一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．（4分）若集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x＜2}，则A∩B=．
2
2．（4分）函数f（x）=x，（x＜﹣2）的反函数是． 3．（4分）过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线的方程． 4．（4分）已知数列{an}为等比数列，前n项和为Sn，且a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q=． 5．（4分）如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为．
2
6．（4分）函数y=cosx的单调增区间为．
7．（4分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为﹣10，则k=．
8．（4分）设F1、F2是双曲线x﹣
2
=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，
则△PF1F2的周长． 9．（4分）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=1，球心到该平面的距离是球半径的
倍，则球的体积是．
10．（4分）掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和为5”的概率为．
11．（4分）数列{an}中，
12．（4分）若，，均为平面单位向量，且+﹣=（
，），则=．
且a1=2，则数列{an}前2015项的积等于．
13．（4分）在极坐标系中，动点M从M0（1，0）出发，沿极轴ox方向作匀速直线运动，速度为3米/秒，同时极轴ox绕极点o按逆时针方向作等角速度旋转，角速度为2米/秒．则动点M的极坐标方程．
14．（4分）记符号min{c1，c2，…，cn}表示集合{c1，c2，…，cn}中最小的数．已知无穷项的
**
正整数数列{an}满足ai≤ai+1（i∈N），令bk=min{n|an≥k}，（k∈N），若a20=14，则a1+a2+…+a20+b1+b2+…+b14=．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分. 15．（5分）二元一次方程组 A． 系数行列式D≠0 B． 比例式
存在唯一解的必要非充分条件是（）
C． 向量不平行
D． 直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行 16．（5分）用符号（x]表示不小于x的最小整数，如（π]=4，（﹣1.2]=﹣1．则方程（x]﹣x=在（1，4）上实数解的个数为（） A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
17．（5分）已知P为椭圆+y=1的左顶点，如果存在过点M（x0，0）（x0＞0）的直线交椭圆
2
于A、B两点，使得S△AOB=2S△AOP，则x0的取值范围是（）
A． （1，] B．
上海市浦东新区2015届高考数学三模试卷（理科） 参考答案与试题解析
一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．（4分）若集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x＜2}，则A∩B={x|1≤x＜2}．
考点： 交集及其运算． 专题： 集合．
分析： 由集合A与B，求出两集合的交集即可．
解答： 解：∵集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x＜2}， ∴A∩B={x|1≤x＜2}． 故答案为：{x|1≤x＜2}
点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（4分）函数f（x）=x，（x＜﹣2）的反函数是
考点： 反函数．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 直接利用反函数的定义求解即可．
2
解答： 解：函数f（x）=x，（x＜﹣2），则y＞4．
2
．
可得x=，
所以函数的反函数为：． 故答案为：．
点评： 本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力． 3．（4分）过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线的方程x﹣2y﹣1=0．
考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系． 专题： 直线与圆．
分析： 方法一，利用两条直线互相垂直，斜率之积等于﹣1，求出垂线的斜率，再求垂线的方程； 方法二，根据两条直线互相垂直的关系，设出垂线的方程，利用垂线过某点，求出垂线的方程． 解答： 解：方法一，直线2x+y=0的斜率是﹣2， 则与这条直线垂直的直线方程的斜率是， ∴过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线方程为 y﹣0=（x﹣1），
即x﹣2y﹣1=0；
方法二，设与直线2x+y=0垂直的直线方程为x﹣2y+a=0， 且该垂线过过点（1，0），
∴1×1﹣2×0+a=0，解得a=﹣1，
∴这条垂线的直线方程为x﹣2y﹣1=0． 故答案为：x﹣2y﹣1=0．
点评： 本题考查了直线方程的求法与应用问题，也考查了直线垂直的应用问题，是基础题目． 4．（4分）已知数列{an}为等比数列，前n项和为Sn，且a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q=3．
