2022年中考模拟考试《数学试题》含答案解析

学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________

一．选择题

1.﹣3的倒数是( ) A. －

1 3B. ﹣3 C. 3 D.

1 32.2019年10月1日在北京天安门广场举行隆重的国庆70周年庆祝活动，在阅兵和群众游行活动中，共有约15万人参加．则15万用科学记数法表示为( ) A. 1.5×10

B. 15×104

C. 1.5×105

D. 1.5×106

3.下列运算正确的是( ) A. (a2)3＝a5 C. (a+b)2＝a2+b2

4.下列图标中，不是中心对称图形是( ) A.

B.

C.

D.

B. a8÷a4＝a2

D. (a﹣b)(a+b)＝a2﹣b2

5.某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如下： 锻炼时间/h 人数

则这35名学生在校一周体育锻炼时间中位数和众数分别为( ) A. 6h，6h

B. 6h，15h

C. 6.5h，6h

D. 6.5h，15h

5 6 6 15 7 10 8 4 6.如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是( )

A. B.

C. D.

7.一个透明的袋中只装有2个红球和3个蓝球，它们除颜色外其余均相同，现随机从袋中摸出两个球、颜色是一红一蓝的概率是( ) A.

1 6B.

3 5C.

3 10D.

12 258.用反证法证明命题”四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应首先假设这个四边形中( ) A. 没有一个角是锐角 B. 每一个角都钝角或直角 C. 至少有一个角是钝角或直角 D. 所有角都是锐角

9.如图，圆中两条弦AC，BD相交于点P．点D是AC的中点，连结AB，BC，CD，若BP＝3，AP＝1，PC＝3．则线段CD的长为( )

A. 6

B. 2

C. 3 D. 5

10.如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，AC⊥BC，AB⊥AD，CA＝CD．若tan∠BAC＝的值是( )

3．则tan∠DBC3

A.

21 14B.

1 3C.

57 14D.

3 511.如图，梯形ABCD被分割成两个小梯形①②，和一个小正方形③，去掉③后，①和②可剪拼成一个新的梯形，若EF﹣AD＝2，BC﹣EF＝1，则AB的长是( )

A. 6

B. 35 C. 9

D. 310

12.如图，圆心为M的量角器的直径的两个端点A，B分别在x轴，y轴正半轴上(包括原点O)，AB＝4．点P，Q分别在量角器60°，120°刻度线外端，连结MP．量角器从点A与点Q重合滑动至点Q与点O重合的过程中，线段MP扫过的面积为( )

A.

2π+3 3B.

4π 3C.

2π+23 3D. 33 二．填空题

13.因式分解：3a2-6a= ． 14.在函数y1中，自变量的取值范围是________． x315.抛物线y＝x2+4x+5向右平移3个单位，再向下平移4个单位所得抛物线的解析式为_____．

16.一个底面半径是3cm的圆锥，其侧面展开图是圆心角为135°的扇形，则这个圆锥的侧面积为_____cm2． 17.如图，点D是Rt△ABC斜边AB的中点，点E在边AC上．△A'B′C′与△ABC关于直线BE对称，连结A′C．且∠CA′C'＝90°．若AC＝4，BC＝3．则AE的长为_____．

18.如图，直线y＝﹣

41x+2分别与x轴，y轴交于点A，B，点C是反比例函数y＝的图象在第一象限内2x一动点．过点C作直线CD⊥AB．交x轴于点D，交AB于点E．则CE：DE的最小值为_____．

三．解答题

19.解不等式

2x1x1+1≥．并把此不等式的解表示在数轴上． 23

20.如图，在6×5网格(小正方形边长为1)中，Rt△ABC的三个顶点都在格点上． (1)在网格中，找到格点D，使四边形ACBD的面积为10，并画出这个四边形．

(2)借助网格、只用直尺(无刻度)在AB上找一点E，使△AEC为等腰三角形，且AE＝AC．

21.某初中为加强学生体质，开展了足球，排球、篮球三门拓展性课程以供学生选择，每位学生必须在三项中选择一项进行报名;选课结束后，将八年级学生选课结果绘制成了如下所示的两个统计图(部分信息未给出)，已知该校八年级男生人数比女生多15人，女生选择排球人数是男生选择排球人数的3倍．

(1)求该校八年级女生人数． (2)补全条形统计图．

(3)小甬经过计算，发现八年级学生选择足球的人数占八年级学生总人数的三分之一．小甬就认为全校有三分之一的学生选报了足球．你认为小甬的想法合理吗?为什么?

