 16，64，144，256．（7 分）
n 为一个完全平方数的 2 倍时，an 为完全平方数（8 分） 说明：找完全平方数时，错一个扣（1），错 2 个及以上扣（2 分）．
点评： 本题考查了公式法分解因式，属于结论开放性题目，通过一系列的式子，找出一般规律，考查了同学们
探究发现的能力．
24．在△ABC 中，若 AD 是∠BAC 的角平分线，点 E 和点 F 分别在 AB 和 AC 上，且DE⊥AB，垂足为 E，DF⊥AC，垂足为 F（如图（1），则可以得到以下两个结论： ①∠AED+∠AFD=180°；②DE=DF．
那么在△ABC 中，仍然有条件“AD 是∠BAC 的角平分线，点 E 和点 F，分别在 AB 和 AC 上”，请探究以下两个问题：
（1） 若∠AED+∠AFD=180°（如图（2），则 DE 与 DF 是否仍相等？若仍相等，请证明；
否则请举出反例． （2） 若 DE=DF，则∠AED+∠AFD=180°是否成立？（只写出结论，不证明）
考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 专题： 证明题．
分析： （1）过点 D 作 DM⊥AB 于 M，DN⊥AC 于 N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得
DM=DN，再根据∠AED+∠AFD=180°，平角的定义得∠AFD+∠DFN=180°，可以推出∠DFN=∠AED 后利用角角边定理证明△DME 与△DNF 全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）不一定成立，若 DE、DF 在点 D 到角的两边的垂线段上或垂线段与点 A 的两侧，则成立，若是同
则不成立． 解答： 解：（1）DE=DF． 理由如下：
过点 D 作 DM⊥AB 于 M，DN⊥AC 于 N， ∵AD 平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM=DN，
∵∠AED+∠AFD=180°，∠AFD+∠DFN=180°， ∴∠DFN=∠AED，
∴△DME≌△DNF（AAS）， ∴DE=DF；
（2）不一定成立．
如图，若 DE、DF 在点 D 到角的两边的垂线段与顶点 A 的同侧则一定不成立， 经过（1）的证明，若在垂线段上或两侧则成立， 所以不一定成立．
点评： 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，从题目提供信息找出求证的思路是解题的关键
读懂题目信息比较重要．
25．（2012•遵义）如图，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A、C 不重合），Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB延长线方向运动（Q 不与 B 重合），过 P 作 PE⊥AB 于 E，连接 PQ 交 AB 于 D．
（1） 当∠BQD=30°时，求 AP 的长；
（2） 当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化
请说明理由．
考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形． 专题： 压轴题；动点型．
分析： （1））由△ABC 是边长为 6 的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设
AP=x，则 PC=6﹣x，QB=x，在 Rt△QCP 中，∠BQD=30°，PC= QC，即 6﹣x= （6+x），求出 x 的值可；
（2）作 QF⊥AB，交直线 AB 的延长线于点 F，连接 QE，PF，由点 P、Q 做匀速运动且速度相同，可
AP=BQ，
再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由 AE=BF，PE=QF 且 PE∥QF，可知四边形 PE
是平行四边形，进而可得出 EB+AE=BE+BF=AB，DE= AB，由等边△ABC 的边长为 6 可得出 DE=3， 当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度不会改
变． 解答： 解：（1）∵△ABC 是边长为 6 的等边三角形，
∴∠ACB=60°， ∵∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
设 AP=x，则 PC=6﹣x，QB=x， ∴QC=QB+BC=6+x，
∵在 Rt△QCP 中，∠BQD=30°，
∴PC=QC，即 6﹣x=（6+x），解得 x=2， ∴AP=2；
（2）当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变．理由如下： 作 QF⊥AB，交直线 AB 的延长线于点 F，连接 QE，PF， 又∵PE⊥AB 于 E， ∴∠DFQ=∠AEP=90°， ∵点 P、Q 速度相同， ∴AP=BQ，
∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°， 在△APE 和△BQF 中， ∵∠AEP=∠BFQ=90°， ∴∠APE=∠BQF，
∴在△APE 和△BQF 中，
∴△APE≌△BQF（AAS）， ∴AE=BF，PE=QF 且 PE∥QF， ∴四边形 PEQF 是平行四边形， ∴DE= EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB， ∴DE= AB，
又∵等边△ABC 的边长为 6，
∴DE=3，
∴当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变．
点评： 本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅
线构造出全等三角形是解答此题的关键．
26．（2005•江西）将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形式，使点 B、F、C、D 在同一条直线上．
（1） 求证：AB⊥ED；
（2） 若 PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．
考点： 翻折变换（折叠问题）；直角三角形全等的判定．专题： 几何综合题；压轴题．
分析： 做此题要理解翻折变换后相等的条件，同时利用常用的全等三角形的判定方法来判定其全等． 解答： 证明：（1）由题意得，∠A+∠B=90°，∠A=∠D，
∴∠D+∠B=90°， ∴AB⊥DE．（3 分）
（2）∵AB⊥DE，AC⊥BD ∴∠BPD=∠ACB=90°，
∴在△ABC 和△DBP，
，
∴△ABC≌△DBP（AAS）．（8 分）
说明：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：
△APN≌△DCN、△DEF≌△DBP、△EPM≌△BFM．
点评： 此题考查了翻折变换及全等三角形的判定方法等知识点，常用的判定方法有 SSS、SAS、AAS、HL 等
27．（2013•沙河口区一模）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4．点 M 在 AB 边上以 1 单位长度/秒的速度从点 A 向点 B 运动，运动到点 B 时停止．连接 CM，将△ACM 沿着 CM 对折，点 A 的对称点为点 A′．
