一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑． 1．（4 分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是( )
A．
B．
C．
D．
2．（4 分）下列计算错误的是( ) A． (ab) (ab) ab32 43
B． (mn3 )2 m2n6 1 4
D. xy2 xy2 xy2
5 5
C. a a a
842
3．（4 分）下列分解因式正确的是( ) A． x 4x x(x 4) C． x2 4x 4 (x 2)(x 2)
2
B． x2 xy x x(x y) D． x(x y) y( y x) (x y)2
4．（4 分）如图，在ABC 中， AC BC ，点 D 和点 E 分别在 AB 和 AC 上，且 AD AE ．连接 DE ， 过点 A 作 DE 的平行线 MN ，若C 40 ，则BAN 的度数为( )
A． 40 B． 45 C． 55 D． 70
5．（4 分）已知点 A(3, 2) 是点 B(a,b) 关于 y 轴的对称点，则a b 为( ) A． 1
B．1
C． 5
D．5
6．（4 分）下列命题正确的是( )
A．三角形的三条边上的高交于三角形内部一点，到三个顶点的距离相等B．三角形的三条中线交于三角形内部一点，到三个顶点距离相等 C．三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等D．三角形的三边中垂线交于三角形内部一点，到三边的距离相等
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1
7．（4 分）如图，已知在ABC 和DEF 中， B E ， BF CE ，点 B 、F 、C 、E 在同一条直线上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC DEF 的是( )
A. AC DF B. A D C. AC / /DF D． AB DE
8．（4 分）已知 y2 my 25 是一个完全平方式，则m 的值为( ) A． 10
B． 5
C． 10
D． 5
9．（4 分）如图，在等腰三角形ABC 中， AC BC ， AC 边上的垂直平分线分别交 AC ， BC 于点 D 和点 E ，若BAE 45 ， DE 2 ，则 AE 的长度为( )
A．2 B．3 C．3.5 D．4
（4 分）如图，在ABC 中，AC BC ，过点 B 作射线 BF ，在射线 DF 上取一点 E ，使得CBF CAE ，过点C 作射线 BF 的垂线，垂足为点 D ，连接 AE ，若 DE 2 ， AE 4 ，则 BD 的长度为( )
A．7 B．6 C．4 D．2
11．（4 分）如图，图①中有一个等边三角形，将图①翻折第 1 次得到图②，图②中共有 5 个等边三角 形，又将图②翻折第 2 次得到图③，图③中共有 9 个等边三角形，又将图③翻折第 3 次得到图④，图 13 个等边三角形，依此规律折下去 ，当翻折到第 15 次时得到的图形中等边三角形的个数④中共有 共有( ) 个．
A．57 B．61 C．65 D．69
2
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12．（4 分）如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，连结 AD ，把ABD 沿 AD 翻折，得到△ ABD ， 连接CB ，若 BD CB 2 ， AD 3 ，则△ ABC 的面积为( )
3 3 A. 2
B. 2 3
C．
3
D．2
二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4 分）若一个多边形的内角和是外角和的 5 倍，则这个多边形是 14．（4 分）分解因式： 3ax2 3a ．
15．（4 分）若a 1 b ， ab 3 ，则代数式a3b 2a2b2 ab3 的值为 ． 边形．
16．（4 分）我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造法则：两上的数都是 1， 其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a b)n (n 为正整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应(a b)2 a2 2ab b2 1，3，3，1 恰好对应着(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 展开式中的系展开式中的系数：第四行的四个数
数等等，利用上的规律计算： 95 5 94 10 93 10 92 5 9 1 ．
17．（4 分）如图，在锐角ABC 中，ACB 30 ，点 P 为边 AB 上的一定点，连接CP ，CP 4 ，M ， N 分别为边 AC 和 BC 上的两动点，连接 PN ， MN ，则PMN 周长的最小值为 PM ， PMN 周长的最小值时， MPN 的度数为
；当
．
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3
18．（4 分）如图，等边ABC 外一点 P ，连接 AP 、 BP 、CP ， AH 垂直平分 PC 于点 H ， BAP 的平分线交 PC 于点 D ，连接 BD ，有以下结论：① DP DB ；② DA DB DC ；③ DA BP ；④若连接