22.小甬工作的办公楼(矩形ABCD)前有一旗杆MN，MN⊥DN，旗杆高为12m，在办公楼底A处测得旗杆顶的仰角为30°，在办公楼天台B处测旗杆顶的仰角为45°，在小甬所在办公室楼层E处测得旗杆顶的俯角为15°．

(1)办公楼的高度AB;

(2)求小甬所在办公室楼层高度AE．

23.如图，以▱ABCD的边BC为直径的⊙O交对角线AC于点E，交CD于点F．连结BF．过点E作EG⊥CD于点G，EG是⊙O的切线． (1)求证：▱ABCD是菱形;

(2)已知EG＝2，DG＝1．求CF的长．

24.为推广劳动教育，美化校园环境，学校决定在农场基地铺设一条观景小道．经设计，铺设这条小道需A，B两种型号石砖共200块．已知：购买3块A型石砖，2块B型石砖需要110元;购买5块A型石砖，4块B型石砖需要200元．

(1)求A，B两种型号石砖单价各为多少元?

(2)已知B型石砖正在进行促销活动：购买B型石砖数量在60块以内(包括60块)时，不优惠;购买B型石砖数量超过60块时，每超过1块，购买的所有B型石砖单价均降0.05元，问：学校采购石砖，最多需要多少预算经费?

25.若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为”弱等腰三角形”，这条角平分线AD是△ABC的角平分线，叫做这个三角形的”弱线”，如图①，当AD＝AB时，则△ABC是”弱等腰三角形”，线段AD是△ABC的”弱线”．

(1)如图②，在△ABC中．∠B＝60°，∠C＝45°．求证：△ABC是”弱等腰三角形”;

(2)如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以B为圆心在矩形内部作AE，交BC于点E，点F是AE上一点，连结CF．且CF与AE有另一个交点G．连结BG．当BG是△BCF的”弱线”时，求CG的长． (3)已知△ABC是”弱等腰三角形”，AD是”弱线”，且AB＝3BD，求AC：BC的值．

26.如图①，点G是等边三角形AOB的外心，点A在第一象限，点B坐标为(4，0)，连结OG．抛物线y＝ax(x﹣2)+1+3的顶点为P．

(1)直接写出点A的坐标与抛物线的对称轴; (2)连结OP，求当∠AOG＝2∠AOP时a的值．

D分别为抛物线和线段AB上的动点，(3)如图②，若抛物线开口向上，点C，以CD为底边构造顶角为120°的等腰三角形CDE(点C，D，E成逆时针顺序)，连结GE． ①点Q在x轴上，当四边形GDQO为平行四边形时，求GQ的值; ②当GE的最小值为1时，求抛物线的解析式．

答案与解析

一．选择题

1.﹣3的倒数是( ) A. －

1 3B. ﹣3 C. 3 D.

1 3【答案】A 【解析】 【分析】

根据倒数的概念直接写出即可. 【详解】﹣3的倒数是－故选A.

【点睛】本题是对倒数的考查，熟练掌握倒数知识是解决本题的关键，难度较小.

2.2019年10月1日在北京天安门广场举行隆重的国庆70周年庆祝活动，在阅兵和群众游行活动中，共有约15万人参加．则15万用科学记数法表示为( ) A. 1.5×10 【答案】C 【解析】 【分析】

10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小科学记数法表示形式为a×

数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数;当原数的绝对值＜1时，n是负数．

105．故选：C． 【详解】15万用科学记数法表示为1.5×

【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的应用. 3.下列运算正确的是( ) A. (a2)3＝a5 C. (a+b)2＝a2+b2 【答案】D 【解析】 【分析】

分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及完全平方公式，平方差公式逐一判断即可． 【详解】A．(a2)3＝a6，故本选项不合题意;

B. a8÷a4＝a2

D. (a﹣b)(a+b)＝a2﹣b2

B. 15×104

C. 1.5×105

D. 1.5×106

1， 3B．a8÷a4＝a4，故本选项不合题意;

C．(a+b)2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意; D．(a﹣b)(a+b)＝a2﹣b2，故本选项符合题意． 故选：D．

【点睛】本题考查幂的乘方运算法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握幂的乘方运算法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式和平方差公式. 4.下列图标中，不是中心对称图形的是( ) A. 【答案】B 【解析】 【分析】

根据中心对称图形的概念求解．

【详解】A、是中心对称图形，故此选项不合题意; B、不是中心对称图形，故此选项符合题意; C、是中心对称图形，故此选项不合题意; D、是中心对称图形，故此选项不合题意; 故选：B．

【点睛】本题考查中心对称图形的概念，解题的关键是掌握中心对称图形的概念. 5.某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如下： 锻炼时间/h 人数

则这35名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为( ) A. 6h，6h 【答案】A 【解析】 【分析】

直接利用众数和中位数的概念求解即可得到答案． 【详解】解：∵锻炼6h的人人数最多，

B. 6h，15h

C. 6.5h，6h

D. 6.5h，15h

5 6 6 15 7 10 8 4

B.

