一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分）
1、 不等式l0gl%>丄的解集为 ____________ .
2 2
2、 若tana =-2, °是直线y = kx + b的倾斜角，贝％二 __________ .（用a的反正切表示） 3 4
3、 已知@山0 — ？）+20$& —工”是纯虚数，贝ijtan^= ___________ .
4、 设nwN*, （2兀+ 1）\"展开式各项系数Z和为色，（3x+l）“展开式各项二项式系数Z和为
仇，则恤如生二 ______________ •
\"f”+i +’+i
ax 1 5、 设G〉0,GH1,行列式D= 2 0
2 4-3
3
1中第3行第2列的代数余子式记作y,函数），=/⑴
的反函数经过点（2,1）, K'Ja = _____ .
6、（文）如图，正三棱柱的主视图面积为％$,则它的侧视图的面积为 ________ .
（理）一个圆锥和一个半球有公共底血，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则 这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为 ______________________ •
7、（文）已知点A（Vi,-l）,B（cos0,sin0），其中 处［0,刃，贝U网的最大值为 _____
（理）函数 y = COS 2X COS
J
的最人值是
2x-y> 5,
8、（文）某所学校计划招聘男教师兀名,女教师y名，兀和y须满足约束条件JY-y<2,贝II该
x < 6・
校招聘的教师最多是 _________ 名.
（理）曲线p（2 - cos2^） = 1的焦点的极坐标为 ________________________
2I < 6丿
4
9、（文）某班50名学生在一次数学测试屮，成绩全部 介于50与100 Z间，将测试结果按如下
方式分成五组:
第一组［50,60）,第二组［60,70）
……，第五组
［90,100］.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方 图从测试成绩在［50,60） u ［90,100］内的所有学牛冲随 机抽取两名同学，设其测试成绩分别为加、〃，则事件 i（\\m-n |>10\"的概率为 ______________________ .
§ P (理)已知某随机变量歹的概率分布列如表，其中 兀＞0,y〉
1 X 2 3 y X 0,随机变量歹的方差D冷'贝iJ
开始 x+ y = ________ .
io 、已知 匕}是等差数列，设 Tn = a} + a2 +••• + cin 门
W5
几 --- n2+9n
N
(n eN*) •某学生设计了 •个求人 的算法框图(如图)，图屮
空白处理框中是用〃的表达 式对7；赋值，则空白处理框中应填入：
/输出Tn/
(第10题图)
7： ____________•
11、设召、兀是方程/-处+ 2二0的两个虚根，若不
等式|加_3|十_打对任意实数代[-1,1]恒成立，则实
数m的取值范围为 __________ .
12、定义:如果函数y = /(x)在区间[a问上存在xQ(a ＜x.＜ h),满足/(兀°) =/(方)-如, b-a
则称兀。是函数y = /⑴在区间[a.b] ±的一个均值点•已知函数/(x) = -x2 ^mx + l 在区间[-1,1]上存在均值点，则实数m的取值范围是 __________ .
13、 若函数f(x)满足/(x) + l=——,当兀引0,1]时，
/(兀 + 1)
f(x) = x,若在区间(-1,1]上，g(x) = f(x)-mx-tn有两个零点, 则实数加的取
值范围是 ________________________ •
14、 已知点F的坐标为(1,0),点A、B分别在图屮抛物
线于=4兀及圆(X_ 1)2 + b = 4的实线部分上运动，且AB总是 平行于x轴，那么AFAB的周长的取值范围为 ___________ . 二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)
第14题、.
15＞已知空间三条直线。、b＞加及平面a,且a、b乍a •条件甲：加丄cz,加丄b；条件
乙：加丄a,则“条件乙成立”是“条件甲成立”的
(
)
A.
C.充要条件.
充分非必要条件. B.必要卄•充分条件.
D.既非充分也非必要条件.
16、车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十 字路口
的车流量由函数F (t) =50+4sin-(其中twR, 0WtW20)给出，F (t)的单位是
2
辆/分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的(
A. [0, 5] B. [5, 10] C. [10, 15]
)
D. [15, 20]
17、设S”是公差为d（dHO）的无穷等差数列｛%｝的前n项和，则下列命题镇谡的是（
A. 若d<0,则数列｛S”｝有最大项； B. 若数列｛S“｝有最人项，则d<0；
C. 若数列｛S”｝是递增数列，则对任意neN\\均有S” >0； D. 若对任意neN；均有>0,则数列｛S”｝是递增数列.
18、 设X是包含10个元素的集合，A、B是X是中的两个互不相交的子集，分别含有3、4 个元素，则X中既不包含A也不包含B的了集个数是（ ） A. 184 B. 8 C. 840 D. 1864 三、解答题（本大题共74分，解答下列各题需要必要的步骤）
19、 （本题共2小题,其中第1小题6分，第8小题6分，满分12分）
在厶 ABC 中,已知 sin（A + B） = sin B + sin（A 一 B）.