（1） 当 CM 与 AB 垂直时，求点 M 运动的时间；
（2） 当点 A′落在△ABC 的一边上时，求点 M 运动的时间．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： （1）由 Rt△ABC 中，∠C=90°，CM 与 AB 垂直，易证得△ACM∽△ABC，然后由相似三角形的对应
成比例，即可求得 AM 的长，即可得点 M 运动的时间；
（2）分别从当点 A′落在 AB 上时与当点 A′落在 BC 上时去分析求解即可求得答
案． 解答： 解：（1）∵Rt△ABC 中，∠C=90°，CM⊥AB，
∴∠A=∠A，∠AMC=∠ACB=90°， ∴△ACM∽△ABC， ∴
，
∵AC=3，BC=4， ∴AB= ∴AM=
=，
=5，
∴点 M 运动的时间为：；
（2）①如图 1，当点 A′落在 AB 上时， 此时 CM⊥AB，
则点 M 运动的时间为： ；
②如图 2，当点 A′落到 BC 上时，CM 是∠ACB 平分线， 过点 M 作 ME⊥BC 于点 E，作 MF⊥AC 于点 F， ∴ME=MF，
∵S△ABC=S△ACM+S△BCM， ∴AC•BC= AC•MF+ BC•ME， ∴×3×4=×3×MF+ ×4×MF， 解得：MF= ∵∠C=90°， ∴MF∥BC， ∴△AMF∽△ABC， ∴
，
，
即，
，
解得：AM=
综上可得：当点 A′落在△ABC 的一边上时，点 M 运动的时间为： 或 ．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握数形合思想与分类讨论思想的应用．
28．已知点 C 为线段 AB 上一点，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 同侧作△ACD 和△ BCE，且 CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线 AE 与 BD 交于点 F，
（1）如图 1，若∠ACD=60°，则∠AFB= 120° ；如图 2，若∠ACD=90°，则∠AFB= 90° ；如图 3，若∠ACD=120°，则∠AFB= 60° ；
（2） 如图 4，若∠ACD=α，则∠AFB= 180°﹣α （用含 α 的式子表示）；
（3） 将图 4 中的△ACD 绕点 C 顺时针旋转任意角度（交点 F 至少在 BD、AE 中的一条线
段上），变成如图 5 所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB 与 α 的有何数量关系？并给予证明．
考点： 等边三角形的判定与性质． 专题： 证明题；探究型．
分析： （1）如图 1，首先证明△BCD≌△ECA，得出∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB 是△ADF 的外角求出其
数．
如图 2，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而得出
∠AFB=90°． 如图 3，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB 得到
∠FAB+∠FBA=120°，进而求出∠AFB=60°． （2） 由∠ACD=∠BCE 得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出
∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°﹣α． （3） 由∠ACD=∠BCE 得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB 得∠CBD=∠CEA，由三角形内和定理得到结论∠AFB=180°﹣α．
解答： 解：（1）如图 1，CA=CD，∠ACD=60°， 所以△ACD 是等边三角形．
∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°， 所以△ECB 是等边三角形．
∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE， 又∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACE=∠BCD． ∵AC=DC，CE=BC， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠EAC=∠BDC． ∠AFB 是△ADF 的外角．
∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°． 如图 2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB， ∴△ACE≌△DCB．
∴∠AEC=∠DBC，
又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°， ∴∠EFD=90°．
∴∠AFB=90°．
如图 3，∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE． ∴∠ACE=∠DCB． 又∵CA=CD，CE=CB， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠EAC=∠BDC．
∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°， ∴∠FAB+∠FBA=120°． ∴∠AFB=60°．
故填 120°，90°，60°．
（2）∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE． ∴∠ACE=∠DCB． ∴∠CAE=∠CDB． ∴∠DFA=∠ACD．
∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α．
（3）∠AFB=180°﹣α；
证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， 即∠ACE=∠DCB． 在△ACE 和△DCB 中 则△ACE≌△DCB（SAS）．
则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α．
∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α．
点评： 本题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识．
，
“
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”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, \"people who learn to learn are very happy people.\". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of
continuous learning, \"life is diligent, nothing can be gained\can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!
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