C.

D.

∴这组数据的众数为6h， 又∵调查总人数为35人，

中位数为第18个数据，即中位数为6h， 故选：A．

【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的概念． 6.如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是( )

A. B.

C. D.

【答案】A 【解析】 【分析】

根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．

【详解】从前往后看，该几何体从左至右有3列，第1列有1个正方形，第2列有2个正方形，第3列有1个正方形，故选A.

【点睛】小正方体组合体三视图的判断方法： (1)找准所判断视图的观察方向; (2)从视图的观察方向看几何体：

①判断主视图时，从前往后看，几何体从左往右有列，每一列最高有层，对应到主视图中即有列，每一列即有个正方形，并注意正方形的摆放位置;

②判断左视图时，从左往右看，几何体从左往右有列，每一列最高有层，对应到左视图中即有列，每一列即有个正方形，并注意正方形的摆放位置;

③判断俯视图时，从上往下看，几何体从前往后有行，每一行有个，对应到俯视图即有行，每行有个正方形，并注意正方形的摆放位置.

7.一个透明的袋中只装有2个红球和3个蓝球，它们除颜色外其余均相同，现随机从袋中摸出两个球、颜色是一红一蓝的概率是( ) A.

1 6B.

3 5C.

3 10D.

12 25【答案】B 【解析】 【分析】

列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色是一红一蓝结果数，再利用概率公式计算可得． 【详解】列表如下：

红 红 红 蓝 红 红 红 蓝 蓝

由表知共有20种等可能结果，其中这两个球颜色是一红一蓝有12种结果，所以这两个球颜色是一红一蓝概率＝

红红 红红 蓝红 蓝红 红红 红红 蓝红 蓝红 红红 红红 蓝红 蓝红 红蓝 红蓝 红蓝 蓝蓝 蓝 红蓝 红蓝 红蓝 蓝蓝 123＝，故选：B． 205【点睛】本题考查列表法求概率，解题的关键是掌握列表法求概率.

8.用反证法证明命题”四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应首先假设这个四边形中( ) A. 没有一个角是锐角 B. 每一个角都是钝角或直角 C. 至少有一个角是钝角或直角 D. 所有角都是锐角 【答案】D 【解析】 【分析】

反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．

【详解】用反证法证明”四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有角都是锐角．故选：D．

【点睛】本题考查反证法和四边形内角和，解题的关键是掌握反证法和四边形内角和.

9.如图，圆中两条弦AC，BD相交于点P．点D是AC的中点，连结AB，BC，CD，若BP＝3，AP＝1，PC＝3．则线段CD的长为( )

A.

6

B. 2 C.

3 D.

5 【答案】A 【解析】 【分析】

连接OD交AC于H，如图，先利用垂径定理得到OD⊥AC，AH＝CH＝2，则PH＝1，再根据相交弦定理计算出PD＝3，然后利用勾股定理先计算出DH，在计算CD即可得到答案． 【详解】解：连接OD交AC于H，如图，

∵点D是AC的中点，

∴OD⊥AC，AH＝CH＝2(垂径定理)， ∴PH＝1， ∵AP•PC＝BP•PD， ∴PD＝13＝3， 3在Rt△PDH中，DH＝在Rt△DCH中，CD＝故选：A．

223122(勾股定理)，

226(勾股定理)，

2【点睛】本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．也考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．

10.如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，AC⊥BC，AB⊥AD，CA＝CD．若tan∠BAC＝的值是( )

3．则tan∠DBC3

A.

21 14B.

1 3C.

57 14D.

