运用交轨法探求轨迹方程问题

类　别以ａ为排头以ｂ为排头以ｃ为排头以ｄ为排头

ａｂｃｄｂａｃｄｃａｂｄｄａｂｃ

四　人　的　位　置　情　况ａｂｄｃｂａｄｃｃａｄｂｄａｃｂ

ａｃｂｄｂｃａｄｃｂａｄｄｂａｃ

ａｃｄｂｂｃｄａｃｂｄａｄｂｃａ

ａｄｂｃｂｄａｃｃｄａｂｄｃａｂ

ａｄｃｂｂｄｃａｃｄｂａｄｃｂａ

解法四(排列组合法)　由于是四人随机排成一列ꎬ与顺序有关系ꎬ所以是排列问题.用捆绑法将两个女生捆

２

绑在一起作为一个人ꎬ有Ａ３３􀅰Ａ２＝１２种排法ꎬ所有４个的

全排列有Ａ４４＝２４种排法ꎬ根据古典概型计算公式可得两位女同学相邻的概率为Ｐ＝

１２１

＝.故选Ｄ.２４２

　　由上表可知ꎬ四人随机排成一列ꎬ共有２４种等可能的结果ꎬ即ｎ＝２４ꎬ两位女同学相邻的情况有１２种等可能的结果ꎬ即ｍ＝１２.根据古典概型计算公式可得两位女同学相邻的概率为Ｐ＝

１２１

＝.故选Ｄ.２４２

点评　本解法是用排列的知识求出ｎ＝２４ꎬｍ＝１２.有一些题目既要用到排列知识ꎬ又要用到组合知识ꎬ但要注意两者的区别.　　

参考文献:

点评　在求解古典概型的概率时ꎬ经常先将总的基本事件用列表法表示ꎬ使我们更直接、更精确地找到某个事件所包含的基本事件的个数ꎬ从而很轻松地利用古典概型计算公式求出相应的概率.

[１]张天宇.一题多变吃透古典概型[Ｊ].中学生数理化(学习研究)ꎬ２０１７(０６):６９.

[责任编辑:杨惠民]

运用交轨法探求轨迹方程问题

(云南省玉溪第一中学　６５３１００)

摘　要:运用交轨法探求轨迹方程问题的关键是参数的选取.本文主要对如何选取参数及选取参数的依据是什么作一些归纳、总结、探究.

关键词:交轨法ꎻ轨迹方程ꎻ选取参数ꎻ消去参数

中图分类号:Ｇ６３２　　　　　　文献标识码:Ａ　　　　　　文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３４－００４０－０３

　　如果一个动点是两条动曲线的交点ꎬ那么选取参数并把参数看成已知数ꎬ写出这两条动曲线的方程ꎬ再联立两动曲线的方程ꎬ消去参数ꎬ或者动曲线的方程与定曲线的方程联立ꎬ消去ｘ或ｙꎬ转化为一元二次方程ꎬ再消去参数ꎬ便得到动点的轨迹方程.这种求动点的轨迹方程的方法ꎬ我们称之为交轨法.运用交轨法探求轨迹方程问题ꎬ主要是把选取的参数看成已知数ꎬ写出两条动曲线方程ꎬ关键是参数的选取ꎬ困难是参数的消去.怎么把选取的参数看成已知数ꎬ写出两条动曲线方程?如何选取参数?怎样消去参数?在这里ꎬ笔者重点对如何选取参数及选取参数的思维途径有哪些作一些归纳、总结、探究ꎬ以飨读者.

武增明

一、选取动点(ｘ０ꎬｙ０)为参数

用ꎬ那么就选取动点(ｘ０ꎬｙ０)为参数.

例１　

如果动点(ｘ０ꎬｙ０)影响动点Ｐ(ｘꎬｙ)的轨迹ꎬ起制约作

已知圆Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝４与ｘ轴交于ＡꎬＢ两点ꎬ点

Ｍ为圆Ｏ上异于ＡꎬＢ的任意一点ꎬ圆Ｏ在点Ｍ处的切线与圆Ｏ在点ＡꎬＢ处的切线分别交于点ＣꎬＤꎬ直线ＡＤ和ＢＣ交于点Ｐꎬ设Ｐ点的轨迹为曲线Ｅꎬ求曲线Ｅ的方程.

解　设Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则把ｘ０和ｙ０看成已知数ꎬ可得在点

４＋２ｘ０

Ｍ处的切线方程为ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝４ꎬ于是Ｃ(－２ꎬ)ꎬＤ

ｙ０４－２ｘ０(２ꎬ)ꎬ如图１.

ｙ０

收稿日期:２０１９－０９－０５

作者简介:武增明(１９６５.５－)ꎬ男ꎬ云南省玉溪人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学及其研究.

