高三二轮复习专题：平面向量(老师)文科

高三二轮复习专题：平面向量(老师)文科

专题平面向量

考点整合

1．向量的概念

(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.

(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，

a

a的单位向量为±.

|a|

(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．

(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．

(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影． 2．向量的运算

(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律． (2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b运算结果不仅与a，b的长度有关而且与a与b的夹角有关，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆．

真题感悟

→＝(1,2)，1．(2013·福建)在四边形ABCD中，AC

→＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) BD

A.5B．25C．5D．10

答案C

→·→＝0， 解析因为ACBD∴AC⊥BD.

1→→1

∴四边形ABCD的面积S＝|AC||BD|＝

22

×5×25＝5. 2．(2013·湖北)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，

→在CD→方向上的投影－1)、D(3,4)，则向量AB为( )

32315A.B. 2232315C. －D．－

22

答案A 3．(2013·北京)向量a，b，c在正方形网格中的

位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λ

μ＝________. 答案4

解析以向量a和b的交点为原点建立直角坐标系，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－

1λ

2且μ＝－，故μ＝4.

2

4．(2013·天津)在平行四边形ABCD中，AD＝1，

→·→＝∠BAD＝60°，E为CD的中点．若ACBE1，则AB的长为______．

1答案 2

解析在平行四边形ABCD中，取AB的中点→＝FD→， F，则BE

1→→→→→＝AD→＋AB→，∴BE＝FD＝AD－AB，又AC 2

1→→→→→→∴AC·BE＝(AD＋AB)·(AD－AB) 2

1→→→→1→22→＝AD－AD·AB＋AD·AB－AB 221→→1→22→＝|AD|＋|AD||AB|cos60°－|AB| 2211→1→2

＝1＋×|AB|－|AB|＝1.

2221

1→→→→∴2－|AB||AB|＝0，又|AB|≠0，∴|AB|＝. 2

5．(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，

BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD

2→1→→→＝AB＋2BCBC＋－1AB

2

2→21→2＝－1AB＋BC

22

21

＝－1×2＋×4＝2.

22



题型与方法

题型一向量的概念及线性运算

例1 (1)已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，

πα－1)，且a∥b，则tan等于( ) 4

11

A．3B.C．－3D．－ 33→|＝1，|OB→|＝3，OA→·→＝0，点C(2)已知|OAOB→＝mOA→＋在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设OC

m→nOB (m，n∈R)，则n＝________.

审题破题 (1)直接根据向量共线的坐标表示

πα－求tanα，再用差角公式求tan；(2)寻找4

点C满足的条件． 答案(1)C (2)3

解析(1)∵a∥b，∴cosα＝－2sinα.

1－－12π1

∴tanα＝－，∴tanα－4＝＝－3. 21

1＋－2



→|＝1，|OB→|＝3，OA→·→＝0，(2)方法一|OAOB

不妨假设点C在AB上，且∠AOC＝30°. 以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立直角坐标系，则A点坐标为

33

(1,0)，B点坐标为(0，3)，C点坐标为，，

44

→＝mOA→＋nOB→ (m，n∈R)，所以存在m＝OC

31m，n＝使假设成立，此时n＝3. 44

→|＝1，→|＝3，→·→＝0，方法二由条件|OA|OBOAOB可建立以O为原点，OA所在直线为x轴，OB

→＝(1,0)，所在直线为y轴的直角坐标系，则OA→＝(0，3)． OB

→＝mOA→＋nOB→，得OC→＝(m，3n)． 由OC

又因为∠AOC＝30°，点C在∠AOB内，

3n1n1m可得m＝tan30°＝，m＝，即n＝3.

33

反思归纳向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理．平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果a，

b不共线，那么λ1a＋λ2b＝μ1a＋μ2b的充要条件是λ1＝μ1且λ2＝μ2.共线向量定理有一个直

→＝xOB→＋yOC→，接的导出结论，即如果OA则A，B，C三点共线的充要条件是x＋y＝1.