3 5【答案】D 【解析】 【分析】 根据tan∠BAC＝

3，得出∠BAC的度数，则在Rt△ACB中，设BC＝1，则AC＝3;证明△CAD为等3边三角形，过点D作DE⊥CA，交CA于点E，设CA与BD交于点F，则DE∥BC，从而∠DBC＝∠FDE，设CF＝x，则EF＝的值．

【详解】∵tan∠BAC＝∴∠BAC＝30°， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°，

3﹣x，根据tan∠DBC＝tan∠FDE列出关于x的方程，解得x值，则可求得tan∠DBC23， 3∴设BC＝1，则AC＝3， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD＝90°， ∴∠DAC＝60°， ∵CA＝CD，

∴△CAD为等边三角形，

过点D作DE⊥CA，交CA于点E，设CA与BD交于点F，如图，

则有：CE＝

1333AC＝，DE＝AD•sin60°＝3×＝， 2222设CF＝x，则EF＝3﹣x， 2∵AC⊥BC，DE⊥CA， ∴DE∥BC， ∴∠DBC＝∠FDE， ∴tan∠DBC＝tan∠FDE， ∴

CFEF BCDE3xx2∴＝， 312解得：x＝

3， 5∴tan∠DBC＝故选：D．

x3＝． 15【点睛】本题考查解直角三角形、等边三角形的判定与性质，明确锐角三角函数的定义及特殊角的函数值是解题的关键．

11.如图，梯形ABCD被分割成两个小梯形①②，和一个小正方形③，去掉③后，①和②可剪拼成一个新的梯形，若EF﹣AD＝2，BC﹣EF＝1，则AB的长是( )

A. 6 【答案】C 【解析】 【分析】

B. 35 C. 9

D. 310

连接AH交EF于点K，根据EF﹣AD＝2，BC﹣EF＝1，可得BC﹣AD＝3，由图象剪拼观察可得，AD＝HC，四边形AHCD是平行四边形，再证明△AEK∽△ABH，可得AB的长． 【详解】解：如图，

连接AH交EF于点K， ∵EF﹣AD＝2，BC﹣EF＝1， ∴BC﹣AD＝3， 由图象剪拼观察可知： AD＝HC，

∴四边形AHCD是平行四边形， ∴BC﹣AD＝BC﹣HC＝3， KF＝AD，EK＝2， ∵③为正方形， ∴EB＝BH＝3， ∵EK∥BH，

∵△AEK∽△ABH，

AEEK=， ABBHAB-32=， 即

AB3∴

解得AB＝9． 故选：C．

【点睛】本题考查了图形的剪拼，梯形的性质，掌握相似三角形的性质是解决本题关键．

12.如图，圆心为M的量角器的直径的两个端点A，B分别在x轴，y轴正半轴上(包括原点O)，AB＝4．点P，Q分别在量角器60°，120°刻度线外端，连结MP．量角器从点A与点Q重合滑动至点Q与点O重合的过程中，线段MP扫过的面积为( )

A.

2π+3 3B.

4π 3C.

2π+23 3D. 33 【答案】C 【解析】 【分析】

MP扫过的图形是由两个边长为2的等边三角形与一个扇形组成，按照扇形面积公式和三角形面积公式计算即可得到答案．

【详解】解：由题意可知，点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径，圆心角为60°的扇形， 点P在第四象限内时，∠AOB是弧AP所对的圆周角，所以∠AOP＝30°，

点P在第二象限内时，∠BOP是弧BP所对的圆周角，所以∠BOP＝60°，所以点P的运动路径是一条线段， 当量角器从点A与O重合滑动至点Q与点O重合时，MP扫过的图形是如图所示的阴影部分，

它是由两个边长为2的等边三角形与一个扇形组成，所以PM扫过的面积为：

60223222223 ，

36043故选：C．

【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算和等边三角形的面积计算，正确分析出MP扫过的图形并明确扇形的面积计算公式是解题的关键．

二．填空题

13.因式分解：3a2-6a= ． 【答案】3a(a-2)． 【解析】

试题解析：3a2-6a=3a(a-2)． 考点：因式分解-提公因式法． 14.在函数y【答案】x≠3 【解析】 【分析】

根据分式有意义的条件，即可求解． 【详解】∵在函数y∴x≠3． 故答案是：x≠3．

【点睛】本题主要考查函数的自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于零，是解题的关键． 15.抛物线y＝x2+4x+5向右平移3个单位，再向下平移4个单位所得抛物线的解析式为_____． 【答案】y(x1)3 【解析】 【分析】

直接利用配方法得出二次函数顶点式，再利用二次函数平移的性质得出答案． 【详解】解：yx4x5(x2)1,

∵抛物线y＝x2+4x+5向右平移3个单位，再向下平移4个单位， ∴所得抛物线的解析式为：y(x1)3, 故答案为：y(x1)3.

