直线与圆的基本知识点总结

1. 两个基本量

倾斜角：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准， x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时， 规定α= 0. 易见直线倾斜角的取值范围是：[0,π)

斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母k表示，也就是 k = tanα =

y1-y2A

= - = f’(x0). 特别的，（1）当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0；（2）当直线lx1-x2B

与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

2. 几个常见角及其取值范围：

（1）直线的倾斜角的取值范围是[0,π)； π

（2）两条直线的夹角的取值范围是[0, ]；

2π

（3）两个平面的夹角的取值范围是[0, ]；

2

（4）两个半平面所成角（二面角）的平面角的取值范围是[0,π] π

（5）直线与平面所成的角的取值范围是[0, ]

2（6）两个向量的夹角的取值范围是[0,π] π

（7）两异面直线所成角的取值范围是[0,2) 3. 直线的五种方程

（1）点斜式： yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．不能表示斜率不存在的直线. （2）斜截式： ykxb(b为直线l在y轴上的截距).不能表示斜率不存在的直线.

yy1xx1(两定点坐标分别是：P（3）两点式： 1(x1,y1)、P2(x2,y2) (其中x1x2且y1y2)).y2y1x2x1不能表示平行于坐标轴的直线. （4）截距式： 原点的直线.

（5）一般式： AxByC0(其中A、B不同时为0). 4. 两条不同直线的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2，则①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21. (2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零, 则：①l1||l2xy1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)不能表示平行于坐标轴和过坐标abA1B1C1或A1B2-A2B1=0且A1C2≠A2C1；②l1l2A1A2B1B20； A2B2C25. 夹角公式（现已不做要求） (1)tan|k2k1|.(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,kk1)

121k2k1第 1 页 共 4 页

(2)tan|A1B2A2B1|.(其中l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,AABB0).

1212A1A2B1B2特别的，直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是6. 到角公式（现已不做要求）

，不适用以上公式. 2若直线l1到直线l2的角（有方向性）为，则： (1)tank2k1.(其中l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)，

1k2k1A1B2A2B1.(其中l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).

A1A2B1B2(2)tan特别的，直线l1l2时，直线l1到l2的角是7．四种常用的直线系方程

，不适用上面结论. 2(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(除直线xx0),其中k是待定系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程也可写为：A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定系数． (2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程． 另外，与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是BxAy0,λ是参变量． 8. 点到直线的距离：d|Ax0By0C|AB22(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

C1C2A2B2两条平行直线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0之间的距离是：d9. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程： (xa)2(yb)2r2.（r>0）

（2）圆的一般方程： x2y2DxEyF0(D2E24F＞0).更一般的，方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：①A=C≠0②B=0③D2+E2－4AF>0； （3）圆的参数方程： xarcos.

ybrsin（4）圆的直径方程： (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)).

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10. 圆系方程

(1)过两点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,

其中ax+by+c=0是直线AB的方程,是待定系数．

(2)过直线l:AxByC0与圆C:x2y2DxEyF0的交点的圆系方程是

x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定系数．

2222(3) 过圆C1:xyD1xE1yF10与圆C2:xyD2xE2yF20的交点的圆系方程是

x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0,λ是待定系数．

特别的，如果圆C1:xyD1xE1yF10与圆C2:xyD2xE2yF20相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.（两圆方程直接相减即得） 11. 点与圆的位置关系

点P(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种：

若d(ax0)2(by0)2，则dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内. 12. 直线与圆的位置关系

直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:（其中d2222222AaBbCAB22）

dr相离0; dr相切0; dr相交0.

13. 圆与圆的位置关系

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2d，

dr1r2外离4条公切线; dr1r2外切3条公切线;

r1r2dr1r2相交2条公切线; dr1r2内切1条公切线; 0dr1r2内含无公切线.

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14. 圆的切线方程

(1)已知圆x2y2DxEyF0．

①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是：x0xy0y当(x0,y0)在圆外时, 该方程x0xy0yD(x0x)E(y0y)F0. 22D(x0x)E(y0y)F0表示过两个切点的切点弦方程． 22②过圆外一点的切线方程可设为yy0k(xx0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线． (2)已知圆x2y2r2．则①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0xy0yr; ②斜率为k的圆的切线方程为ykxr1k2. 15. 圆中的几个重要定理和结论

（1）相交弦定理：P是圆内任一点，过P作圆的两条弦AB和CD，则PA·PB =PC·PD.

（2）（切）割线定理：P是圆外任意一点，过P任作圆的两条割(切)线PAB，PCD，则PA·PB =PC·PD. （3）圆幂定理：P是圆O所在平面上任意一点（可以在圆内，圆上，圆外），过点P任作一直线交圆O于A，B两点（A，B两点可以重合，也可以之一和P点重合），圆O的半径为r，则：PA·PB=|PO2-r2|. 当P点在圆内的时候，PO2-r2<0，此时圆幂定理即为相交弦定理；

当P点在圆上的时候，PO2-r2=0，此时圆幂定理即为直径所对圆周角为直角；

当P点在圆外的时候，PO2-r2>0，此时圆幂定理为切割线定理，割线定理或切线长定理.

（4）从平面上任一点A作一圆周的任一割线，从A起到和圆周相交为止的两线段之积，称为A点对于这个圆周的幂。对于已知两圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线。 根轴的定义：两圆等幂点的轨迹是一条直线，这条直线称为两圆的根轴。 性质1：若两圆相交，则其根轴就是公共弦所在直线。

由于两圆交点对于两圆的幂都是0，所以它们位于根轴上，而根轴是直线，所以根轴就是两交点的连线。 性质2：若两圆相切，则其根轴就是过两圆切点的公切线（即性质1的极限情况）。

性质3：若三圆两两不同心，则其两两的根轴必交于一点或互相平行，相交时的交点称为根心。 16. 圆内接四边形（四点共圆）的常见判定方法

1．定义法：若存在一点O，使OA=OB=OC=OD，则A，B，C，D四点共圆。

2．定理1：若凸四边形ABCD的对角互补，则此凸四边形ABCD有一外接圆。

特别地，当凸四边形ABCD中有一双对角都是90°时，此四边形有一外接圆，即有公共斜边的两直角三角形的四个顶点共圆。

3．视角定理：若折四边形ABCD中，ADBACB，则A，B，C，D四点共圆。即有公共边的两个三角形，若它们该边所对角相等，则四点共圆。

4．相交弦定理的逆定理：如果四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，且满足PA·PC=PB·PD，则四边形ABCD有一外接圆。

5．切割线定理的逆定理：如果凸四边形ABCD一双对边AB与DC交于点P，且满足PA·PC=PB·PD，则四边形ABCD有一外接圆。

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