BH ，当BDH 为等边三角形时，则CP 3DP ，其中正确的有 ．（只需要填写序号）
三、解答题：（本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．（10 分）如图，已知 AE BD ， AC BC ， DF EF ，垂足分别为点C ， F ，且 BC EF ．
（1） 求证： ABC DEF ； （2） 求证： AC / /DF ．
20．（10 分）计算下列各式： 1 ab2 (2a2b)3 ； （1） 2
（2） (x 2y)2 (x 2y)2 (x 2y)(x 2y)
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21．（10 分）先化简，后求值：(m 2n)(2m n) (m 3n)2 (2m n)(2m n) 11n2 ，其中：m n 2 ， m n 1．
22．（10 分）如图，在已知的平面直角坐标系中， ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，若点 A 、
B 、C 的坐标分别是 A(2,1) ， B(3, 3) ， C(1, 4) ．
（1） 画出ABC 关于 x 轴对称的图形△ A1B1C1 并写出此时 B1 的坐标是： ；
x 轴正方向平移 3 个单位，再沿 y 轴负方向平移 2 个单位的图形△ A2 B2C2 并求四边（2） 画出ABC 沿 形 ACC2 A2 的面积．
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23．（10 分）如图： ABC 中， ACB 90 ，点 D 在 AB 上， CE 是斜边 AB 上的高，且 AC AD ．
（1） 若DCE 15 ，求B 的度数； （2） 若B A 20 ，求DCB 的度数．
24．（10 分）如图，在ABC 中， AB AC ，点 D 在边 BC 上，且为 BC 的中点，点 E 为边 BC 延长线上的一点，连接 AE ，且AEB 45 ，过 D 作 DF AC ，垂足为点G ，交 AE 于点 F ，在边 BE 上取一点 H ，连接 FH ．
（1） 若CDF 20 ，求BAE 的度数； （2） 若DFE AFH ，求证： BC 2EH ．
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25．（10 分）阅读下列村料：
由整式的乘法运算知：(ax b)(cx d) acx2 (ad bc)x bd ．由于我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形， 利用这种关系可得 acx2 (ad bc)x bd (ax b)(cx d) ． 通过观察可知可把acx2 (ad bc)x bd 中的 x 看作是未知数， a ， b ， c ， d 看作常数的二次三项式；通过观察acx2 (ad bc)x bd (ax b)(cx d) ，可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数 ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数，此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图 1， 此分解过程可形象地表述为“坚乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二 次三项式2x2 7x 3 的二项式系数 2 与常数项 3 分别进行适当的分解，如图 2．
则2x2 7x 3 (x 3)(2x 1) ． 根据阅读材料解决下列问题：
（1）用十字相乘法因式分解： 4x2 9x 13；
（2）用十字相乘法因式分解： 2(2a2 1)2 3(2a2 1) 9 ；
（3）已知 x2 2x n (x a)(x b)(1 n 200) ，若 a 、b 均为整数，则满足条件的整数n 有几个？并说
明理由．
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四、解答题：（本大题 1 个小题，共 8 分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解作过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8 分）已知等腰三角形 ABC 中，点 D 为 BC 中点，点 E 是 BA 延长线上一动点，点 F 是 AC 延长线上一动点连接 DE 、 DF ，且EDF BAC 180 ．
（1） 如图 1，若BAC 90 ，求证： AE AC AF ；
（2） 如图 2，若BAC 120 ， AE 、 AC 、AF 三条线段还满足（1）中的结论吗？若满足，则直接证
明；若不满足，请写出结论并证明．
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参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑． 1．（4 分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是( )
A．
B．
C.