变式训练1如图所示，在△ABC中，点O是BC

的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC

→＝mAM→，AC→＝于不同的两点M，N，若AB

14→nAN (m，n>0)，则m＋n的最小值为( ) A．2B．4

9

C.D．9 2答案C

→＝AO→－AM→ 解析MO

→＋AC→11AB11→→→＝－mAB＝2－mAB＋AC. 22

111→→→同理NO＝2－nAC＋AB，M，O，N三点

2

共线，

111111→→→→－－AC＋AB故2mAB＋AC＝λ2n， 22

111λλλ→→－－－＋即AB＋AC＝0，由于m22n22

11→→AB，AC不共线，根据平面向量基本定理－m－ 2

λ1λλ

＝0且－＋n＝0，消掉λ即得m＋n＝2， 222

14141

故m＋n＝(m＋n)m＋n

2

n4m119

＝5＋m＋n≥(5＋4)＝. 222

题型二平面向量的数量积

例2 (1)已知向量a和b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________. (2)(2012·上海)在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD

→||CN→||BM→·→的取值上的点，且满足＝，则AMAN→||CD→||BC

范围是________．

审题破题 (1)利用公式|a|2＝a·a直接计算；(2)

→，AN→都用AB→，AD→表示，利用基向量法，把AM

再求数量积．

答案(1)7 (2)[1,4]

解析(1)|5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2－10a·b＋b2

12－＝25×12－10×1×3×＋3＝49， 2

所以|5a－b|＝7.

→||CN→||BM

(2)如图所示，设＝

→||CD→||BC

→＝λBC→， ＝λ(0≤λ≤1)，则BM

→＝λCD→，DN→＝CN→－CD→ CN

→， ＝(λ－1)CD→·→＝(AB→＋BM→)·→＋DN→) ∴AMAN(AD→＋λBC→)·→＋(λ－1)CD→] ＝(AB[AD

→·→＋λBC→·→ ＝(λ－1)ABCDAD＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，

→·→取得最大值4； ∴当λ＝0时，AMAN→·→取得最小值1. 当λ＝1时，AMAN

→·→∈[1,4]． ∴AMAN反思归纳向量的数量积计算有三种方法：(1)利用向量数量积的定义，计算两个向量的模及夹角；(2)根据向量数量积的几何意义，明确向量投影的含义；(3)建立坐标系写出向量坐标，利用向量的坐标进行运算． 变式训练2 (1)(2012·天津)在△ABC中，∠A＝

→＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP

→，→＝(1－λ)AC→，→·→＝－2，λABAQλ∈R.若BQCP

则λ＝________.

2答案 3

→＝AQ→－AB→＝(1－λ)AC→－解析由题意知BQ

→， AB

→＝AP→－AC→＝λAB→－AC→，且AB→·→＝0， CPAC

→·→＝(λ－1)AC→2－λAB→2 故BQCP

2

＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝.

3

→与AC→的夹角为(2)(2013·山东)已知向量AB→|＝3，→|＝2.若A→→＋AC→，120°，且|AB|ACP＝λAB

→⊥BC→，则实数λ的值为________． 且AP

7答案

12

→⊥BC→知AP→·→＝0，→·→＝(λAB→解析由APBC即APBC→)·→－AB→)＝(λ－1)AB→·→－λA→＋AC(ACACB2＋

12→AC＝(λ－1)×3×2×－2－λ×9＋4＝0，解

7得λ＝.