222221中，自变量的取值范围是________． x31中，x-3≠0， x3【点睛】此题主要考查了二次函数的平移，正确掌握平移规律是解题关键．

16.一个底面半径是3cm的圆锥，其侧面展开图是圆心角为135°的扇形，则这个圆锥的侧面积为_____cm2． 【答案】24π 【解析】 【分析】

设圆锥的母线长为cm，利用弧长公式得到2π×3＝圆锥的侧面积．

【详解】解：设圆锥的母线长为cm，

135R ，解得＝8，然后利用扇形的面积公式计算这个180135R，解得＝8， 18012所以这个圆锥的侧面积＝23824(cm).

2根据题意得2π×3＝故答案为：24π．

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

17.如图，点D是Rt△ABC斜边AB的中点，点E在边AC上．△A'B′C′与△ABC关于直线BE对称，连结A′C．且∠CA′C'＝90°．若AC＝4，BC＝3．则AE的长为_____．

【答案】【解析】 分析】

7 8由轴对称的性质和直角三角形斜边中线的性质得：CD＝C'D＝A'D＝

11AB＝A'B'，证明22△A'CC'≌△C'B'A'(HL)，得A'C＝C'B'＝CB＝3，设AE＝x，则CE＝4﹣x，根据勾股定理列方程可得结论． 【详解】解：连接CD，C'D，

∵∠CA'C'＝90°，

由轴对称性质得：CD＝C'D＝A'D＝∴C、D、C'三点共线， ∴CC'＝A'B'，

∵△A'CC'≌△C'B'A'(HL)， ∴A'C＝C'B'＝CB＝3， 设AE＝x，则CE＝4﹣x， ∵AE＝A'E，

在Rt△A'EC中，由勾股定理得：x232(4x)2， 解得：x∴AE＝

11AB＝A'B'， 227, 87， 87故答案为：．

8【点睛】本题考查了轴对称、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想解决问题，属于中考填空题的压轴题． 18.如图，直线y＝﹣

41x+2分别与x轴，y轴交于点A，B，点C是反比例函数y＝的图象在第一象限内2x一动点．过点C作直线CD⊥AB．交x轴于点D，交AB于点E．则CE：DE的最小值为_____．

【答案】【解析】 【分析】

2 3B的坐标，连接AC，根据题意得到A、以及△ADE∽△ABO，即可求得

DEBO1CE＝＝，进一步求得

DEAEAO2＝

42CECE＝2tan∠CAE，当∠CAE最小，即AC与双曲线(x＞0)只有一个交点时，最小，设AC的解AEDExykx4k4析式为y＝kx﹣4k，则，消去y整理得到kx2﹣4kx﹣4＝0，当AC与双曲线(x＞0)只有一个4yxx交点时，△＝16k2+16k＝0，解得k的值，即可求得AC的解析式，进而求得C，D、E的坐标，然后根据平行线分线段成比例求得CE：DE的最小值为【详解】解：如图，连接AC，

2． 3

∵直线y＝﹣

1x+2分别与x轴，y轴交于点A，B， 2∴A(4，0)，B(0，2)， ∵CD⊥AB，

∴∠AED＝∠AOB＝90°， ∵∠DAE＝∠BAO， ∴△ADE∽△ABO，

DEBO1＝＝， AEAO2CE2CE∴＝＝2tan∠CAE， DEAE∴

∴当∠CAE最小，即AC与双曲线

4CE(x＞0)只有一个交点时，最小，

DExykx4k设AC的解析式为y＝kx﹣4k，则，消去y整理得：kx2﹣4kx﹣4＝0， 4yx当AC与双曲线

4(x＞0)只有一个交点时，△＝16k2+16k＝0，解得k＝﹣1或k＝0(舍去)， x∴AC解析式为y＝﹣x+4，

yx4x2解得， 4y2yx∴C(2，2)，

设CD的解析式为y＝2x+n，则2＝4+n， 解得n＝﹣2，

∴CD的解析式为y＝2x﹣2， ∴D(1，0)，

8y2x2x5解得， 16yx2y25∴E(

86，)， 55过E点作MN⊥x轴于N，交过C点与x轴平行的直线于M， ∴MC∥DN，

8CECM5＝2， ∴＝＝

8DEDN1352故答案为．

32【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，解直角三角形以及三角形相似的判定和性质，求得交点坐标是解题的关键．

三．解答题

19.解不等式

2x1x1+1≥．并把此不等式解表示在数轴上． 23

【答案】x≤1，见解析 【解析】 【分析】

先去分母再去括号移项合并，最后系数化为1，可解不等式，再在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：去分母得： 3(x﹣1)+6≥2(2x+1)， 去括号得：3x﹣3+6≥4x+2， 移项合并同类项得：﹣x≥﹣1， 故不等式的解集为：x≤1，

