直线和圆知识点总结

知识梳理

1．直线的倾斜角的范围是 ；求直线斜率的两种方法：①定义：k (②斜率公式：k2 )；

y2y1(x1x2)．答案 0,180x2x12．直线方程的几种形式：

①点斜式 ，适用范围：不含直线xx0； 特例：斜截式 ，适用范围：不含垂直于x轴的直线；

②两点式 ，适用范围：不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)； 特例：截距式 ，适用范围：不含垂直于坐标轴和过原点的直线；

③一般式 ，适用范围：平面直角坐标系内的直线都适用． 3．求过P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线方程时：

（1）若x1x2，且y1y2时，直线垂直于x轴，方程为xx1； （2）若x1x2，且y1y2时，直线垂直于y轴，方程为yy1； （3）若x1x20，且y1y2时，直线即为y轴，方程为x0； （4）若x1x2，且y1y20时，直线即为x轴，方程为y0。 4．已知直线l1：yk1xb1，直线l2：yk2xb2，则

①l1与l2相交 ； ②l1与l2平行 ； ③l1与l2重合 ； ④l1与l2垂直 ． 5．已知直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20，则

①l1与l2相交 ； ②l1与l2平行 ； ③l1与l2重合 ； ④l1与l2垂直 ． 6．两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)之间的距离PP12= ； 点P(x,y)到直线l：AxByC0的距离d ；

两平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d ． 7．圆的标准方程为(xa)(yb)r(r0)，其中 为圆心， 为半径 ；

1

22222圆的一般方程为xyDxEyF0表示圆的充要条件是DE4F0，

22其中圆心为 ，半径为 ． 8．点与圆的位置关系

圆的标准方程为(xa)(yb)r，点M(x0,y0)，

222（1）点在圆上：(x0a)(y0b)r； 222（2）点在圆外：(x0a)(y0b)r； 222（3）点在圆内：(x0a)(y0b)r。

2229．直线与圆的位置关系

判断直线与圆的三种位置关系常用的两种判断方法：

（1）代数法：直线方程和圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后， 计算判别式①b4ac0 ；

②b4ac0 ； ③b4ac0 。

（2）几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径的大小关系

①dr ；②dr ；dr 。 10．圆的切线方程

①若圆的方程为xyr，点P(x0,y0)在圆上，则过P点，且与圆xyr相

2切的切线方程为xx0yy0r；

222222222②经过圆(xa)(yb)r上的P(x0,y0)的切线方程为：

222(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2。yy0k(xx0)

点P(x0,y0)在圆外，则可设切线方程为

yy0k(xx0),利用直线与圆相切，利用

圆心到直线的距离等于半径，解出k。

11．计算直线被圆截得的弦长的两种方法：

（1）几何法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。 （2）代数法：利用韦达定理及弦长公式

2AB1k2xAxB(1k2)(xAxB)4xAxB 22222212．设圆C1：(xx1)(yy1)r1，圆C2：(xx2)(yy2)r2，则有两圆

①相离C1C2 ；②外切C1C2 ；③内切C1C2 ；

2

④相交 C1C2 ；⑤内含C1C2 ．

13．对称问题

①点关于点的对称：利用中点坐标公式。

②直线关于点对称：利用取特殊点法或转移法。 ③点关于直线对称：利用垂直和平分。

④直线关于直线对称：转化为点关于直线对称问题解决。如果是平行直线，还可以利用平行直线之间距离。如果是相交直线，可以利用已知交点，夹角相等的方法。 常用的对称关系：点(a,b)

点(a,b)关于原点的对称点(-a,-b), 点(a,b)关于点(a0,b0)的对称点的坐标为(2a0a,2b0a)

点(a,b)关于x轴的对称点(a,-b)， 点(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b)，

点(a,b)关于直线y=x的对称点为(b,a)， 点(a,b)关于直线y= -x的对称点(-b,-a)， 点(a,b)关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m), 点(a,b)关于直线y= -x+m的对称点(m-b,m-a).