—４０—

(ｘ＋２)ꎬ直线ＢＣ的方程为ｙ＝(ｘ－２).

４－２ｘ０

故直线ＡＤ的方程为ｙ＝

４ｙ０

４＋２ｘ０－４ｙ０

ｘ２

因此点Ｍ的轨迹方程为－ｙ２＝１(ｘ<－３ꎬｙ<０).

９　　

二、选取动直线的斜率ｋ为参数

如果动直线的斜率ｋ影响动点Ｐ(ｘꎬｙ)的轨迹ꎬ起制约作用ꎬ那么就选取动直线的斜率ｋ为参数.

例３　(２０１４年高考广东卷􀅰文２０理２０)已知椭圆ｘ２ｙ２５Ｃ:２＋２＝１(ａ>ｂ>０)的一个焦点为(５ꎬ０)ꎬ离心率为.

２－ｘ０

ìïｙ＝(ｘ＋２)ꎬ

２ｙ０ï

的交点ꎬ所以由í消

因为动点Ｐ是动直线ＡＤ和ＢＣ

ïïîｙ＝２去ｘꎬｙ－＋２ｘｙ００(ｘ－２)ꎬ００即得所求.

由上述两式相乘ꎬ得ｙ２

＝４－－４ｘ２ｙ０２０

(ｘ２－４)ꎬ又ｘ２０＋ｙ２

０＝４ꎬ所以ｙ２

＝－ｙ２４０ｙ２０

(ｘ２

－４)ꎬ即ｘ４２＋ｙ２＝１(ｙ≠０)ꎬ从而Ｅ的方程为ｘ例２　(２０１２年高考辽宁卷４

２

＋ｙ２＝１(ｙ≠０).

􀅰文２０)如图２ꎬ动圆Ｃ１:

ｘ２

＋ｙ２

＝ｔ２

ꎬ１<ｔ<３ꎬ与椭圆Ｃ２:ｘ２

Ｄ四点９

＋ｙ２＝１相交于ＡꎬＢꎬＣꎬ

(１)ꎬ点当Ａｔ１ꎬ为何值时Ａ２分别为ꎬＣ矩形２的左ＡＢＣＤ、右顶点的面积取得最大值.并求出其最大面积ꎻ

?(２)求直线ＡＡ１与直线Ａ２Ｂ交点Ｍ的轨迹方程.解　(１)设Ａ(ｘ形ＡＢＣＤ的面积Ｓ＝４０｜ꎬｘｙ０)ꎬ则矩０｜｜ｙ０｜.

由ｘ２９０＋ｙ２０＝１ꎬ得ｙ２

０＝１－ｘ２０ꎬ从而ｘ２０ｙ２ｘ２０＝ｘ２

０(１－

１

９

－

９９０

)＝－９(ｘ２０

２)２＋９４.当ｘ２０＝

９２ꎬｙ２０＝１

２

时ꎬＳｍａｘ＝６.从而ｔ＝５时ꎬ矩形ＡＢＣＤ的面积最大ꎬ最大面积为６.(２)由Ａ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬＢ(ｘ０ꎬ－ｙ０)ꎬＡ１(－３ꎬ０)ꎬＡ２(３ꎬ０)知ꎬ直线ＡＡ１的方程为ｙ＝

ｘｙ＋０

０(ｘ＋３)ꎬ①直线Ａ２Ｂ的方程为ｙ＝

ｘ－３

０－ｙ０

３

(ｘ－３).　②由①②ꎬ得ｙ２

＝ｘ－２ｙ２０

０－９

(ｘ２－９).　③

又点Ａ(ｘ０ꎬｙ０)在椭圆Ｃ上ꎬ故ｙ２

０＝１－ｘ２９０.　④

将④代入③ꎬ得ｘ９

２

－ｙ２＝１(ｘ<－３ꎬｙ<０).

ａ(１)ｂ

圆Ｃ(２)求椭圆的两条切线相互垂直若动点ＣＰ(的标准方程３ｘꎬｙꎻ

００)为椭圆ꎬ求点ＰＣ的轨迹方程外一点ꎬ且点.

Ｐ到椭解　(１)椭圆Ｃ的标准方程为ｘ２ｙ２

(２)当ｌ设两切线为ｌ９＋４＝１(过程略).

１ꎬｌ２ꎬＰ(ｘ０ꎬｙ０).