在数轴上表示不等式的解集，如图所示：

．

【点睛】本题主要考查解不等式并在数轴上表示不等式的解集，掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． 20.如图，在6×5的网格(小正方形边长为1)中，Rt△ABC的三个顶点都在格点上． (1)在网格中，找到格点D，使四边形ACBD的面积为10，并画出这个四边形．

(2)借助网格、只用直尺(无刻度)在AB上找一点E，使△AEC为等腰三角形，且AE＝AC．

【答案】(1)见解析;(2)见解析 【解析】 【分析】

(1)根据网格，即可找到格点D，使四边形ACBD的面积为10，并画出这个四边形; (2)借助网格、只用直尺即可在AB上找一点E，使△AEC为等腰三角形，且AE＝AC． 【详解】(1)在点B上方两格处找到格点D，连接DA，如图，

此时S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC=四边形ACBD即为所求;

11244310 22(2)连接DC与AB交于点E，点E即为所求．如图，

【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质． 21.某初中为加强学生体质，开展了足球，排球、篮球三门拓展性课程以供学生选择，每位学生必须在三项中选择一项进行报名;选课结束后，将八年级学生选课结果绘制成了如下所示的两个统计图(部分信息未给

出)，已知该校八年级男生人数比女生多15人，女生选择排球人数是男生选择排球人数的3倍．

(1)求该校八年级女生人数． (2)补全条形统计图．

(3)小甬经过计算，发现八年级学生选择足球的人数占八年级学生总人数的三分之一．小甬就认为全校有三分之一的学生选报了足球．你认为小甬的想法合理吗?为什么?

【答案】(1)该校八年级女生人数为75人;(2)见解析;(3)不合理，见解析 【解析】 【分析】

(1)先根据题意算算出选择排球的女生的人数，再用选择排球的女生人数除以所占的百分比即可得到八年级女生总人数;

(2)用女生人数加15得到八年级男生总人数，再用男生总人数减去选足球和排球的人数即可得到选篮球的人数，再补全条形统计图即可;

(3)根据样本只选择了八年级，不具有代表性即可得到结论． 【详解】解：(1)∵女生选择排球人数是男生选择排球人数的3倍, 3)人， ∴根据条形图得到女生选择排球的人数为：(15×

用女生选择排球的人数除以所占的百分比得到八年级女生总人数为： 3)÷60%＝75(人)， (15×

答：该校八年级女生人数为75人; (2)根据题意，结合(1)的结果得到：

八年级男生选择篮球人数为75+15﹣40﹣15＝35(人)， 补全条形统计图如图所示;

(3)不合理，

因为样本只选择了八年级，不具有代表性．

【点睛】本题主要考查条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．

22.小甬工作的办公楼(矩形ABCD)前有一旗杆MN，MN⊥DN，旗杆高为12m，在办公楼底A处测得旗杆顶的仰角为30°，在办公楼天台B处测旗杆顶的仰角为45°，在小甬所在办公室楼层E处测得旗杆顶的俯角为15°．

(1)办公楼的高度AB;

(2)求小甬所在办公室楼层的高度AE．

【答案】(1)办公楼的高度AB为(12+123)m;(2)小甬所在办公室楼层的高度AE为(243﹣24)m 【解析】 【分析】

(1)过点M作MH⊥AB于点H，可得四边形MNAH是矩形，再根据锐角三角函数即可求出办公楼的高度AB;

(2)过点E作EQ⊥AM于点Q，设AE＝x，则AQ＝x•cos60°＝

13x，MQ＝EQ＝x•sin60°＝x，由AM＝222MN＝24，列出方程即可求出小甬所在办公室楼层的高度AE． 【详解】(1)如图，过点M作MH⊥AB于点H，

∵MN⊥DN，∠BAN＝90°， ∴四边形MNAH是矩形， ∴AH＝MN＝12， MH∥AN∥BC，

∴∠AMH＝∠MAN＝30°， 在Rt△AMH中，MH＝∵∠BMH＝45°， ∴BH＝MH＝123， ∴AB＝AH+BH＝12+123．

答：办公楼的高度AB为(12+123)m． (2)过点E作EQ⊥AM于点Q， 由(1)得，∠EAQ＝60°，

∴∠EMQ＝180°﹣∠EAM﹣∠AEM＝180°﹣60°﹣75°＝45°， 设AE＝x，则AQ＝x•cos60°＝

AH＝123， tan301x， 2MQ＝EQ＝x•sin60°＝由AM＝2MN＝24，

3x， 2x3x＝24， +22解得x＝243﹣24(m)．

答：小甬所在办公室楼层的高度AE为(243﹣24)m．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 23.如图，以▱ABCD的边BC为直径的⊙O交对角线AC于点E，交CD于点F．连结BF．过点E作EG⊥CD