12

题型三平面向量与三角函数的综合

例3已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，

c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<απ

(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相

4

应x的值；

π

(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α

3

的值．

审题破题求解本题的关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题．(1)应用向量的数量积公式可

得f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x值．注意利用换元法令t＝sin x＋cos x时，要确定t的取值范围．(2)由夹角公式及a⊥c可得关于角α的三角函数等式，通过三角恒等变换可得结果． 解(1)∵b＝(cosx，sinx)，

π

c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝，

4

∴f(x)＝b·c＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin x·cos α＝2sin xcos x＋2(sin x＋cos x)．

π

令t＝sinx＋cosx4

－1，

且－12232

则y＝t＋2t－1＝t＋－，－122

23

∴当t＝－时，ymin＝－，此时sinx＋cosx

22

2＝－. 2

π2π

即2sinx＋4＝－，∵24

ππ5π711π∴3

∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为

2

11π. 12

π

(2)∵a与b的夹角为，

3

πa·b∴cos＝＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x

3|a|·|b|

－α)．

π

∵0<α3

∵a⊥c，

∴cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0，

π2α＋∴sin(x＋α)＋2sin2α＝0，即sin＋3

2sin2α＝0.

533∴sin2α＋cos2α＝0，∴tan2α＝－. 225反思归纳在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题． 变式训练3 (2013·辽宁)设向量a＝(3sinx，

π0，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈. 2

(1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值． 解(1)由|a|2＝(3sinx)2＋sin2x＝4sin2x， |b|2＝cos2x＋sin2x＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.

π1π

又x∈0，2，从而sinx＝，所以x＝.

26

(2)f(x)＝a·b＝3sinx·cosx＋sin2x

311＝sin2x－cos2x＋ 222π1

＝sin2x－6＋，

2

πππ

当x＝∈0，2时，sin2x－6取最大值1.

3

3

所以f(x)的最大值为.

2



小题冲关

→1．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA

→＋AC→＝0且|OA→|＝|AB→|，则向量CA→在＋AB

→上的投影的长度为( ) CB

A.3B．3 C．－3D．－3 答案A

→＋AB→＋AC→＝0， 解析由OA→＋AC→＝AO→. 得AB

又O为△ABC外接圆的圆心，OB＝OC， ∴四边形ABOC为菱形，AO⊥BC. →|＝|AB→|＝2，知△AOC为等边三角形．由|OA π→→→故CA在CB上的投影的长度为|CF|＝2cos

6

＝3.

2．如图，△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝

→＝2MA→，则CM→·→＝( ) 3，点M满足BMCB

A．2B．3

C．4D．6 答案B

→·→＝(CB→＋BM→)·→＝CB→2＋CB→解析CMCBCB2→2→→→1→22→×3BA＝CB＋CB·(CA－CB)＝CB＝3.

33

3．(2013·浙江)设△ABC，P0是边AB上一定点，

1

满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，

4→·→≥P→→恒有PBPCP0B·0C，则( )





A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90° C．AB＝ACD．AC＝BC 答案D

解析设BC中点为M，

PBPB→＋PC→→－PC→

→·→＝→22－2＝PM则PBPC

221→2

－CB 4

1→22→→→同理P0B·P0C＝P0M－CB 4

→·→≥P→→∵PBPCP0B·0C恒成立， →|≥|P→∴|PM0M|恒成立． 即P0M⊥AB，

1

取AB的中点N，又P0B＝AB，

4

则CN⊥AB，∴AC＝BC.故选D. 4．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.

答案32

解析∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，

2

∴a·b＝|a|·|b|cos45°＝|b|，

222

|2a－b|＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝

2

32.

5．(2013·课标全国Ⅰ)已知两个单位向量a，b的

夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________. 答案2

解析∵c＝ta＋(1－t)b， ∴c·b＝ta·b＋(1－t)·b2 ＝t×1×1×cos60°＋(1－t)×12 11＝t＋1－t＝1－t＝0. 22∴t＝2.

6．(2013·浙江)设e1，e2为单位向量，非零向量b

π

＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，6

|x|

则的最大值等于______． |b|答案2

|x|

解析①当x＝0时，＝0；

|b|

②当x≠0时， |b|2＝(xe1＋ye2)2 ＝x2＋y2＋2xye1·e2 ＝x2＋y2＋3xy. |x||x|1∴＝22＝ yy

|b|x＋y＋3xy2＋3＋1xx

1

＝≤2.

y321＋＋x24|x|

由①②知的最大值为2.

|b|