练习题（第一部分）

3，则此直线的斜率是（ ） 53434A． B． C．  D． 

434322.直线过点（-1，2）且与直线yx垂直，则的方程是

31．直线的倾斜角为,若sin

A．3x2y10 B.3x2y70 C. 2x3y50

D.2x3y80

3．已知两条直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a等于（ ） A．2 B．1 C．0 D．1

解析：两条直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a(a2)1，∴ a=－1，选D. 点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况

4．已知A(2,3)、B(3,2)，直线l过P(1,1)且与线段AB有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围（ ） A．k33133或k4 B．3k C． k或k D．k4 444441(2)3，过点A(2,3)、P(1,1)的直

1(3)4解析：过点B(3,2)、P(1,1)的直线斜为k1线斜率为k21(3)4，画图可看出过点P(1,1)的直线与线段AB有公共点可

12 3

看作直线绕点P(1,1)从PB旋转至PA的全过程。

5．直线l经过点P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为S，如果符合条件的直线l能作且只能作三条，则S（ ）

A．3 B．4 C．5 D．8 解析：设直线方程为

xy21212， 1，则有1，当a,b0时，12abababab得ab8，即l与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积的最小值为4，显然与两坐标

轴围成的三角形在二、四象限时各有一个面积为4，共可作且只可作三条符合条件的直线l。

6．已知直线l：xy10，l1：2xy20，若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程为（ ）

A．x2y10 B．x2y10 C．xy10 D．x2y10

解析：在l1上取两点(0,2),(1,0)，则它关于直线l的对称点为(1,1),(1,0)，所以l2的方

程为x2y10。

7．已知点M(0,1)，点N在直线xy10上，若直线MN垂直于直线x2y30， 则点N的坐标是（ ） A．(2,1) 二、填空题

8．过点（1，2）且与直线x2y10平行的直线方程是_x2y50_ . 9．已知两条直线l1:ax3y30,l2:4x6y10.若l1//l2，则a ____. 解：两条直线l1:ax3y30,l2:4x6y10.若l1//l2，B．(2,3)

C． (2,1)

D．(2,1)

a2，则a2． 3310．若过点P(1a,1a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，那么实数a的取值范围是 .a(2,1)

11．如果ab0,直线axbyc0的倾斜角为,且sin21sin1sin,则

_. 直线的斜率为__________解析：由sin21sin1sinsin4

2cos2sin2cos2，

因为ab0,直线axbyc0的倾斜角为,所以tan所以(所以sina又0,， 0，

b2,)，

(,)，所以0cossin， 242222(sincos)(sincos)2cos， 22222所以tan22，ktan24。

31tan222tan三、解答题

12.已知直线l经过直线3x4y20与直线2xy20的交点P，且垂直于直线

x2y10.

（Ⅰ）求直线l的方程；

（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S. 解：（Ⅰ）由3x4y20,x2, 解得

2xy20.y2.由于点P的坐标是（2，2）.

则所求直线l与直线x2y10垂直， 可设直线l的方程为 2xyC0.

把点P的坐标代入得 222C0 ，即C2. 所求直线l的方程为 2xy20.

（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是1、2， 所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S1121. 213.求经过直线l1：3x4y50与直线l2：2x3y80的交点M，且满足下列条件①经过原点；②与直线l3：2xy50平行；③与直线l4：2xy50垂直的直线方程。答案：x2y50

14.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A点落在线段DC上，若折痕所在的直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程。 yDC 5

O(A)BX解：（1）当k0时，A、D重合，折痕所在直线方程为y1 2 （2）当k0时，设折叠后A落在线段上的点为G(a,1)，

所以A与G关于折痕所在直线对称。

kAGk1，可得 ak,

从而 G(k,1)，线段OG之中点为M(k1,)， 22k211k折痕所在直线方程为yk(x)，化简得ykx。

2222练习题（第二部分） 1．直线y3x与圆(x1)2y21的位置关系是（ ） 3A．相交但直线不过圆心 B. 相切 C.相离 D.相交且直线过圆心

2．与圆C:xy2x350同圆心，且面积为圆C面积的一半的圆的方程为（ ）

A. (x1)y18 C. (x1)y6 3．圆心为C222222

B. (x1)y9

2222 D. (x1)y3

1,3的圆与直线l:x2y30交于P、Q两点，O为坐标原点，且满 2足OPOQ0，则圆C的方程为（ ）

A．(x)(y3)122251252 B．(x)(y3) 222C．(x)(y3)12222512252 D．(x)(y3) 4244．P(x,y)是曲线x1cos,22上任意一点，则(x2)(y4)的最大值为（ ）

ysin.222A．36 B．26 C．25 D．6

5．两个圆C1：xy2x2y20与C2：xy4x2y10的公切线有且仅有（ ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