D．
【解答】解： A 、不是轴对称图形，故此选项错误；
B 、不是轴对称图形，故此选项错误； C 、是轴对称图形，故此选项正确； D 、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选： C ．
2．（4 分）下列计算错误的是( )
B． (mn3 )2 m2n6
2 1 2 4 2
C． D． xy xy xy a8 a4 a2 5 5
【解答】解： A 、(a3b) (ab2 ) a3 a b b2 a4b3 ，原计算正确，故这个选项不符合题意；
B 、(mn) mn，原计算正确，故这个选项不符合题意；
3 2
26
A． (a3b) (ab2 ) a4b3 C 、 a8 a2 a82 a6 ，原计算错误，故这个选项符合题意；
2 1 2 5 2 1 2 4 2
D 、合并同类项， xy xy xy xy xy，原计算正确，故这个选项不符合题意；
5 5 5 5
故选： C ．
3．（4 分）下列分解因式正确的是( ) A． x2 4x x(x 4) C． x2 4x 4 (x 2)(x 2) 2 B． x2 xy x x(x y) D． x(x y) y( y x) (x y)2
【解答】解： A ． x2 4x x(x 4)，故本选项错误； B ． x xy x x(x y 1) ，故本选项错误； C ． x2 4x 4 (x 2)(x 2) ，故本选项错误；
D ． x(x y) y( y x) (x y)，故本选项正确； 2 故选： D ．
4．（4 分）如图，在ABC 中， AC BC ，点 D 和点 E 分别在 AB 和 AC 上，且 AD AE ．连接 DE ， 过点 A 作 DE 的平行线 MN ，若C 40 ，则BAN 的度数为( )
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9
A． 40B． 45C． 55D． 70 【解答】解： AC CB ， C 40 ，
1
BAC B (180 40) 70 ，
2
AD AE ，
1
ADE AED (180 70) 55 ，
2
GH / /DE ，
BAN ADE 55 ． 故选： C ．
y 轴的对称点，则a b 为( ) A(3, 2) 是点 B(a,b) 关于 5．（4 分）已知点
A． 1 B．1 C． 5 D．5 【解答】解： 点 A(3, 2) 是点 B(a,b) 关于 y 轴的对称点， a 3 ， b 2 ，
a b 3 2 1． 故选： A ．
6．（4 分）下列命题正确的是( )
A．三角形的三条边上的高交于三角形内部一点，到三个顶点的距离相等B．三角形的三条中线交于三角形内部一点，到三个顶点距离相等 C．三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等 D．三角形的三边中垂线交于三角形内部一点，到三边的距离相等
【解答】解： A 、三角形的三条边上的高交于三角形内部一点，到三个顶点的距离不一定相等，本选项说法错误；
B 、三角形的三条中线交于三角形内部一点，到三个顶点距离不一定相等，本选项说法错误； C 、三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等，本选项说法正确； D 、三角形的三边中垂线交于三角形内部一点，到三个顶点的距离相等，本选项说法错误； 故选： C ．
7．（4 分）如图，已知在ABC 和DEF 中， B E ， BF CE ，点 B 、F 、C 、E 在同一条直线上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC DEF 的是( )
AC DF AC / /DF A． B． A D C． 【解答】解： A 、 SSA 无法判断三角形全
等． B 、根据 AAS 即可证明三角形全等． C 、根据 ASA 即可证明三角形全等． D 、根据 SAS 即可证明三角形全等． 故选： A ．
8．（4 分）已知 y2 my 25 是一个完全平方式，则m 的值为( )
10 5 10 A． B． C． 【解答】解： y2 my 25 y2 my 52 ，
my 2 y 5 ， 解得： m 10 ． 故选： A ．
D． AB DE
5 D．
10
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9．（4 分）如图，在等腰三角形ABC 中， AC BC ， AC 边上的垂直平分线分别交 AC ， BC 于点 D 和点 E ，若BAE 45 ， DE 2 ，则 AE 的长度为( )
A．2 B．3 C．3.5 D．4 【解答】解：设C x ．
DE 垂直平分线段 AC ， EA EC ，
EAC C x ，
AEB EAC C 2x ， CA CB ，
B CAB 45 x ，
在ABE 中， BAE B AEB 180 ， 45 45 x 2x 180 ， x 30 ， EDC 90 ， DE 2 ， AE EC 2DE 4 ， 故选： D ．
（4 分）如图，在ABC 中，AC BC ，过点 B 作射线 BF ，在射线 DF 上取一点 E ，使得CBF CAE ，
过点C 作射线 BF 的垂线，垂足为点 D ，连接 AE ，若 DE 2 ，AE 4 ，则 BD 的长度为( )
A．7 B．6 C．4 D．2
【解答】解：如图 2 中，作 O 的直径CM ，连接 AM ， BM ，设 AD 交CM 于 J ．
CD BF ， CM AM ， CDB M 90 ， CBD CAM ， CB AC ， CDB CMA( AAS ) ， CM CD ， BD AM ， M CDE 90 ， CE CE ， CD CM ， RtCED RtCEM(HL) ， DE EM 2 ，
