矩阵证明题

矩阵证明题

简单应用题能力：

1．试证：设A，B，AB均为n阶对称矩阵，则AB =BA．

3

2．试证：设A是n阶矩阵，若A= 0，则(IA)1IAA2．

3．已知矩阵

A1(BI)212，且AA，试证B是可逆矩阵，并求B.

2T4. 设n阶矩阵A满足AI，AAI，证明A是对称矩阵.

5． 设A，B均为n阶对称矩阵，则AB＋BA也是对称矩阵．

6．设Ak=0,其中A为方阵,k为大于1的某个正整数,证明(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1.

7．若A为非退化矩阵,并且AB=BA,试证： A-1B=BA-1。

8．设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵

9．设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA

10．n阶方阵A满足A2-3A-2E=0，其中A给定，证明A可逆.

11．设A、B均为n阶方阵，且A2=A,B2=B，证明(A+B)2=A+B的充分必要条件是

AB=BA=0.

12．若A为非退化矩阵,并且AB=BA,试证： A-1B=BA-1。

13．设A是n阶方阵，且（A+E）2=0，证明A可逆.

14．设矩阵A可逆，证明（A*）-1=|A-1|A.

参考答案

1．试证：设A，B，AB均为n阶对称矩阵，则AB =BA．

1．证 因为AT = A，BT = B，(AB)T = AB ——得3分

所以 AB = (AB)T = BT AT = BA ——得5分

2．试证：设A是n阶矩阵，若A= 0，则(IA)3

1IAA2．

2(IA)(IAA) ——得2分 2．证 因为

2233 =IAAAAA =IA= I

12(IA)IAA所以 ——得5分

3．已知矩阵

A1(BI)212，且AA，试证B是可逆矩阵，并求B.

3. 证 因为

A211(BI)2(B22BI)244，且AA，即

121(B2BI)(BI)42， ——得3分

21 得BI，所以B是可逆矩阵，且BB. ——得5分

2T4. 设n阶矩阵A满足AI，AAI，证明A是对称矩阵.

4. 证 因为

TTT AAI=AAAIA=A ——得4分

所以A是对称矩阵. ——得5分

5．设A，B均为n阶对称矩阵，则AB＋BA也是对称矩阵．

TTAA，BB，且 5．证 因为

TTT(ABBA)(AB)(BA) ——得2分

BTATATBT

BAABABBA ——得5分

所以 AB＋BA是对称矩阵．

6．设Ak=0,其中A为方阵,k为大于1的某个正整数,证明(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1.

6．证：因为AkO  所以EAkE ——得2分

又因为 EAk(EA)(EAA2  Ak1)

即 (EA)(EAA2  Ak1)E

所以 (EA)可逆 且 (EA)1EAA2  Ak1 ——得5分

7．若A为非退化矩阵,并且AB=BA,试证： A-1B=BA-1。

7．证：因为A为非退化矩阵,并且AB=BA，

11所以两边右乘A得：ABAB， ——得3分

111再两边左乘A得：BAAB ——得5分

8．设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵

8．证：因为ATA 所以

(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB ——得4分

从而BTAB是对称矩阵 ——得5分

9．设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA

9．证：充分性 因为ATA BTB 且ABBA 所以

(AB)T(BA)TATBTAB 即AB是对称矩阵 ——得3分

必要性 因为ATA BTB 且(AB)TAB 所以

AB(AB)TBTATBA ——得5分

10．n阶方阵A满足A2-3A-2E=0，其中A给定，证明A可逆

10．证：由A2-3A-2E=0可得：A(A-3E)=2E， ——得3分

(A3E)E2

即

A所以A可逆，且

A1(A3E)2 ——得5分

11．设A、B均为n阶方阵，且A2=A,B2=B，证明(A+B)2=A+B的充分必要条件是AB=BA=0.

