2020高考数学复习专题38 基本不等式(解析版)

专题知识梳理1．基本不等式如果a、b是正数，那么ab≤基本不等式

a＋b(当且仅当a＝b时取“＝”)，2即两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．2．常用的几个重要不等式(1)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)；(2)ba(3)＋≥2(a与b同号)；aba＋b(5)11≤ab≤≤2＋ab2a＋b≥ab；2a＋b2

)(a、b∈R)；2(4)ab≤_(a2＋b2

(a、b∈(0，＋∞)(两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平2方平均数之间的大小关系)．3．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2P(简记：积定，和有最小值)．1(2)如果和x＋y的定值为S，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值S2(简记：和定，积有最大值)．4考点探究考向1利用基本不等式求最值【例】（2018·江苏卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为________．【解析】由角平分线和三角形面积公式得，SABCSABDSBCD，111∴acsin120a1sin60c1sin60,化简得ac=a+c.222(方法1)c

aaa111，4a+c=4a+=4a+=4a++1a1a1a1a1

11+5≥24(a1)5=4+5=9．a1a11111c4ac4a1，∴4a+c=(4a+c)()=5+≥5+2=9.acacacac=4（a—1）+(方法2)由ac=a+c得，当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.题组训练1.设x>0，y>0，若11111，则22的最小值是xyxy【解析】∵11

1，∴xyxy，xy11x2y2(xy)22xy(xy)22xy2∴22=22，12222xyxyxyxyxy∵x>0，y>0，∴xyxy2xyxy2,xy4，当且仅当xy时，取等号，∴12211111，故22的最小值是xy42xy2．222.设x,y为正实数，若4xyxy1，则2xy的最大值是【解析】∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，33即(2x＋y)2－·2xy＝1，∴(2x＋y)2－·228210解之得(2x＋y)2≤，即2x＋y≤.55等号当且仅当2x＝y>0，即x＝2

2x＋y22≤1，1010，y＝时成立．105．1a2b22(ab)最小值为3.若不等式ax2xb0的解集为{x|x}，则式子aba【解析】由题意知，判别式△=0,即44ab0，∴ab=1，且ab，a2b22(ab)2444∴ab2(ab)4．ababababa2(12),4当且仅当ab即ab2时取“=”号，解得12abb2∴所求式子的最小值为4.4.已知a>0，b>0，a+b=2，求14

的最小值．ab【解析】∵1414ab14ab514ab9=（）)=2=(14．abab22ba22ba2故149

的最小值是．ab2a44b415.若a,bR，ab0，则的最小值为___________.aba44b414a2b2111【解析】4ab24ab4 ，前一个等号成立的条件是a22b2,后一abababab个等号成立的条件是ab的最小值为4.6.若实数x,y满足xy3x3(0x)，则1222,b，两个等号可以同时取得，则当且仅当a2时取得等号．故所求2421

231的最小值为xy3．【解析】由xy3x3得，x33111，故=y3+=y3+6y3xy3y3y32(y3)16=2+6=8，当且仅当y3=1，y4或y2．y3当y4时，x故3131

(0,)，适合题意；当y2时，x（舍去）．7252

31的最小值为8．xy341的最小值为x2y1．7.已知正数x,y满足x+y=1，则【解析】∵x+y=1，∴(x+2)+(y+1)=4，∴4141141()1=(（)x2y1）x2y1x2y14x2y11（4y1）x214（y1）x219=[4+1++][52](54)．4x2y14x2y144当且仅当4（y1）x221，x22(y1)（负值舍去）,解得x，y=，上式取等号，故所求的最小=x2y133值为9．428.设a>b>0，则a

11的最小值是abaab.【解析】a

211112

＝aabab＝abaababa(ab)

ab

211

≥2＋2＝4，当且仅当ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立．如取a＝2,b＝a(ab)

2aba(ab)

满足条件.考向2利用基本不等式求参数的值或取值范围1【例】（1）若函数y＝＋ax(a＞0，x＞1)的最小值为3，则a＝x－131m（2）已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为aba＋3b．．【解析】（1）∵y＝11＋ax＋a－a＝＋a(x－1)＋a≥2x－1x－111×a（x－1）＋a＝2a＋a＝3，当且仅当x－1x－1＝a(x－1)时等号成立．∵a>0，∴a＝1.31m319ba9ba（2）由＋≥得，m≤(a＋3b)(＋)＝＋＋6，又＋＋6≥29＋6＝12，aba＋3bababab∴m≤12，∴m的最大值为12.题组训练1.若存在正实数x，使得【解析】x2a1成立，则a的取值范围是x23x1.xxx即，存在，使得x>02a12a12a1成立，它等价于x23x1x23x1x23x12a1(∴1x,由，得x>0x2（当且仅当x1时取等号），)max

xx23x1x11113x1，即的最大值为，∴，解得，∴a的取值2=a1ax23x1555x23x1x132+35x35范围是(,].22.已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．x－a【解析】∵2x＋22＝2(x－a)＋＋2a≥2x－ax－a2x－a·2＋2a＝4＋2a，x－a33由题意知4＋2a≥7，得a≥，∴实数a的最小值为.223.已知任意非零实数x，y满足3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，则实数λ的最小值为【解析】∵x2＋y2>0，∴3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)等价于λ≥3x2＋4xy3x2＋4xy，则λ≥（）max,2222x＋yx＋y．x2x（3)4()x3x2＋4xyyy2令T=，则T=，令t0，(T3)t4tT0，164T(T3)0当解得xx2＋y2y（)21y3x2＋4xy1T4，当T=4时，t=2，此时x＝2y时取等号，∴22的最大值是4，∴λ≥4，即λ的最小值是4.x＋y