BD AM AE EM AE DE 2 4 6 ， 故选： B ．
11．（4 分）如图，图①中有一个等边三角形，将图①翻折第 1 次得到图②，图②中共有 5 个等边三角 形，又将图②翻折第 2 次得到图③，图③中共有 9 个等边三角形，又将图③翻折第 3 次得到图④，图 ④中共有 13 个等边三角形，依此规律折下去 ，当翻折到第 15 次时得到的图形中等边三角形的个数共有( ) 个．
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A．57 B．61 C．65 D．69
【解答】解：将图①翻折第 1 次得到图②，图②中共有411 5 个等边三角形； 将图②翻折第 2 次得到图③，图③中共有4 2 1 9 个等边三角形； 将图③翻折第 3 次得到图④，图④中共有4 3 1 13个等边三角形； 发现规律：
翻折到第 15 次时得到的图形中等边三角形的个数共有(4 15 1 61) 个． 故选： B ．
12．（4 分）如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，连结 AD ，把ABD 沿 AD 翻折，得到△ ABD ， 连接CB ，若 BD CB 2 ， AD 3 ，则△ ABC 的面积为( )
3 3A． B． 2 3 D．2 C． 3
2
【解答】解： D 是 BC 的中点，
BD DC ，
由翻折的性质可知： ADB ADB ， DB DB ， BD CB 2 ，
CD DB CB 2 ， CDB 是等边三角形， CDB DCB 60 ， BDB 120 ， DAB ADB 120 ， ADC CDB 60 ， ADC DCB ， AD / /CB ，
3 2 2 3 ， SACB SCDB 4
故选： C ．
二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4 分）若一个多边形的内角和是外角和的 5 倍，则这个多边形是 十二 边形． 【解答】解：多边形的外角和是360 ，根据题意得：180 (n 2) 360 5 ，
解得n 12 ．
14．（4 分）分解因式： 3ax2 3a 3a(x 1)(x 1) ． 【解答】解：原式 3a(x2 1) 3a(x 1)(x 1) ．
15．（4 分）若a 1 b ， ab 3 ，则代数式a3b 2a2b2 ab3 的值为 3 ． 【解答】解： a3b 2a2b2 ab3 ab(a2 2ab b2 ) ab(a b)2 a 1 b ， ab 3 ， a b 1 ，
原式 ab(a b)2 3 12 3
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16．（4 分）我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造法则：两上的数都是 1， 其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a b)n (n 为正整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应(a b)2 a2 2ab b2
展开式中的系数：第四行的四个数 1，3，3，1 恰好对应着(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 展开式中的系数等等，利用上的规律计算： 95 5 94 10 93 10 92 5 9 1 105 ． ．
【解答】解：根据题意得： (a b)5 a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5 ； 令上式中a 9 ， b 1，得： 95 5 94 10 93 10 92 5 9 1 (9 1)5 105 ． 故答案为：105 ． 17．（4 分）如图，在锐角ABC 中，ACB 30 ，点 P 为边 AB 上的一定点，连接CP ，CP 4 ，M ， N 分别为边 AC 和 BC 上的两动点，连接 PM ，PN ，MN ，则PMN 周长的最小值为 4 ；当PMN 周长的最小值时， MPN 的度数为 ．
【解答】解：作点 P 关于 AC 的对称点 E ，点 P 关于 BC 的对称点 F ，连接 EF 交 AC 于 M ，交 BC 于 N ，连接CE 、CF ．此时PMN 的周长最小．
由对称的性质可知， ACP ACE ， PCB BCF ， CP CE CF 4 ，
ACB 30 ， ECF 60 ，
CEF 是等边三角形， EF CE 4 ，
PMN 的周长的最小值 PM MN PN EM MN NF EF 6 ，
PE AC ， PF BC ， ACB EPF 180 ， EPF 150 ，
ECF EPF 60 150 210 ， CEP CFP 150 ，
PEF PFE 150 120 30 ，MPN 150 30 120 ， 故答案为：4，120 ．
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18．（4 分）如图，等边ABC 外一点 P ，连接 AP 、BP 、CP ， AH 垂直平分 PC 于点 H ，BAP 的平分线交 PC 于点 D ，连接 BD ，有以下结论：① DP DB ；② DA DB DC ；③ DA BP ；④若连接 BH ，当BDH 为等边三角形时，则CP 3DP ，其中正确的有 ①②③ ．（只需要填写序号）
