初二数学(人教版) -正比例函数的概念-教案

教学基本信息 课题 学科 教材 教学目标及教学重点、难点 教学目标：正比例函数的概念，提高将实际问题抽象为函数模型的能力（即数学建模能力）。 教学重点：正比例函数的概念。 教学难点：将实际情境抽象为函数模型，用函数的方法解决实际问题. 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 同学们好，今天我们一起来学习正比例函数的概念。 首先，我们一起来回顾什么是函数？ 在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 1.让我们来看看这个问题. 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318 km. 设列车的平均速度为300 km/h. 考虑以下问题： （1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？ （2）京沪高铁列车的行程 y 与运行时间 t 之间有何数量关系？ （3）列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距离始发站1100km 的南京南站？ 2.思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗? 如果是，请写出函数解析式. （1）圆的周长l 随半径r 的变化而变化. （2）铁的密度为7.9g/cm3，铁块的质量m 随它的体积V 的变化而变化. 设置意图 数学 《正比例函数的概念》 学段： 初中 年级 初二 书名：数学八年级下册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2013年11月 引入 复习回顾 引入课题 新课 传授新知 理解概念 概念剖析 （3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h 随练习本的本数n 的变化而变化. （4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T 随冷冻时间t 的变化而变化. 3.观察：列出的这5个函数解析式有什么共同的特点？ 可以发现：这些式子等式右边都是非零常数与自变量的积的形式. 我们把这样形式的函数叫做正比例函数. 一般地，形如 y=kx（k是常数，k≠0 ）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 注意，定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0 . 4.做两道练习，加深对正比例函数概念的理解. 练习1：下列式子中，哪些表示 y 是 x 的正比例函数？ （1）y0.1x （2）yx 2（3）y2x2 （4）y24x 练习2：列式表示下列问题中的 y 与 x 的函数关系，并指出哪些是正比例函数. （1）正方形的边长为 x cm，周长为 y cm. （2）某人一年内的月平均收入为 x 元，他这年（12个月）的总收入为 y 元. （3）某城市的市内电话的月收费额y （单位：元）包括月租费22元和拨打电话xmin 的计时费（按0.1元/min收取，通话不足1min 按1min 收费）. （4）一个长方体的长为 2 cm，宽为 1.5 cm，高为 x cm，体积为 y cm3 . 例题1：若 y 与 x 的函数关系是正比例函数，当 x=-1 时，y=2. 求此正比例函数的解析式. 解：∵ y 与 x 的函数关系是正比例函数， ∴ 设y=kx（k是常数，k ≠ 0）. ∵ 当 x= -1 时，y=2， ∴ 2=k ×（-1），即k =-2. ∴正比例函数的解析式为：y = -2x. 例题2：现有一块苗圃，其中一面靠墙. 借助围墙（围墙长度大于10m），用篱笆将苗圃向右依次隔例题 学以致用 加深理解 学会应用 提升能力 成边长为10m的正方形区域. 10m （1）按照图中的方式，围出2个边长为10 m 的正方形需要几米长的篱笆？围出3个正方形呢？ （2）如果用 x 表示所围正方形的个数，围出 x 个这样的正方形需要 y 米篱笆，那么 y 与 x 之间存在函数关系吗？ （3）若围10个这样的正方形需要多少米篱笆？ （4）用500米篱笆可以围出多少个这样的正方形？ 解：（1）60米；90米. （2）y=30x. （3）当x=10时，y=30×10=300（米）， 所以需要300米篱笆. （4）当y=500时，x=500÷30=162， 3所以可以围出16个这样的正方形. 例题3：甲、乙两个小车模型进行百米赛跑，甲车的速度是10m/s、乙车的速度是8m/s. 两车同时出发，经过时间为t 秒. （1）分别写出甲、乙两车赛跑时路程 s1、s2 和时间 t 的函数表达式及自变量t 的取值范围. （2）出发5秒后，两车相距多少米？ （3）甲、乙两车谁最先到达终点？早到多少秒？ 解：（1）s1=10t（0 ≤ t ≤ 10）； s2=8t（0 ≤ t ≤ 12.5）. （2）当t=5时，s1=10×5=50（米）， s2=8×5=40（米）. ∴两车相距s1- s2=50-40=10（米）. （3）甲车先到达终点. 当s1=100时，甲车的时间为t1=100÷10 =10 （秒）； 当s2=100时，乙车的时间为t2=100÷8 =12.5 （秒）. ∴甲比乙早到t2- t1=12.5-10=2.5（秒）. 思考：已知y+2与x-1成正比例，当x=2时，y=3，求y与x的函数关系式. 分析：y与x成正比例： y=kx（k是常数，k ≠ 0）. 解：∵ y+2与x-1成正比例， ∴ 设 y+2 = k (x-1) （k是常数，k ≠ 0）. ∵ 当x=2时，y=3， ∴ 3+2=k·(2-1)，解得 k = 5. ∴ y+2 = 5 (x-1)，即 y=5x-7. 1.正比例函数的概念：形如 y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数. 2.将实际情境抽象为函数模型，再用函数的方法解决实际问题. 总结 总结提升 方法归纳 1.下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？ 8 （3）y=5x2+6 x1（4）y0.5x1 （5）y （6）y2=5x 3x5（1）y8x （2）y 2. 一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加 2 m/s. （1）求小球速度 v 关于时间 t 的函数解析式. 它是正比例函数吗？ （2）求第 2.5 s 时小球的速度. 3. 一列火车以90 km/h 的速度匀速前进. 求它的行驶路程 s 关于行驶时间 t 的函数解析式，并画出函数图象. 作业 巩固新知 体会应用