于点G，EG是⊙O的切线． (1)求证：▱ABCD是菱形;

(2)已知EG＝2，DG＝1．求CF的长．

【答案】(1)见解析;(2)3 【解析】 【分析】

(1)如图，连接OE，根据切线的性质得到OE⊥EG，根据平行四边形的性质得到OE∥CD∥AB，推出AB＝BC，于是得到结论;

(2)如图，连接BD，由(1)得，CE：AC＝1：2，得到点E是AC的中点，根据圆周角定理得到BF⊥CD，根据相似三角形的性质得到DF＝2，BF＝4，由勾股定理即可得到结论． 【详解】(1)证明：如图，连接OE， ∵EG是⊙O的切线， ∴OE⊥EG， ∵EG⊥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OE∥CD∥AB， ∴∠CEO＝∠CAB， ∵OC＝OE， ∴∠CEO＝∠ECO， ∴∠ACB＝∠CAB， ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形; (2)如图，连接BD，

由(1)得，OE∥CD，OC＝OB， ∴AE＝CE， ∴CE：AC＝1：2， ∴点E是AC的中点，

∵四边形ABCD是菱形， ∴BD经过点E， ∵BC是⊙O的直径， ∴BF⊥CD， ∵EG⊥CD， ∴EG∥BF， ∴△DGE∽△DFB，

∴DG：DF＝GE：BF＝DE：BD＝1：2， ∴DF＝2，BF＝4，

在Rt△BFC中，设CF＝x，则BC＝x+2， 由勾股定理得，x2+42＝(x+2)2， 解得：x＝3， ∴CF＝3．

【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

24.为推广劳动教育，美化校园环境，学校决定在农场基地铺设一条观景小道．经设计，铺设这条小道需A，B两种型号石砖共200块．已知：购买3块A型石砖，2块B型石砖需要110元;购买5块A型石砖，4块B型石砖需要200元．

(1)求A，B两种型号石砖单价各为多少元?

(2)已知B型石砖正在进行促销活动：购买B型石砖数量在60块以内(包括60块)时，不优惠;购买B型石砖数量超过60块时，每超过1块，购买的所有B型石砖单价均降0.05元，问：学校采购石砖，最多需要多少预算经费?

【答案】(1)A，B两种型号石砖单价分别为20元，25元;(2)学校采购石砖，最多需要4320元预算经费 【解析】 【分析】

(1)设A，B两种型号石砖单价分别为x元，y元，根据”购买3块A型石砖，2块B型石砖需要110元;购买3块A型石砖，4块B型石砖需要200元”列方程组解得即可;

(2)设购买B型石砖m块，采购石所需费用为W元，结合m的范围得出W与m的关系式，利用一次函数的性质解答即可．

【详解】解：(1)设A，B两种型号石砖单价分别为x元，y元，

3x2y110 5x4y200x20解答

y25∴A，B两种型号石砖单价分别为20元，25元． (2)设购买B型石砖m块，采购石所需费用为W元， 当0＜m≤60时，W＝20(200﹣m)+25m＝5m+4000， 可知，当m＝60时，W最大＝4300元; 当60＜m≤200时，

W＝20(200﹣m)+m[25﹣0.05(m﹣60)]＝﹣0.05m2+8m+4000＝﹣0.05(m﹣80)2+4320， 可知，当m＝80时，W最大＝4320元;

答：学校采购石砖，最多需要4320元预算经费．

【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，利用方程的思想和不等式的思想解答．

25.若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为”弱等腰三角形”，这条角平分线AD是△ABC的角平分线，叫做这个三角形的”弱线”，如图①，当AD＝AB时，则△ABC是”弱等腰三角形”，线段AD是△ABC的”弱线”．

(1)如图②，在△ABC中．∠B＝60°，∠C＝45°．求证：△ABC是”弱等腰三角形”;