知Ｐ(±３ꎬ１⊥±ｘ２)ꎬ轴或当ｌ１ｌ∥ｙ轴时ꎬ对应ｌ２∥ｙ轴或ｌ２⊥ｘ轴ꎬ可

１与ｘ轴不垂直且不平行时ꎬｘ０ｌ≠３ꎬ设１的斜率为ｋꎬ则ｋ≠０ꎬｌ２的斜率为－１

ｋꎬｌ１

的方程为ｙ－ｙ０＝ｋ(ｘ－ｘ０)ꎬ联立ｘ９２＋ｙ４

２

＝１ꎬ得

因为直线与椭圆相切(９ｋ２＋４)ｘ２＋１８(ꎬｙ所以０－ｋｘΔ０)＝ｋｘ０ꎬ得

＋９(ｙ０－ｋｘ０)２－３６＝０ꎬ∴９(ｙ－０－３６ｋｘｋ２０)２＋４[(ｋ２－ｙ(９ｋ２＋４)[(ｙ０－ｋｘ０)２－４]＝０ꎬ

－∴(ｘ２０－２０－ｋｘ０)２２－４]＝０ꎬ

２

ｙ９)ｋ－２ｘ０ｙ０ｋ＋ｙ０－４＝０ꎬ所以ｋ是方程(ｘ０

０ｋ＋ｙ２０(ｘ９)２ｋ２－２２ｘ０－４＝０的一个根ꎬ同理－

１

ｋ

是方程０－９)ｋ－２ｘ０ｙ∴ｋ􀅰(－１０ｋ＋ｙ２

ｋ)＝ｙ０２－４＝０的另一个根ꎬ

ｘ０２－４０－２９

ꎬ得ｘ２０＋ｙ２

０＝１３ꎬ其中ｘ０≠±３ꎬ３ꎬ所以点±２)满足上式Ｐ的轨迹方程为.

ｘ＋ｙ２＝１３(ｘ≠±３)ꎬ因为Ｐ(±

综上知ꎬ点Ｐ的轨迹方程为ｘ２评注　本题第二问ꎬ抓住相切ꎬ则判别式等于零是关键＋ｙ２＝１３.

.

三、选取动直线在ｙ轴上的截距ｂ为参数

如果动直线在ｙ轴上的截距ｂ影响动点Ｍ(ｘꎬｙ)的轨

迹ꎬ起制约作用ꎬ那么就选取动直线在ｙ轴上的截距ｂ为参数.

例４　(２０００年高考春季招生考试北京ꎬ安徽卷􀅰文２３理２２)如图３ꎬ设点Ａ和Ｂ为抛物线ｙ２上原点以外的两个动点＝ꎬ已知４ｐｘ(ｐＯＡ>０)⊥ＯＢꎬＯＭ⊥ＡＢ.求点Ｍ的轨迹方程ꎬ并说明它表示什么曲线.

—４１—

解　设直线ＯＭ的方程为ｙ＝ｋｘꎬ直线ＡＢ的方程为ｙ＝－

１

ｘ＋ｂꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则由ＯＡ⊥ＯＢꎬ得ｘ１ｘ２＋ｋ

所以点Ｐ的轨迹方程为２ａ２ｘ２＋ｙ２－２ａｙ＝０.

ｙ１ｙ２＝０.于是ｙ１ｙ２＝－１６ｐ２.

五、选取动直线的倾斜角为参数

据韦达定理ꎬ得ｙ１ｙ２＝－４ｐｋｂꎬ从而ｋｂ＝４ｐ.

１

ｘ＋ｂꎬｋ由消去ｘꎬ得ｙ２＋４ｐｋｙ－４ｐｂｋ＝０ꎬ根ｙ２＝４ｐｘꎬ

{

如果动直线的倾斜角α影响动点Ｐ(ｘꎬｙ)成迹ꎬ起制约作用ꎬ那么就选取动直线的倾斜角α为参数.

例６　定直线ｌ与ｘ轴的距离为ａꎬ交ｙ轴于点Ｎꎬ设过原点Ｏ作一直线交ｌ于点Ｑꎬ在直线ＯＱ上任取一点Ｐꎬｙ＝－

因为Ｍ是直线ＯＭ与ＡＢ的交点ꎬ所以由

ìïï

ｙ＝４í

ｂｐｘꎬï消去参数ｂꎬ得ｘ２ï＋ｙ２－４ｐｘ＝îｙ＝－故点４ｂｐｘ＋ｂꎬ

０(ｘ≠０).Ｍ的轨迹方程是(ｘ－２ｐ)２它表示以(２ｐꎬ０)为圆心ꎬ２ｐ为半径的圆＋ｙ２ꎬ去掉原点＝(２ｐ)２(.

ｘ≠０)ꎬ评注　找到ｋ与ｂ的关系式ｋｂ＝４ｐ后ꎬ直线ＯＭ的方

程和直线ＡＢ的方程都可以用ｋ来替换ｂꎬ这样两直线方程联立ꎬ消去参数ｋꎬ即得所求.　　