2 6

解析：因为r1r20,r1r24,OO1213，所以r1r2OO12r1r2，所以两圆相

交，故两圆公切线有2条。

6．从圆x2xy2y10外一点P3,2向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余

22弦值为（ ） A．

133 B． C． D．0 25222解析：圆x2xy2y10的圆心为M(1，1)，半径为1，从外一点P(3,2)向这个

圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于5，每条切线与PM的夹角的正切值

1124，该角的余弦值等于3。 等于，所以两切线夹角的正切值为tan1325142227．若圆xy4x4y100上至少有三个不同点到直线l:axby0的距离为22,则直线l的斜率的取值范围是( ) A．[23,223,3] D．[0,] ] B．[23,23] C．[232222解析：圆xy4x4y100整理为(x2)(y2)(32)，

∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，

要求圆上至少有三个不同的点到直线l:axby0的距离为22， 则圆心到直线的距离应小于等于2， ∴

|2a2b|aa2，∴ ()24()10，

bba2b2∴ 23()23，k()，∴ 23k23，选B. 8．若直线2xyc0按向量a=1,-1平移后与圆xy5相切，则c的值为（ ）

22ababA．8或2 B．6或4 C．4或6 D．2或8 解：将直线2xyc0按向量a=1,-1平移得2(x1)(y1)c0， 即2xy3c0，因为2xy3c0与圆xy5相切，所以，22c355，

7

c35c8或c2。

二、填空题

9. 圆xyax2y10关于直线xy1对称的圆的方程是xy10，则实 数a的值是 2 ．

10．若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y为 ．

解析：若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y22223x(x≥0)相切，则这个圆的方程33x(x0)相切， 3则圆心在直线y3x上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为3，

22这个圆的方程为(x1)(y3)1。

11．已知圆M：(xcos)(ysin)1，直线l：ykx，下面四个命题：

①对任意实数k与，直线l和圆M相切； ②对任意实数k与，直线l和圆M有公共点；

③对任意实数，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切 ④对任意实数k，必存在实数，使得直线l与和圆M相切． 其中真命题的序号是______________（写出所有真命题的序号） 解：②④，圆心坐标为(cos,sin)，

22d|－kcos－sin|1＋k2＝1＋k2|sin（＋）|1＋k2=|sin（＋）|1。

12．函数f(x)2x24x13x212x37的最小值为 ．42 213．从原点向圆xy12y270作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ．

解析：利用数形结合解此题有优势。

因为xy12y270，所以x(y6)9，圆心在(0,6)，半径为3， 设圆心为M，切点为N，则在RtOMN中，OM6,MN3，所以MON所以两切线的夹角为三、解答题

22226,

2l2l2。 ，劣弧所对的圆心角为，故劣弧的弧长为3333 8

14．求过直线2xy40和圆xy2x4y10的交点，且满足下列条件之一的

圆的方程．（1）过原点；（2）有最小面积． 15．如果实数x,y满足xy4x10，求①

222222x的最大值；②yx的最小值； y③xy的最值．

22分析：xy4x10表示以(2,0)点为圆心，半径为3的圆，

x为圆上的点M与原y点连线的斜率；设yxb，则yxb，可知b是斜率为1的直线在y轴上的截距，于是问题①实质上是求圆上的点与原点连线的斜率的最大值；②实质上是求斜率为1的直线与已知圆有公共点时直线的纵截距的最小值；③实质上是求圆上一点到原点距离平方的最大值与最小值。

16. 已知点P(2,0)及圆C：xy6x4y40.

（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；

（Ⅱ）设过点P的直线l1与圆C交于M、N两点，当MN4时，求以线段MN为直径的圆Q的方程；

（Ⅲ）设直线axy10与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y0k(x2).

又圆C的圆心为(3,2)，半径r3，

22由

3k22kk2131， 解得k.

43(x2)， 即 3x4y60. 4当l的斜率不存在时，l的方程为x2，经验证x2也满足条件.

所以直线方程为yMN2（Ⅱ）由于CP5，而弦心距dr()5，

22 所以dCP5，所以P为MN的中点.

9

故以MN为直径的圆Q的方程为(x2)y4. （Ⅲ）把直线axy10即yax1．代入圆C的方程，

消去y，整理得(a1)x6(a1)x90． 由于直线axy10交圆C于A,B两点，

故36(a1)36(a1)0，即2a0，解得a0． 则实数a的取值范围是(,0)． 设符合条件的实数a存在，

由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3, 2)必在l2上． 所以l2的斜率kPC2，而kABa22222211，所以a． kPC2 10