【解答】解：① AH 是 PC 的垂直平分线， PA AC AB ，
AD 平分PAB ， PAD BAD ， 在PAD 和BAD 中， PA BA
PAD BAD ，
AD AD
PAD BAD(SAS) ，
DP DB ；故①符合题意；
②在CP 上截取CQ PD ，连接 AQ ，如图所示：
AP AC ，
APD ACQ ， 在APD 和ACQ 中，
AP AC
APD ACQ ，
PD CQ
APD ACQ(SAS) ， AD AQ ， CAQ PAD ，
BAC CAQ BAQ PAD BAQ BAD BAQ DAQ 60 ， ADQ 为等边三角形， DA DQ ，
DC DQ CQ DA DB ，
即 DA DB DC ．故②符合题意； ③ AB AP ， AD 平分PAB ， AD PB ，故③符合题意； ④ AH 垂直平分 PC ， PH CH ，
BDH 为等边三角形， DB DH ， PD DB ， PD DH ， PH 2PD ，
CP 4PD ，故④不合题意， 故答案为：①②③．
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三、解答题：（本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．（10 分）如图，已知 AE BD ， AC BC ， DF EF ，垂足分别为点C ， F ，且 BC EF ． （1） 求证： ABC DEF ； （2） 求证： AC / /DF ．
【解答】（1）证明： AC BC ， DF EF ， C F 90 ，
AE BD ， AB DE ， BC EF ，
RtABC RtDEF(HL) ．
（2） ABC DEF ， A D ， AC / /DF ．
20．（10 分）计算下列各式：
1 ab2 (2a2b)3 ；（2） （1） (x 2y)2 (x 2y)2 (x 2y)(x 2y) 2
1 1
ab2 (2a2b)3 ab2 (8a6b3 ) 4a7b5 ； 【解答】解：（1）
2 2
（2）(x 2y)2 (x 2y)2 (x 2y)(x 2y) x2 4y2 4xy x2 4xy 4y2 x2 4y2 x2 4y2 8xy ． 21．（10 分）先化简，后求值：(m 2n)(2m n) (m 3n)2 (2m n)(2m n) 11n2 ，其中：m n 2 ， m n 1．
【解答】解：原式 2m2 mn 4mn 2n2 (m2 6mn 9n2 ) (4m2 n2 ) 11n2 ， 2m2 mn 4mn 2n2 m2 6mn 9n2 4m2 n2 11n2 ， 5m2 9mn 23n2 ． m n 2 ， m n 1，
3 1
m ， n ，
2 2
32 3 1 19 27 23 45 27 23 49
原式 5 ( ) 9 23 ()2 5 ．
2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4
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22．（10 分）如图，在已知的平面直角坐标系中， ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，若点 A 、 B 、C 的坐标分别是 A(2,1) ， B(3, 3) ， C(1, 4) ．
（1） 画出ABC 关于 x 轴对称的图形△ A1B1C1 并写出此时 B1 的坐标是： (3, 3) ；
x 轴正方向平移 3 个单位，再沿 y 轴负方向平移 2 个单位的图形△ A2 B2C2 并求四边（2） 画出ABC 沿 形 ACC2 A2 的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△ A1B1C1 即为所求，此时 B1 的坐标是(3, 3) ，
故答案为： (3, 3) ．
（2）如图所示，△ A2 B2C2 即为所求，
1 1
四边形 ACC A 的面积为4 5 2 3 2 1 3 2 11 ．
2 2 2 2
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23．（10 分）如图： ABC 中， ACB 90 ，点 D 在 AB 上， CE 是斜边 AB 上的高，且 AC AD ． （1）若DCE 15 ，求B 的度数；
（2）若B A 20 ，求DCB 的度数．
【解答】解：（1） CE AB ， CED 90 ， ECD 15， ADC 75 ， AC AD ，
ACD ADC 75 ，
ACD 90 ， DCB 15，
ADC B DCB ， B 75 15 60 ．
（2）设DCB x ，则ADC ACD B x 90 x ， 2x 90 B ， A B 90 ， B A 20 ， B 55 ， 2x 35 ， x 17.5 ， DCB 17.5
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24．（10 分）如图，在ABC 中， AB AC ，点 D 在边 BC 上，且为 BC 的中点，点 E 为边 BC 延长线上的一点，连接 AE ，且AEB 45 ，过 D 作 DF AC ，垂足为点G ，交 AE 于点 F ，在边 BE 上取一点 H ，连接 FH ．
（1） 若CDF 20 ，求BAE 的度数；
（2） 若DFE AFH ，求证： BC 2EH ．
【解答】解：（1）如图，连接 AD ，
AB AC ， D 为 BC 的中点， AD BC ， ABC ACB ， DF AC ， CDF 20 ， ACB 70 ABC ， 又 AEB 45 ，
