代数学(第8讲)

第八讲 §1.9同态（续）

复习有关内容：

1，:ST，E{(a,b)SS|(a)(b)}，SS/E{a|aS}。则

有，其中:SS/E是自然映射，而:S/ET是单射。

2，设(M,,1)是一幺半群，M上的一个同余（关系）\"\"是M中的一个等价关系，且满足a,a/,b,b/M，由aa/,bb/可推出aba/b/。设是(M,,1)的一个同余关系，M关于的商集记为MM，即

M{aaM}，其中axxM,xa。a,bM，我们定义abab。

则(M,,1)是一个幺半群。称(M,,1)为关于同余关系的商幺半群。如果G是一个群，是G上的同余关系，则(G,,1)是一个群。称(G,,1)为关于同余关系的商群。

3，设G是一个群，K是G的一个子群，如果kK,gG，均有

g1kgK，则称K为G的一个正规（不变）子群。

4，设G是一个群，是G上的同余关系，那么，商群G中的恒等元

1K是G的一个正规子群，并且gG,gKggK。反之，设K是

G的一个正规子群，在G上定义关系如下：ab(modK)a1bK。 那么是G上的一个同余关系，并且gG,gKggK。 二、幺半群和群的同态基本定理

（M） 1、同态基本定理：设是幺半群M到M/的同态，那么是M/ 的（M）子幺半群；如果M是群，那么是M/ 的子群。由确定的等价关

系E,(aEb(a)(b)), 是M的一个同余关系，且有唯一的MME

到M/的同态，使得。这里是满同态，是单同态。当M和M/是群时，IK1(1/)是M的一个正规子群，MMK，:aaK，

:aK(a)。

Proof：（1）设:MM/是半群同态，那么1/(1)(M)，a/,b/(M)，

a,bM，使得(a)a/,(b)b/ 。于是a/b/(a)(b) (ab)(M)。

从而(M)是M/的一个子幺半群。

（2）如果M是一个群，由（1）知，(M)是M/的一个子幺半群。

b(M)，aM,使得(a)b,所以aa1a1a1，从而

(a)(a1)(a1)(a)1，即b(a1)(a1)b1，因此，b在M/中可逆，

并且b1(a1)(M)。于是(M)是M/的一个子群。

（3）考虑M上的等价关系E。设a1Ea2,b1Eb2，则有(a1)(a2),，

(b1)(b2)，从而(a1b1)(a1)(b1)(a2)(b2)(a2b2)。于是a1b1Ea2b2，

因此E是M上的同余关系，由第0.3节知（P11），存在唯一的导出映射:MMEM/使得，这里:MM,(a)a,(aM)是自然

映射，它是一个满映射，而是单映射。下证与都是同态。 a,bM，我们有(ab)abab(a)(b)，并且(1)1。所以是一个满同态。

a,bM，由于(a)(a)，(b)(b)，所以

(ab)(ab)(ab)(a)(b)(a)(b)，并且（）1=（1）=1/。 所以是

一个单同态。

（4）当M和M/是群时，因为E是群M上的同余关系，由Th1.6（P44）知,同余类1K是M的正规子群，而a所在的同余类为aKaKa，

显然K1(1/)，:aaK，:aK(a)。

2、设:GG/是群同态，显然imG(G)是G/的子群。再令K1(1/)，不难验证，K是G的正规子群，称为的核，记为ker，即

KerK1(1/)。不难验证是单射当且仅当Ker{1}。

，那么我们可得到因子群 设L是群G的正规子群，且LK1(1)GGaLaLLa,aG，而映射:GG,(:aaL), 是一个满同L态。现在我们定义映射:GG/(:aL(a))，则也是一个同态，称为由导出的同态。aG,(a)(aL)(a)。显然

imim，现问Ker?

由定义知，Ker{aLGL(aL)1/}{aLGL(a)1/}

{aLGLaKer}Ker，因此是K（因L是K的正规子群）LL单射KL。

推论：设:GG/是满同态，KKer，那么

:G(GK)G/,(:aK(a)),是一个同构，且G的任意同态象都同

构于某一个商群GK，K为G的某一正规子群。

§1.10 同态象的子群，两个同构定理

1、Th1.8 设K是G的正规子群，H是G的子群且KH，那么 （1）HHK是GGK的子群；

（2）映射:HH是G中包含K的子群集合到G的子群集合的一个双射；

（3）H(K)是G中的正规子群H是G的正规子群。在此情况下

GHGH(G)K(HK)。

Proof：（1）由于K是G的正规子群，所以K也是H的正规子群，因此HKH与GKG都是商群。又HG，于是H是G的子群。 （2）先证映射:HH是单射。设H1,H2是G中包含K的两个子群且满足 (H1)(H2)，即H1KH2K。下证：H1H2。