四、选取两线段之比λ为参数

如果两条线段之比λ影响动点Ｐ(ｘꎬｙ)的轨迹ꎬ起制

约作用ꎬ那么就选取两条线段之比λ为参数.

例５　已知常数ａ>０ꎬ在矩形ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ＝４ꎬＢＣ＝

４ａꎬＯ为ＡＢ的中点ꎬ点Ｅ、Ｆ、Ｇ分别在ＢＣ、ＣＤ、ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＧ

ＤＡꎬＰ为ＧＥ与ＯＦ的交点(如图ＤＡ４)ꎬ上移动求点Ｐꎬ且

ＢＥＣＦ的轨迹方程.

解　由题意ꎬ得Ａ(－２ꎬ０)ꎬＢ(２ꎬ０)ꎬＣ(２ꎬ４ａ)ꎬＤ(－２ꎬ４ａ).

设

ＢＥ－４λ设ꎬ４ＢＣａＰ)ꎬ＝ＣＦ(ｘＧＣＤꎬ(ｙ)ꎬ－＝ＤＧ

２ꎬ４ＤＡ

则有ａ－＝ＯＰ４λａλ(０≤＝)(.

λ≤１)ꎬ则Ｅ(２ꎬ４ａλ)ꎬＦ(２ｘꎬｙ)ꎬＯＦ得

＝(ｘ＋２ꎬｙ－４ａ＋４ａλ)ꎬＧＥ＝(４ꎬ８ａλ－＝４(２ａ)ꎬ－由４λＯＰꎬ４ａ∥)ꎬＯＦＧＰ

ꎬ

４ＧＰａｘ(由ｘ∥＝①②＋２)(８ＧＥｙ(２ꎬ得

－４λ)ꎬ　①消去参数ａλ－４ａ)λꎬ＝得点４(ｙ－Ｐ４的坐标满足方程为ａ＋４ａλ)ꎬ　②＋ｙ－２ａ２２

２ａｙ＝０.

ｘ２

—４２—

过点Ｐ作ＰＭ⊥ｘ轴ꎬ垂足为Ｍꎬ且使｜ＭＰ｜＝｜ＮＱ｜ꎬ求Ｐ点的轨迹方程.

解　因为ａ>０ꎬ所以为方便起见ꎬ设直线ｌ在ｘ轴上方ꎬＰＭ也在ｘ轴上方ꎬ如图５.

设直线ＯＰ的倾斜角为αꎬ设Ｐ(ｘꎬｙ)ꎬ则ｔａｎα.直线　①

ＯＰ的方程为ｙ＝ｘ􀅰又在Ｒｔ△ＰＯＭ中ꎬｔａｎα＝

ＰＭｘ

ꎬ在Ｒｔ△ＯＱＮ中ꎬｔａｎα＝

ＮＱａꎬ于是ｔａｎ２α＝ａｘ

.故直线ＰＭ的方程为ｘ＝由①②联立消去参数αꎬ得ｔａｎａ

２α.　②

ｙ２直线ｌ在ｘ轴下方也符合题意＝.ａｘ.故Ｐ点的轨迹方程为ｙ２运用交轨法探求轨迹方程问题＝ａｘ.

ꎬ为什么要选取参数?通过解答上述例题ꎬ我们更进一步清楚ꎬ所求的曲线是两条动曲线的交点Ｐ(ｘꎬｙ)所形成的ꎬ既然是动曲线ꎬ所以这两条动曲线的方程一定含有参数.

如何选取参数?选取参数的思维途径有哪些?选取参数的依据是什么?通过解答上述例题ꎬ我们可以发现ꎬ应该选取影响动点成迹ꎬ起制约作用的那些关键量作为参数ꎬ如斜率、点、截距、长度、角度、两线段之比等ꎬ具体

怎样选取参数ꎬ要根据题目所给条件ꎬ结合图形特点进行分析判断选取.　　

参考文献[１]符海龙.:

怎样选择参数求轨迹方程[Ｊ].中学数学研究(华南师大􀅰高中)ꎬ２００３(８):８－９.[２]杨忠鑫.交轨法求轨迹方程[Ｊ].中学数学(高

中)ꎬ１９８３(１):１４－５.

[３]谢伟.轨迹方程的求法综述[Ｊ].中学数学研究(华南师大􀅰高中)ꎬ２０１２(５):４４－６.

[４]董安妮.探析曲线与方程的求解方法[Ｊ].数理化学习(高中)ꎬ２０１８(１):１７－８.

[责任编辑:杨惠民]