）
（1） 求角 A； （2）若 | 荒 |=7, AB-AC = 20，求 | +
20、（本题共2小题，其中文科第1小题6分，第2小题8分，满
（文）如图，己知圆锥SO的轴截面为SCB ,侧面积为15兀, 底面半径OA和08互相垂直，J10A = 3, P是母线BS的中 （1） 求圆锥的体积；
（2） 求直线AP与底面所成角的人小（结果用反三角函数表示
A
（理）如图，•在四棱锥P-ABCD屮，P4丄平ifi] ABCD , 底面ABCD是直用梯形，ZABC = 90°, AD // BC ,且 PA = AD = 2, AB = BC = 1, E 为 PD 的中点.
P 第20题图
（2）求二面角E-AC-D的余弦值.
（1）在线段AB ±求一点F （不与两点重合），使得 AE 〃平面
PCF ,并求出AF的长；
21、（本题共2小题,其中第1小题6分，第2小题8分，满分24分）
如图，长方体£在雨小沿面P （面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v>0）, 雨速沿E移动方向的分速度为c（cwR）. E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1） P或P的平行而（只有一个而淋雨）的淋雨量，假设其值与|v-c|x5成正比，比例系数为 —；（2）其它
（1）写出y的表达式
面的淋雨量Z和，其值为丄，记y为E移动过程
（2） i^0 22、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分） 已知椭圆%+^ = 1的左，右两个顶点分别为A、B ,曲线C是以A、B两点为顶点, 4 焦距为2亦的双|11|线.设点P在第一象限且在Illi线C上，直线人戶与椭圆相交于另一点八 （1） 求曲线C的方程; （2） 设P、T两点的横他标分别为旺、x2,求证西*2为一定值； 2 （3） 设A7713与APOB （其中0为处标原点）的血积分别为S】与S?, iLPAPB<15, 求S,2 - 522的取值范围. 23、在正数数列｛%｝中，S “为色的而n项和，若点（~,S”）在函数），=兰二的图象上, C-1 其中C为正常数，且CT^lo （1） 求数列｛鑫｝的通项公式； （2） （文）当C =-的时候，在数列｛%｝的两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新 数 （理）设数列｛乞｝满足亿 刃 2\"色+2 当c = 2的时候，是否存在正整数m、n（l 列｛化｝： %和％+】两项之间插入n个数，使这n + 2个数构成等差数列，求优o】4的 值； 使得成等比数列?若存在,求出所有的m、n的值,若不存在,请说明理由; n, n = 2k —1 （3）设数列©｝满足q =｛ 当c =— 时候，在数列©｝中，是 2an, n = 2k 整数厂的值；若不存在，说明理由。 3 否存在连续的三项5疋冲,C「+2,按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所冇满足条件 的正 答案： 1、 。奸 2、7i-arctan 2 3、 5、4 V5 6、（文）4屈2 （理） 5 V3 7、（文）3 （理） 2 〔1 > 3 —E \\ 3丿 7 3 9、（文）2 （理）一 5 4 12、（0,2） 二、选择题： 10、n -9T? + 40 13、OVmW 丄 2 18、C 11、(-oo,3-2血2(3+ 2血,+oo) 14、 (4,6) 15、A 16、: C 17、C 一、填空题 三、解答题： 19、解：(1)原式可化为 sin B = sin(A + B) - sin(A - B) = 2cos AsinB . 1 因为 B G (097i),所以 sinB > 0,所以 cos A =—・因为 A G (0,7i),所以 A =—. 2 8、(2)由余弦定理，得I荒|2二|殛f+l況|2一2|殛||疋|.cos4. （文）20（理 因为 |荒|二7, AB^AC=\\AB\\\\AC\\^osA = 20, 所以|而f+|疋f=89・ 因为|砸+ 疋|2二|殛|2+|疋f+2砸•疋 = 129, 所以|而+紀| =屁^ JI 3 20、解：(文)(1)由题意，7r-OA-SB = l57r得BS = 5, 故 SO = JSB2-OB2 =^52 -32 =4 1 . 1 . 从而体积V =-TT-OA2 -SO=-7TX32 X4 = 12TT. 3 3 (2)取0B中点D,由SO丄底面,且SO〃PD,得PD丄底面,所以ZPAD即 为PA与底而所成的角 机PZM 中，PD = 2,DA = ^ZPAD = arC^ （理）（1）如图，以A为坐标原点，AB,ADf AP所在直线分别为轴建立空间直 角处标系A —可只・ '（不与4, B两点重合），使得AE //平ifiiPCF. 设在线段AB上存在点F 设 F(a,0,0),则 CF = (a-l,-l,0), CP = (-1,-1,2). 设平面PCF的法向量为忘=（兀，y , z）, 由 n2 • CF = 0, n2 (a - l)x _ y = 0, -x-y+ 2z = 0, 所以応=(1, d -1,纟)是平面PCF的一个法向量. ———* (1 因为AE //平面PCF ,所以\\En. =0,即(°一1) +上=0,解得a=-f ~ 2 所以在线段AB上存在一点F (不与A , B两点重合)， 2 使得AE //平面PCF,且AF=~. 