考点： 等比数列的前n项和；等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 已知两式相减结合等比数列的求和公式可得． 解答： 解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3， ∴两式相减可得a6﹣a5=2（S5﹣S4）， ∴a6﹣a5=2a5，∴a6=3a5， ∴公比q=
=3
故答案为：3．
点评： 本题考查等比数列的求和公式和通项公式，属基础题． 5．（4分）如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为1．
考点： 复数的代数表示法及其几何意义；复数求模． 专题： 数系的扩充和复数．
分析： 直接利用复数的几何意义，直接求解即可．
解答： 解：复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），复数z的几何意义是到虚轴上的点到（0，1），（0，﹣1）的距离之和，|z|的最大值为：1， 故答案为：1．
点评： 本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查计算能力．
6．（4分）函数y=cosx的单调增区间为
考点： 二倍角的余弦；余弦函数的单调性． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 由二倍角的余弦函数公式可得y=cos2x+，由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z可解得单调增区间．
解答： 解：∵y=cosx=cos2x+，
∴由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z可解得单调增区间为：故答案为：
（k∈Z）
（k∈Z），
22
（k∈Z）．
点评： 本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了余弦函数的单调性，属于基
本知识的考查．
7．（4分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为﹣10，则k=﹣14．
考点： 三阶矩阵． 专题： 计算题．
分析： 根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上
i+j
符号（﹣1） 为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可． 解答： 解：由题意得M21=（﹣1）
3
=2×2+1×k=﹣10
解得：k=﹣14． 故答案为：﹣14．
点评： 此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．
8．（4分）设F1、F2是双曲线x﹣
2
=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，
则△PF1F2的周长24．
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，运用双曲线的定义，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的周长． 解答： 解：双曲线x﹣
2
=1的a=1，c==5，
两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0）， 即|F1F2|=10，
由3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=x， 由双曲线的定义知，x﹣x=2，解得x=6．
∴|PF1|=8，|PF2|=6， |F1F2|=10，
则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=8+6+10=24． 故答案为：24．
点评： 本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，属于基础题． 9．（4分）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=1，球心到该平面的距离是球半径的
倍，则球的体积是
．
考点： 球的体积和表面积．
专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 设出球的半径，球心到该平面的距离是球半径的满足勾股定理，求出R即可求球的体积．
倍，结合ABCD的对角线的一半，
解答： 解：设球的半径为R，由题意可得∴R=
，
=
．
．
∴球的体积是：故答案为：
点评： 本题考查球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．
10．（4分）掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和为5”的概率为．
考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题： 概率与统计．
分析： 本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数N，再由公式求出概率得到答案．
解答： 解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36
事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种 故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是故答案为：．
点评： 本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点
11．（4分）数列{an}中，
且a1=2，则数列{an}前2015项的积等于3．
，
考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
