高考数列总复习(完整)

数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：

依定义域分为：有穷数列、无穷数列；依值域分为：有界数列和无界数列；

依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。

数列通项：an2、等差数列

f(n) 2、通项公式

ana1(n1)d 3、前n项和公式

由 相加得

特别的，由a1a2n12an 可得 S2n1(2n1)an。

4、由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A称为a与b的

等差中项．若b 5、等差数列的性质：

（1）mnpq（m、n、p、q），则am* ac，则称b为a与c的等差中项．2 Sna1ann， 2 Sna1a2an,Snanan1a1，

还可表示为Snna1特别地，若2npq（n、p、q），则2an*（2）Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列．

S（3）若项数为2nn*，则S偶奇 nd，．

S奇n S偶n1 （4）若项数为2n1n*，则S2n12n1an，

3、等比数列

 1、定义 当nN,且n2 时，总有 an1and,(d常)，d叫公差。

anapaq；

apaq．

n(n1)d,(d0)，是n的二次函数。2 数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；

数列基本概念

知识网络

1、定义 当nN,且n2 时，总有

anq(q0) , q叫公比。an1在等比数列中，若mn中项．若Gab，则称G为a与b的等比中项．4、等比数列的前n项和的性质：

*2（2）Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列。

5、前n项和公式:

由

Sna1a2an,qSna2a3anan1， 两式相减，a1(1qn)a1anq,(q1) ；当q1时 ，snna1 。q1时，S1q1q②

公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。如，公差为d

的等差数列{an}，Sn 类讨论。

①

a1(1qn)a1anq不能忽视S 成立的条件：q1。特别是公比用字母表示时，要分

1q1q 关于此公式可以从以下几方面认识：

当

a1xa2x2anxn

数列，且2npq（n、p、q），则an*2apaq．

（1）mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；若an是等比

3、、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比

当

当x a1xanxn1dx2(1xn1)dx(1xn1)n1x1时，Sn(1x)a1xanx，Sn1x(1x)21x1时 ，

相减得

Sn(1x)a1xdx2dxnanxn1，

xSna1x2a2x3an1xnanxn1，

；

第一节 等差数列的概念、性质及前n项和

题根一 等差数列{an}中，a6a9a12a1520 ，求S20

amanapaqar2.

，则

2、通项公式：

ana1qn1amqnm,

pq2r

,

则

[思路]等差数列前n项和公式Sn(a1an)nn(n1)na1d：

221、由已知直接求a1 ，公差d.2、利用性质mn1、等差数列{an} 满足a1a2A、

a1010 ，则有 a2a1000

C、

（ ）

a1a1010

B、

a3a990

D、

2、等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求 S13。

第1变 求和方法——倒序相加法

[变题1] 等差数列{an}共10项，a1a2a3a420 ，anan1an2an360，求Sn.

[请你试试 1——2]

1、等差数列{an}前n项和为18 ，若 2、求和

12第2变 已知前n项和及前m项和，如何求前n+m项和

[思路]

1、在等差数列{an}中，

[变题3] 在等差数列{an}中，S10 2、在等差数列{an}中，S3[思路] 由S10,S20,S30寻找S10,S20 mnpqamanapaq是否有关？

[请你试试 1——3]

S615，S955，求 S15 。 1，S93，求 S12 。

第3变 已知已知前n项和及前2n项和，如何求前3n项和

Sn,Sm,Smn下标存在关系：m+n=m+n,

[变题2] 在等差数列{an}中，Sn=a,Sm=b,(m>n)，求Sn+m的值。

这与通项性质

20，S2040，求 S30S1020,S30S之间的关系。

[请你试试 1——4]

1、在等差数列{an}中，a1a23，a3a46，求 a7a8

第二节 等比数列的概念、性质及前n项和

题根二 等比数列{an} ，

a54,a76, 求a9。

SnCn2CnnCn。

nS31, anan1an23, 求项数n .

[思路] 已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想Sn公式推导方法。

a5151 [请你试试 1——1]

pqamanapaq [思路] 1、由已知条件联立，求，从而得

2、由等比数列性质，知成等比数列。

等比数列{an} ，

[ 请你试试2 ——1]

，则

[变题2] 等比数列{an} ，a1a2a32,a4a5a66，求 a10a11a12。

[思路] 等比数列中，连续若干项的和成等比数列。

1、等比数列{an} ， 2、等比数列{an} ，

[请你试试2——2]时，S2时，S2q1 q1

2,S46，求S6。1,S621，求S4。

第三节 常见数列的通项求法

一、公式法

例1 已知数列{an}满足an12an32n，a12，求数列{an}的通项公式。

三、累乘法

四、作差法

例5 （数列{an}的前n项和为Sn，且满足a11，2Sn(n1)an. 求{an}的通项公式五，构造法

例4 已知数列{an}满足an12(n1)5nan，a13，求数列{an}的通项公式。

an中，若a12，an1例6 数列an中,a11,an12an1,求通项an。例7 数列 第四节 常见数列求和方法

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：Sn 例3 已知数列{an}满足an1an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。

n(a1an)n(n1)na1d 22 例2 已知数列{an}满足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。

anan的通项公式an。，求数列1an二、累加法

第1变 连续若干项之和构成的数列仍成等比数列

a10,q2，若

_______。

na1(q1)n（2）等比数列的求和公式Sna1(1q)（切记：公比含字母时一定要讨论）

(q1)1q2．公式法：

k14．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：

111

n(n1)nn1；

1111()

n(n2)2nn25．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。6．合并求和法：如求10099989721的和。7．倒序相加法：

8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法：

1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；3．转化思想的运用；（三）例题分析：例1．

2．错位相减法求和例2．已知

22223.裂项相消法求和

4.倒序相加法求和

012n例4求证：Cn3Cn5Cn(2n1)Cn(n1)2n 求值：

5．其它求和方法

还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例5．已知数列an,an2[n(1)n],求Sn。

第四节 递推数列的通项公式及前n项和综合

2242(2n)2例3.求和Sn1335(2n1)(2n1)ll thin，求数列｛an｝的前n项和Sn.

1111()

(2n1)(2n1)22n12n1nn!(n1)!n!

22 3．错位相减法：比如an等差,bn等比,求a1b1a2b2anbn的和. k2122232n2nn(n1)(2n1)

6 例1．数列{an}的前n项和为Sn，且满足a11，2Sn(n1)an.

（1）求{an}的通项公式； （2）求和Tn =

（2）设数列an的公比qfc，数列bn满足b1,bnfbn1nN,n2，

1试写出 的通项公式，并求b1b2b2b3bn1bn的结果.

bn （1）求证: an为等比数列；

例3 ．设数列an的前n项和为Sn，且Snc1can，其中c是不等于1和0的实常数.

13 f(n)最小值.

（2）函数f(n)1111(nN*,且n2)，求函数na1na2na3nanan的通项公式．（2）求数列例5．已知数列an是首项为a1 bn成等差数列；cn的前n项和Sn；（Ⅱ）求数列（Ⅰ）求证：数列

(nN)，数列cn满足cnanbn.

1（1）求证：为等差数列；

Sn an的前n项的和为Sn，且anSnSn1n2,Sn0，a1例4．已知数列1，公比q1的等比数列，设bn23log1an444（1）求数列{an}的通项公式；

2.9例2 ．已知数列{an}，a1=1，点P(an,2an1)(nN*)在直线x1y10上.2111.2a13a2(n1)an