h1H1，我们有h1KH2K,于是h2H2使得h1Kh2K，因此

从而h21h1H（因。这样h1h2H2H2。所以，KH2）H1H2。h21h1K，2同理可证H2H1，因此H2H1。这说明映射:HH是单射。下证

:HH是满射。

设N是G的任一个子群。令H{aK|aKN}，显然KH。

h1,h2H，a,bG使得h1aKN,h2bKN，所以 h1ak1,h2bk2，

其中k1,k2K。于是h1Kak1KaKN，h2Kbk2KbKN，所以

(h1K)(h2K)(h1h2)KN，从而h1h2H。类似可证h11H。于是H是G

的一个子群。下证NH。

aKN, 我们有aKHaH，所以aKH；反之，hKH, 我

们有hH。由上述证明知hKN。于是NH。因此映射:HH是满射，从而:HH是双射。

（3）如果H是G的正规子群，那么aH,gG，我们有

，所以H是G的正规子群。反之，g1agg1agH（因为g1agH）如果H是G的正规子群，那么

hH,gG,(g1hg)K(gK)1(hK)(gK)H，从而存在hH，使得(g1hg)KhK，于是g1hghKhHH，即g1hgH。所以H是G

的正规子群。在此情况下作映射

:GG,(gg),与:GGH,(:ggH)。考察的核，其中

:GGH是满同态。

Ker{gG|(g)H}{gG|((g))H}gG(g)HgGgHHgGgHgGgh,hHgG|gKhK,hHgG|ghK,hHgG|gHH.

(因为KH)所以GHGH。证毕。

2，Th1.8/ （1）设:GG/是满同态， HH是G的子群且HK=Ker，

H/H/是G/的子群。那么映射H|(H)是与/的一一对应。

（2）H在G中正规当且仅当(H)在G/中正规。在此情况下：

gH|(g)(H)是G到G(H)的同构。 H/注：Th1.8/ （2）的第二个结论称为群的第一同构定理

3、Th1.9（群的第二同构定理）：设H与K是G的子群，且K在G中正规，那么

（1）HKhk|hH,kK是G中含K的子群；

（2）HK是H中的正规子群，且映射hK|h(HK),hH是HKK到

HHK的同构映射，即HKKHHK。

Proof：（1）因为K在G中正规，则对于任意hH，均有hKKh。对于任意a,bHK，我们有ah1k1,bh2k2,其中h1,h2H,k1,k2K。所以

abh1k1h2k2(h1K)(h2K)h1(Kh2)Kh1(h2K)Kh1h2KKHK，同时1HK。

又a1k11h11Kh11h11KHK，所以HK是G的一个子群。显然

HK1KK，且K是群HK的正规子群。

（2）设:GGGK,(:ggK)，作/H。那么Im/{hK|hH}。 因为hH,kK,hkKhK，所以Im/{(hk)K|hH,kK}HKK。即

/:HHKK。从而Ker/{hH/(h)K}{hHhKK}，又因为

hKKhK，所以Ker/HK。从而HKKHHK。证毕。

3、习题课 P63，7

Proof：（1）证明GLAutG是G的一个变换群。 （a）,Is1LIsGLAutG；

（b）,GLAutG，则有aL，其中aLGL，AutG。取

111(a)，则有GLAutG，于是L111xG,(x)((x))(aL(x))(aL((x)))(a)L(a(x))

111(a)((a)x)1(a1)1(a)x=1(a1a)x=1(1)xx。同理可证 =L(x)x。Is，即1GLAutG。

（c）1,2GLAutG，我们有1aL1,2bL2，其中1,2AutG。

xG,我们有12(x)aL1bL2(x)a(1(b2(x)))a(1(b)12(x))a1(b)L12(x),所以12a1(b)L12GLAutG。 GLAutG是一个变换群。

(2)、GRaR1LaRAutGGLAutG.

(3)、1aL1,2bL2GLAutG.如果aL1bL2,那么xG,

a1(x)b2(x).若取x1，则有1(x)2(x)1，从而ab，进而12。

所以GLAutGGLAutG。因此当G为有限时，HolGGLAutG。 作业：P63：3，6；P67：1.