分析： 通过计算出数列前几项的值，判断该数列为周期数列，进而可得结论． 解答： 解：∵
且a1=2，
∴a2===﹣3，
a3===﹣，
a4===，
a5===2，
不难发现数列{an}是周期数列， 四个为一周期且最前四个乘积为∵2015=503×4+3，
∴数列{an}前2015项的积为：
=3， =1，
故答案为：3．
点评： 本题考查求数列的前n项的乘积，找出其周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
12．（4分）若，，均为平面单位向量，且+﹣=（
考点： 平面向量坐标表示的应用． 专题： 平面向量及应用．
分析： 根据，，均为平面单位向量，且+﹣=（），=（﹣
，﹣），问题得以解决．
，），
，），则可推得==（
，
，），则=（﹣
，﹣）．
解答： 解：，，均为平面单位向量，且+﹣=（∵（∴（∵
）+（）=1， ，）是一个单位向量， =
+
﹣（﹣
），=+﹣（），
，﹣），
2
2
∴==（，），=（﹣
，﹣）．
故答案为：（﹣
点评： 本题考查了向量的坐标运算和单位向量，属于基础题．
13．（4分）在极坐标系中，动点M从M0（1，0）出发，沿极轴ox方向作匀速直线运动，速度为3米/秒，同时极轴ox绕极点o按逆时针方向作等角速度旋转，角速度为2米/秒．则动点M的极坐标方程ρ=1+θ．
考点： 专题： 分析： 解答： ∴故答案为：
极坐标刻画点的位置． 坐标系和参数方程．
由题意可得：ρ=1+3t，θ=2t，消去t即可得出． 解：由题意可得：ρ=1+3t，θ=2t，
，
．
点评： 本题考查了极坐标方程、速度与时间的关系，考查了计算能力，属于基础题． 14．（4分）记符号min{c1，c2，…，cn}表示集合{c1，c2，…，cn}中最小的数．已知无穷项的
**
正整数数列{an}满足ai≤ai+1（i∈N），令bk=min{n|an≥k}，（k∈N），若a20=14，则a1+a2+…+a20+b1+b2+…+b14=294．
考点： 数列的求和．
专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
分析： 利用特殊值法，即令数列{an}前20项每项的值均为14计算即可． 解答： 解：不妨令a1=a2=…=a20=14， 则b1=b2=…=b14=1，
∴所求值为14×20+14×1=294， 故答案为：294．
点评： 本题考查求数列的和，注意解题方法的积累，属于中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分. 15．（5分）二元一次方程组 A． 系数行列式D≠0 B． 比例式
存在唯一解的必要非充分条件是（）
C． 向量不平行
D． 直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑．
分析： 利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A，B，C为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．
解答： 解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组
存在唯一解
当两直线异面，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组无解，
故直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非
充分条件． 故选：D．
点评： 本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题． 16．（5分）用符号（x]表示不小于x的最小整数，如（π]=4，（﹣1.2]=﹣1．则方程（x]﹣x=在（1，4）上实数解的个数为（）
A． 0 B． 1 C． 2
考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据定义分别讨论x的取值范围，解方程即可．
D． 3
解答： 解：若1＜x≤2，则（x]=2，由（x]﹣x=得2﹣x=，即x=， 若2＜x≤3，则（x]=3，由（x]﹣x=得3﹣x=，即x=， 若3＜x＜4，则（x]=4，由（x]﹣x=得4﹣x=，即x=， 故方程（x]﹣x=在（1，4）上实数解的个数为3个，
故选：D．
点评： 本题主要考查方程根的个数的判断，根据定义利用分类讨论是解决本题的关键．
17．（5分）已知P为椭圆
+y=1的左顶点，如果存在过点M（x0，0）（x0＞0）的直线交椭圆
2
于A、B两点，使得S△AOB=2S△AOP，则x0的取值范围是（） A． （1，] B．
③在与截面PAB的平面垂直且过点M的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为
（a，b＞0），取M（1，0），即a=1，把点
代入解得b，可得=2，设
双曲线两渐近线的夹角为2θ，可得tan2θ，可得sin2θ，即可判断出正误；
④建立直角坐标系，不妨设抛物线的标准方程为y=2px，把点代入解出即可．
2
解答： 解：①∵点M是母线的中点，∴截面圆的半径r=2，因此面积=π×2=4π，正确； ②椭圆的长轴长=
=
，因此正确；
2
③在与截面PAB的平面垂直且过点M的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为
（a，b＞0），取M（1，0），即a=1，把点
代入可得：
=1，解
得b=2，∴=2，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，∴tan2θ==﹣，∴sin2θ=，因
此双曲线两渐近线的夹角为arcsin，因此不正确； ④建立直角坐标系，不妨设抛物线的标准方程为y=2px，把点
，解得p=
，∴抛物线中焦点到准线的距离p为
2
代入可得：，不正确．
故选：B．