12．若A为非退化矩阵,并且AB=BA,试证： A-1B=BA-1。

13．设A是n阶方阵，且（A+E）2=0，证明A可逆.

14．设矩阵A可逆，证明（A*）-1=|A-1|A.

.

综合应用题能力：

1．设n阶方阵AE,其中0是n维列向量,证明：

TTT2（1）AA的充要条件为1； （2）当1时，矩阵A不可逆。

22．设n阶方阵A满足AA2E0，证明：

(1) 矩阵A可逆； (2) 矩阵A2E与AE不同时可逆。

1(BE)2，证明A2=A的充要条件是B2=E。

3．如果

A4．设矩阵A可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*)1(A1)*

5．设矩阵A、B及AB都可逆 证明A1B1也可逆 并求其逆阵

26．若方阵A满足A2A4EO，证明AE可逆，并求出AE的逆矩阵.

参考答案

1．设n阶方阵AE,其中0是n维列向量,证明：

T

TT2（1）AA的充要条件为1； （2）当1时，矩阵A不可逆。

2TTTTAE()1．证：（1） ， ——得2分

T2故AA的充要条件为1； ——得4分

1212A(A)AA， AAA（2） 由（1）得，若可逆，

则AE，矛盾。 ——得8分

22．设n阶方阵A满足AA2E0，证明：

(1) 矩阵A可逆； (2) 矩阵A2E与AE不同时可逆。

1(AE)2； ——得4分

2．证：（1）A(AE)2E，

A12|AA2E||A2E||AE|0，|A2E|与|AE|至少有一个为零。 （2）

——得8分

1(BE)2，证明A2=A的充要条件是B2=E。

3．如果

A3．证：（必要性）

A2A,A1(BE)2，

11B22BE2(BE)(BE)44 2，化简即得：B2=E。 ——得4分

（充分性）

B2E,A1(BE)2

1B22BE2B2E2A(BE)A444 ——得8分

24．设矩阵A可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*)1(A1)*

10,|A*||A|n101*A,A|A|，即也可逆。

4．证：由A可逆可知：

|A|0,|A1| ——得4分

AA*A*A|A|E,A1(A1)*(A1)*A1|A1|E

(A*)1A/|A|,(A1)*|A1|EAA/|A|

*11*(A)(A) ——得8分 所以

5．设矩阵A、B及AB都可逆 证明A1B1也可逆 并求其逆阵

5．证：因为

A1(AB)B1B1A1A1B1 ——得2分

而A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积 所以A1(AB)B1可逆 即A1B1可逆

——得6分

(A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A ——得8分

26．若方阵A满足A2A4EO，证明AE可逆，并求出AE的逆矩阵.

226．证：由A2A4EO可得AA3A3EE，——得2分

即(AE)(A3E)E ——得6分

所以AE可逆，且(AE)1(A3E) ——得8分

发展应用题能力：

1．设A为mn矩阵，证明：存在ns非零矩阵B，使ABO的充分必要条件为秩

r(A)n。

AOrr(A)r(B)2．试证明： OB

3．设A为n阶满秩方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,求证(A*)*=|A| n－2A.