3 (2)解：因为 A(0,0,0), C(l,l,0), E(0,1,1), P(0,0,2), 所以 AP = (0,0,2), AC = (1,1,0), A£ = (0,1,1). 因为PA丄平而ABCD ,所以A” = (0,0,2)为 平面ACD 的一个法向量i……6分 设平面EAC的法向量为斤二 2 3 (x, y , z), 由 /?, • AC = 0 , n} - AE = 0 得 无 + y = 0, y + z = 0, 令 x = 1,贝 ij y = -1, z = l， 所以兀=(1, -1,1)是平面 E4C的一个法向量. 所以 cos < /ij , AP >= x 1X0 + (-1)X0 + 1X2 _ Jl2+ (-1)2 +12 -2 3 因为二面角ETC-D为锐角，所以二面角—D的余弦值为丰 1 21、解：(1)由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为丄 20 v-c + — 2 100( 3 --- --- v-c+ — V 1.20 (2)由(1)知，当 0 vvSc 时，y = ^53( 1 10v-c +10). ^-15 当 c v — --------- +15,c< v<10 v 1 /X Q ⑴当0 VCW —时，y是关于U的减函数.故当v = 10时，儿^=20—上・ 3 ⑵ 当— 22、（1）依题意可得A（—1,O）, B（1,O） •・•双曲线的焦距为2逅,= ,\\h =c-a =5-1 = 4 222・••双曲线C的方程为/一 -4 （2）证明：设点P（X］,y】）、T（兀2」）（忑>0,心1,2），直线AP的斜率为R （0W2）, 则直线4P的方程为y = R（JC + 1）,联立方程组 y = k（x + l） * ? y2 1 4 整理，得4 + R2）/+2R2兀+ /一4 = 0…6’ 解得x = -i或4-k2 （X ---- 7 忑= 4 + k2 4 +疋 2 =k（x + l） 同理方程纟ft < 4 +疋 2兀彳丄=1 b 可得: 4 xy-x2=l 为一定值 （3）设点P（X|,）［）、T（x2?y2）（兀〉0, i = l,2）, 则 PA = （一1一兀］,一开）,PB = （l-x1,-y1） • vPA PB<15, .\\（-l-xI）（l-x1） + y12<15,即+ <16 ・・•点P在双曲线上,则西2_普=1,所以西2+4西2—496,即X,2<4 又・・・点P是双111］线在第一象限内的一点，所以1 v兀| 5 2 -S}=^\\AB［\\y2\\ = \\y2\ S?胡。卧|%卜瓠| S' — S22 = =（4一4兀2?） — （兀］2 -1） = 5-Xj2 — 4X22 由（2）矢口，兀］•兀2=1，即 x2 =—,设/ = x,2,贝01 < / < 4 , 4 4 .••S'—S?? =5 — （—：, ・・•/ + ：在［1,2］上单调递减，在［2,4］±单调递增…15, .当r = 4,即坷=2时，（sj—SzJmjn =/（4）= 0 当t = 2f 即X, =V2 时，（sj—S/^n迪=/（2）= 1 s '~s^2 的収值范围为［°川 2 _ 2 _ 23、解：⑴比=仝二^,c-1 让2时, c-l an. - an z 1X an 1 an = ------- ,（c — l）色=an_｛ -atl,can =%,——=- c — 1 % ° 所以数列｛碍｝为等比数列 个 ——r 将(\"SJ代入y = -------------- 得， c-1 •. 故心=(丄严 c (2)(文)数列他｝中~这项是数列他｝的第斤+ (1 + 2 + 3 +……+ n -l)=Z?(/? + 1)项 .n｛n +1) 〃小 62(62 + 1) 由 ----- =2014,得 n = 62 时， ------------- =1953, 1953+62=2015>2014, 2 2 所以优,4是以仇2为首项，以％为末项共64项的等差数列的笫62项 所以 ^2014 (>2 +61 = aX 63 ='||，262 o3 o3 也竺=」—，若勺，饥，仇成等比数列，贝=- 2n + l 2/1 + 1 art nT n . 3 一 2* + 4m +1 即一z ------------- = ----------- , 口 J 得一 +4m + l 6H + 3 n 777 2 (理)b 2/77 + 1 3 2H + 1 所以—2加2 +4m + l>0/解得：1-— 又m e N*且加〉1,所以m = 2，此吋n =\\2 所以当m = 2f n = 12,使得b[9bm9bn成等比数列 (3) 若 c严 j ,则由 J + c「+2 = 2cr+｝，得 2 旷 + 2 • 3* = 2(2k +1),化简得 4・3«T=2R+1, 此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立。 若 c”= C2I,则由》+ c“2 = 2cr+[,得 Qk -1) + (2R +1) = 2 ・ 2 ・ 化简得k=3~' 人丁 k 卄丁 々珀二 yrwN , TM -Tk = — 丁 R + l kk \\-2k —^7 = 3* V 0 因此，1 =人>卩2〉珀> ……，故只有斤=1，此时r = 2xl-l = l 综上，在数列｛q｝中，仅存在连续的三项cpc2,c3/按原來的顺序成等差数列，此时」E整数 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容