BAE 180 45 70 65 ；
（2）如图，连接 AD ，作 DN AE 于 N ，交 AC 于 M ， AB AC ， D 为 BC 的中点，
1 BD CD BC ， AD BC ， 2
AEB 45 ，
DAE AEB 45 ， AD DE ， 又 DN AE ， AN DN NE ， ADN EDN 45 AEB ， ACD EDF 90 ， ACD DAC 90， EDF DAC ，
ADM DEF ( ASA) ， DM EF ，
DFE DAF ADF 45 ADF ， AFH AED FHE 45 FHE ， DFE AFH ， ADF EHF ， EDF DAC ， ACD ADF ， ACD FHE ，
DMC EFH ( AAS) ， CD HE ， BC 2HE ．
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25．（10 分）阅读下列村料：
由整式的乘法运算知：(ax b)(cx d) acx2 (ad bc)x bd ．由于我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形， 利用这种关系可得 acx2 (ad bc)x bd (ax b)(cx d) ． 通过观察可知可把acx2 (ad bc)x bd 中的 x 看作是未知数， a ， b ， c ， d 看作常数的二次三项式；通过观察acx2 (ad bc)x bd (ax b)(cx d) ，可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数 ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数，此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图 1， 此分解过程可形象地表述为“坚乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二 次三项式2x2 7x 3 的二项式系数 2 与常数项 3 分别进行适当的分解，如图 2．
则2x2 7x 3 (x 3)(2x 1) ． 根据阅读材料解决下列问题：
（1）用十字相乘法因式分解： 4x2 9x 13；
（2）用十字相乘法因式分解： 2(2a2 1)2 3(2a2 1) 9 ；
（3）已知 x2 2x n (x a)(x b)(1 n 200) ，若 a 、b 均为整数，则满足条件的整数n 有几个？并说 明理由．
【解答】解：（1） 4x2 9x 13 (x 1)(4x 13) ；
2(2a2 1)2 3(2a2 1) 9 [2(2a2 1) 3][(2a2 1) 3] (4a2 5)(2a2 2) 2(4a2 5)(a 1)(a 1) ；（ 2 ）
（3） (x a)(x b) x2 2x n ，
x2 (a b)x ab x2 2x n ， a b 2 ， ab n ， a 2 b ， b(2 b) n ， b2 2b n 0 ，
2 2 1 n b 1 1 n ，
2 a 、b 均为整数， 1 n 为整数，
n 3 ，8，15，24，35，48，63，80，99，120，143，168，195 共 13 个．
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四、解答题：（本大题 1 个小题，共 8 分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解作过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8 分）已知等腰三角形 ABC 中，点 D 为 BC 中点，点 E 是 BA 延长线上一动点，点 F 是 AC 延长线上一动点连接 DE 、 DF ，且EDF BAC 180 ． （1） 如图 1，若BAC 90 ，求证： AE AC AF ；
（2） 如图 2，若BAC 120 ， AE 、 AC 、AF 三条线段还满足（1）中的结论吗？若满足，则直接证明；若不满足，请写出结论并证明．
【解答】（1）证明：连接 AD ，设 AF 交 DE 于G ，如图 1 所示： BAC 90， AB AC ， B 45 ，
点 D 为 BC 中点，
1 AD BC BD CD ， BAD CAD 45 B ， AD BC ，
2
EDF BAC 180 ， EAC BAC 180 ， EDF EAC ， AGE DGF ， BED AFD ，
B CAD 在BDE 和ADF 中， BED AFD ，BDE ADF ( AAS ) ，
BD AD
BE AF ， AB AC ， BE AE AB ，
1
（2）解：不满足（1）中的结论，AC AE AF ；理由如下：连接 AD ，取 AC 的中点G ，连接 DG ，
2
AB AC ， 如图 2 所示： BAC 120 ， ACB 30 ， EAC 60 ， 点 D 为 BC 中点， AD BC ， CAD 60 ，
1 DG AC AG CG ， DAE 120 ，即ADG 是等边三角形
2
AD DG ， AGD ADG 60 EDF ， DGF 120 DAE ， ADE GDF ， 同（1）得： AED GFD ，
DAE DGF 在ADE 和GDF 中， AED GFD ，ADE GDF ( AAS ) ，
AD GD AE GF ，
AG GF AF ， 1
AC AE AF ； 2
AE AC AF ；
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