点评： 本题考查了圆锥曲线的原始定义、标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，CE为圆O的直径，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面． （1）求证：CD⊥平面AED； （2）设异面直线CB与DE所成的角为
且AE=1，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转
一周形成一几何体，求该几何体的体积．
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： （1）通过证明CD⊥ED，CD⊥AE，然后证明CD⊥平面AED．
（2）所求问题实际是将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．求解即可．
解答： 解：（1）证明：因为CE为圆O的直径，所以
，即CD⊥ED…2分
又因为AE垂直于圆面，CD⊥AE所在平面，所以CD⊥AE…4分 又CD⊥ED，所以CD⊥平面AED…5分
（2）由题意知，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．
因为异面直线CB与DE所成角为
，且CB∥DA，所以
，DA=2…9分
…10分
…12分．
，…7分
又因为AE=1，所以，在Rt△AED中，在Rt△CDE中，CD=DA=2，，所以所以该几何体的体积
点评： 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判断，考查逻辑推理能力以及计算能力． 20．（14分）如图在半径为5cm的圆形的材料中，要截出一个“十字形”ABCDEFGHIJKL，其为一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形．（O为圆心） （1）若要使截出的“十字形”的边长相等（DE=CD）（图1），此时边长为多少？ （2）若要使截出的“十字形”的面积为最大（图2），此时∠DOE为多少？（用反三角函数表示）
考点： 根据实际问题选择函数类型． 专题： 综合题；三角函数的求值． 分析： （1）当“十字形”的边长相等时，过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．设该“十字形”的边长为2x，则DM=x，OM=3x．在Rt△OMD中，由勾股定理得边长； （2）过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N，求出面积，即可得出结论． 解答： 解：（1）当“十字形”的边长相等时，过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．设该“十字形”的边长为2x，则DM=x，OM=3x． 在Rt△OMD中，由勾股定理得，
…5分
所以，边长…6分 （2）过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．设∠DOM=θ，则OM=5cosθ，DM=5sinθ． ∴ON=CN=5sinθ，NM=5cosθ﹣5sinθ．…8分
∴“十字形”的面积为S=（2OM）﹣4（NM）=100cosθ﹣100（cosθ﹣sinθ）
2
222
=（ 其中或） …10
分 ∴当此时，
时，
或
…12分
…14分．
点评： 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．（14分）设函数f（x）对任意x∈R，都有f（2x）=a•f（x），其中a为常数．当x∈…6分
（2）由于；
242k
且（0，1]⊇（0，a]⊇（0，a]⊇…⊇（0，a]⊇…10分 当n为奇数时，f（x）在…14分．
点评： 本题考查了函数的解析式的求法和函数的值域的求法，由于 所以n=k+1时命题也成立， 所以即存在常数
，使a2n＜p＜a2n+1对任意正整数n都成立．…16分．
点评： 本题考查数列的判断，数列与不等式的综合应用，数学归纳法的应用，数列与函数综合，考查分析问题解决问题的能力． 23．（18分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，以矩形ABCD的中心为原点，过矩形ABCD的中心平行于BC的直线为x轴，建立直角坐标系，
（1）求到直线AD、BC的距离之积为1的动点P的轨迹；
（2）若动点P分别到线段AB、CD中点M、N的距离之积为4，求动点P的轨迹方程，并指出曲线的性质（对称性、顶点、范围）；
（3）已知平面上的曲线C及点P，在C上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到曲线C的距离．若动点P到线段AB的距离与射线CD的距离之积为4，求动点P的轨迹方程，并作出动点P的大致轨迹．
考点： 轨迹方程．
专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1）利用到直线AD、BC的距离之积为1，建立方程，即可求出动点P的轨迹； （2）
•
=4，化简可得结论；
（3）同时从几何和代数角度进行分析，即可得出结论．
解答： 解：（1）设P（x，y），则|y﹣1||y+1|=1…2分 化简得y=±或y=0．
故动点P的轨迹为三条平行线；…4分 （2）化简得
•
=4，
对称性：关于原点、x、y轴对称；…6分 顶点：（2，0），（﹣2，0），（0，0）；…8分 范围：|x|≤2，|y|≤1…10分 （3）同时从几何和代数角度进行分析 当y＜﹣1时，y=﹣1﹣当﹣1≤y≤1时，x=±2当y＞1时，y=1+
或x=0，…14分
，…16分 ，…12分
作轨迹大致如图．分三个区域给分： ①在直线y=﹣1的下方：两段曲线；
②在两直线y=﹣1，y=1之间：三条平行线； ③在直线y=1的上方：三条曲线．…18分．
点评： 本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，确定轨迹方程是关键．
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