(新课标(理))2022山东高考数学二轮复习第一部分专项四数列：1-4-2第二讲 数列的通项公式与数

(新课标（理）)2022山东高考数学二轮复习第一部分专项四数列：1-4-2第二讲 数列的通项公式与

数列求和

1．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10，则a2 012＝( ) A．2 010 C．－2 010

解析：设等差数列{an}的公差为d，

B．2 012 D．－ 2020

a1＋d＝0

则由已知条件可得，

2a1＋12d＝－10a1＝1，解得

d＝－1.

因此数列{an}的通项公式为an＝－n＋2. 故a2 012＝－2 012＋2＝－2 010. 答案：C

2．(2020年高考福建卷)数列{an}的通项公式an＝ncos A．1 006 C．503

解析：用归纳法求解． ∵an＝ncos

nπ

，∴a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，…. 2

B．2 012 D．0

nπ，其前n项和为Sn，则S2 012等于( ) 2

由此易知a4n－2＝－(4n－2)，a4n＝4n，

且a1＋a2＋a3＋a4＝－2＋4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝－6＋8＝2，…，a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n

＝－(4n－2)＋4n＝2.

又2 012＝4×503，

∴a1＋a2＋…＋a2 012＝2＋2＋…＋2,\\s\\do4(503个))＝2×503＝1 006. 答案：A

3．(2020年海淀模拟)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为( )

A．6 C．8

B．7 D．9

解析：∵an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.

ak≥0，设前k项和最大，则有

ak＋1≤0，22－3k≥0，∴ 22－3（k＋1）≤0，

∴

1922≤k≤， 33

∵k∈N*，∴k＝7. 故满足条件的n的值为7. 答案：B

4．在公差为d，各项均为正整数的等差数列{an}中，若a1＝1，an＝51，则n＋d的最小值为( )

A．14 C．18

解析：由题意得1＋(n－1)d＝51， 即(n－1)d＝50，且d>0. 由(n－1)＋d≥2

（n－1）d＝250(当且仅当n－1＝d时等号成立)，

B．16 D．10

得n＋d≥102＋1，因为n，d均为正整数， 因此n＋d的最小值为16，选B. 答案：B

5．(2020年高考浙江卷)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是( )

A．若d<0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d<0

C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0 D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列

dd

解析：利用函数思想，通过讨论Sn＝n2＋(a1－)n的单调性判定．

22

1dd

设{an}的首项为a1，则Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋(a1－)n.由二次函数性质知Sn有最大值时，

222

则d<0，故A、B正确；因为{Sn}为递增数列，则d>0，不妨设a1＝－1，d＝2，明显{Sn}是递增数列，但S1＝－1<0，故C错误；对任意n∈N*，Sn均大于0时，a1>0，d>0，{Sn}必是递增数列，D正确．

答案：C 二、填空题

6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－an，则数列{an}的通项公式为________． 解析：由于Sn＝2n－an，因此Sn＋1＝2(n＋1)－an＋1，后式减去前式，得Sn＋1－Sn＝2－an＋1

111

＋an，即an＋1＝an＋1，变形为an＋1－2＝(an－2)，则数列{an－2}是以a1－2为首项，为公比

22211

的等比数列．又a1＝2－a1，即a1＝1.则an－2＝(－1)·()n－1，因此an＝2－()n－1.

22

1－

答案：2－()n1

2

7．(2020年高考江西卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________．

解析：利用“专门值”法，确定公比．

由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，则a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝

答案：11

8．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市卫生部门采取措施，使该种病毒的传播得到操纵，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8 670人，则11月________日，该市感染此病毒的新患者人数最多．

解析：设该市11月n日新感染者有an人，在11月(x＋1)日开始操纵病毒的传播，其中x∈N*，

a1（1－q5）

1－q

1－（－2）5

＝＝11.

3

20＋50（n－1），1≤n≤x20＋50x－30

则由题意可知：an＝从而由条件得·x＋

250x－30－30（n－x），x[（50x－60）＋（80x－930）]

·(30－x)＝8 670，解之得x＝12或x＝49(舍去)，故易知11月12

2日，该市感染此病毒的新患者人数最多．

答案：12 三、解答题

9．(2020年长沙模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足4b1－1·42b2－1·43b3－1·…·4nbn－1＝(an＋1)n，求数列{bn}的通项公式． 解析：(1)∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴an＋1＋1an＋1

＝2，

而a1＝1，a1＋1＝2≠0，故数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N*)．

(2)∵4b1－1·42b2－1·43b3－1·…·4nbn－1＝(an＋1)n， ∴4b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn－n＝2n2， ∴2(b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn)－2n＝n2， 即2(b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn)＝n2＋2n，① 当n≥2时，2[b1＋2b2＋…＋(n－1)bn－1] ＝(n－1)2＋2(n－1)＝n2－1，②

1

由①－②得2nbn＝2n＋1(n≥2)，bn＝1＋(n≥2)．

2n

3

易知当n＝1时，4b1－1＝a1＋1＝2，得b1＝，满足上式，

21

∴bn＝1＋(n∈N*)．

2n

10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n. (1)求数列的通项公式an； (2)设2bn＝an－1，且Tn＝

111＋＋…＋，求Tn. b1b2b2b3bnbn＋1

解析：(1)因为Sn＝n2＋2n，因此当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1. 当n＝1时，a1＝S1＝3＝2×1＋12，满足上式． 故an＝2n＋1，n∈N*. (2)因为2bn＝an－1，因此 11

bn＝(an－1)＝(2n＋1－1)＝n，

22因此

1111

＝＝－，

nbnbn＋1n（n＋1）n＋1

111111111111

＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＋－＋－＋…＋b1b2b2b322×3bnbn＋11×n×（n＋1）122334

因此Tn＝

1111n－＋－＝. n－1nnn＋1n＋1

11．(2020年广州两校联考)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)． (1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；

(2)求证：{an－3n}是等比数列并求数列{an}的通项公式；

(3)设3nbn＝n(3n－an)，且|b1|＋|b2|＋…＋|bn|故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)证明：由(1)得an＋1＋2an＝5·3n， ∴(an＋1－3n＋1)＝－2(an－3n)，

故数列{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列， ∴an－3n＝2(－2)n－1，

即an＝3n＋2(－2)n－1＝3n－(－2)n (3)由3nbn＝n(3n－an)＝n[3n－3n＋(－2)n] ＝n(－2)n， 2∴bn＝n(－)n

3

令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn| 2222＝＋2()2＋3()3＋…＋n()n 3333

22222Sn＝()2＋2()3＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1 33333

22

[1－（）n]331222222

得Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n()n＋1＝－n()n＋1 33333323

1－

322

＝2[1－()n]－n()n＋1

33

22

∴Sn＝6[1－()n]－3n()n＋1<6，要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|33