4．设n阶矩阵A的伴随矩阵为A* 证明

(1)若|A|0 则|A*|0 (2)|A*||A|n1

5．设A为mn矩阵，B为n阶矩阵，且r(A)=n，试证：

（1）若AB=O，则B=O；（2）若AB=A则B=E。

6．设A、B为mn矩阵，则r(A+B)r(A)+r(B)。

7．如果A是n阶矩阵(n2),且r(A)n1,试证r(A)1

参考答案

1．设A为mn矩阵，证明：存在ns非零矩阵B，使ABO的充分必要条件为秩

r(A)n。

1．证：

j,j1，2，s;其中snr(A)充分性：r(A)n，Ax0存在一个基础解系

B（1，2，，s），令

，易知B就是ns非零矩阵。 ——得5分

j（1，2，，s）必要性：设B，因B是ns非零矩阵，故至少有一个

是非零向量。

2，sABO，则j,j1，都是线性方程组Ax0的解。

Ax0有非零解，即r(A)n。 ——得10分

AOrr(A)r(B)2．试证明： OB

2．证：设A的列向量组为1,2,...,n，其极大无关组为i1,i2,...,is，即r(A)s

j1,j2,...,jt设B的列向量组为1,2,...,m，其极大无关组为

，即r(B)t

AAOO,i2,...,is,,...,,,...,i1i1i2isi1i2is将扩充为的列向量，则也是的极大无关组；OOBBj1,j2,...,jtj1,j2,...,jtj1,j2,...,jt将扩充为的列向量，则也是的极大无关组；易

知i1,i2,...,isj1,j2,...,jt线性无关。 ——得4分

AOAOrrOBOB,,...,列向量组的极大无关组为12r，即设

AOOB1,i2,...,isijj1,j2,...,jtik则任意必可由向量组线性表示，而任意的、都是的列向量，均可由1,2,...,r线性表示；故向量组i1,i2,...,is等价。——得8分

j1,j2,...,jt与向量组1,2,...,rAOrr(A)r(B)所以r=s+t，即OB。 ——得10分

3．设A为n阶满秩方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,求证(A*)*=|A| n－2A.

******AAAA|A|E,(A)(A)|A|E ——得4分 3．证：

*******A(A)(A)A|A|E|A|E(A)|A|A 两边左乘A得，即

——得8分

*n1|A||A||A|0又因为A为n阶满秩方阵(n≥2)，即，。

所以(A*)*=|A| n－2A. ——得10分

4．设n阶矩阵A的伴随矩阵为A* 证明

(1)若|A|0 则|A*|0 (2)|A*||A|n1

4．证：(1)用反证法证明 假设|A*|0 则有A*(A*)1E 由此得

AA A*(A*)1|A|E(A*)1O 

所以A*O 这与|A*|0矛盾，故当|A|0时 有|A*|0 ——得5分

1A*|A| 则AA*|A|E 取行列式得到

(2)由于

A1 |A||A*||A|n

若|A|0 则|A*||A|n1

若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立

因此|A*||A|n1 ——得10分

5．设A为mn矩阵，B为n阶矩阵，且r(A)=n，试证：

（1）若AB=O，则B=O；（2）若AB=A则B=E。

j5．证：（1）设B的列向量组为：1,2,...,n，显然任意的解向量。因为r(Amn)=n，所以AX=0只有零解，即所有分

都是齐次线性方程组AX=0。故B=O。 ——得5

j0（2）若AB=A则AB-A=O，A(B-E)=O

由（1）的结论可知(B-E)=O，即B=E。 ——得10分

6．设A、B为mn矩阵，则r(A+B)r(A)+r(B)。

6．证：设A的列向量组为1,2,...,n，其极大无关组为i1,i2,...,is，即r(A)s

j1,j2,...,jt设B的列向量组为1,2,...,n，其极大无关组为

，即r(B)t

——得2分

设A+B列向量组为11,22,...,nn，其任意一个向量 kk可由向量组

i1,i2,...,isj1,j2,...,jt线性表示，即向量组11,22,...,nn可由向量组i1,i2,...,isj1,j2,...,jt线性表示。 ——得8分

所以r(11,22,...,nn)r(i1,i2,...,isj1,j2,...,jt)s+t

即r(A+B)r(A)+r(B)。 ——得10分

n阶矩阵(n2),且r(A)n1,试证r(A)1 7．如果A是

7．证：

r(A)n1;|A|0且AO(至少有一个Aij0) ——得2分

AA|A|EO,A的列向量j(j1,2,...n)都是AXO的解向量

r(A)n1;r(A*)r(1,2,...,n)nr(A)1 ——得8分

r(A*)1,AO;r(A*)1 ——得10分