(2)如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以B为圆心在矩形内部作AE，交BC于点E，点F是AE上一点，连结CF．且CF与AE有另一个交点G．连结BG．当BG是△BCF的”弱线”时，求CG的长． (3)已知△ABC是”弱等腰三角形”，AD是”弱线”，且AB＝3BD，求AC：BC的值． 【答案】(1)见解析;(2)2;(3)24：17 【解析】

【分析】

(1)根据角平分线的定义得到∠DBC＝

1∠ABC＝30°，根据三角形的内角和得到∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C2＝180°﹣60°﹣45°＝75°，于是得到结论;

(2)如图③，连接EG，根据角平分线的定义得到∠FBG＝∠GBE，根据全等三角形的性质得到∠BGF＝∠BGE，根据相似三角形的性质即可得到结论;

(3)①如图④，当AB＝AD时，在AC上取一点E，使得AE＝AB，连接DE，根据角平分线的定义得到∠FBG＝∠GBE，根据全等三角形的性质得到∠BGF＝∠BGE，根据相似三角形的性质即可得到结论;②当AC＝AD时，如图⑤，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE，同理可得结论． 【详解】(1)证明：如图②作△ABC的角平分线BD，交AC于D， ∴∠DBC＝

1∠ABC＝30°， 2∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，

∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°， +45°∵∠ADB＝∠DBC+∠C＝30°＝75°， ∴∠ADB＝∠A， ∴BA＝BD，

∴△ABC是”弱等腰三角形”; (2)如图③，连接EG， ∵BG是△BCF的”弱线”， ∴BG平分∠FBC， ∴∠FBG＝∠GBE， ∵BF＝BE，BG＝BG， ∴△BGF≌△BGE(SAS)， ∴∠BGF＝∠BGE， ∵BG＝BE， ∴∠BGE＝∠BEG＝

1(180°﹣∠GBE)， 2∴∠FGE＝180°﹣∠GBE， ∵∠CGE＝180°﹣∠FGE， ∴∠CGE＝∠CBG， ∵∠GCE＝∠BCG， ∴△GCE∽△BCG，

∴

CGBC＝， CECG∵CE＝4﹣3＝1， 4＝4， ∴CG2＝CE•BC＝1×∴CG＝2;

(3)①如图④，当AB＝AD时，在AC上取一点E，使得AE＝AB，连接DE， ∵AD是”弱线”，

∴AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD＝AD，

∴△ABD≌△AED(SAS)， ∴DE＝BD，∠B＝∠AED， ∵AD＝AB， ∴∠B＝∠ADB， ∴∠AED＝∠ADB，

∴∠CED＝180°﹣∠AED，∠ADC＝180°﹣∠ADB， ∴∠CED＝∠ADC， ∵∠C＝∠C， ∴△ADC∽△DEC，

CEDCDEBD1＝， DCACADAB311∴CE＝CD，CD＝AC，

331∴CE＝AC，

9∴∴CE＝

193AE＝BD，CD＝3CE＝BD，

888AC＝9CE＝

27BD， 8917BD＝BD， 88∴BC＝BD+

∴AC：BC＝27：17;

②当AC＝AD时，如图⑤，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE，

同理可得，

CD117DEBD1CD， ＝＝，即＝，由上面计算可得，BC＝

ADAB3AC38∵AC＝3CD， ∴AC：BC＝24：17．

【点睛】考查了圆的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义，解题关键是正确的理解题意，并灵活运用其性质和判定．

26.如图①，点G是等边三角形AOB的外心，点A在第一象限，点B坐标为(4，0)，连结OG．抛物线y＝ax(x﹣2)+1+3的顶点为P．

(1)直接写出点A的坐标与抛物线的对称轴; (2)连结OP，求当∠AOG＝2∠AOP时a值．

D分别为抛物线和线段AB上的动点，(3)如图②，若抛物线开口向上，点C，以CD为底边构造顶角为120°的等腰三角形CDE(点C，D，E成逆时针顺序)，连结GE． ①点Q在x轴上，当四边形GDQO为平行四边形时，求GQ的值; ②当GE的最小值为1时，求抛物线的解析式． 【答案】(1)A(2，23)，1;(2)﹣1或3;(3)①【解析】 【分析】

(1)由等边三角形的性质可求点A坐标，由抛物线的性质可求对称轴;

(2)分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求点P坐标，代入解析式可求a的值;

4;②y＝(x﹣1)2+3 3(3)①连接AG并延长AG交OB于H，由等边三角形外心的性质可求GH的长，由平行四边形的性质可得GD∥OB，GD＝OQ，由平行线分线段成比例可求GD的长，由勾股定理可求解;

②在OB上截取OM＝BD，连接CM，GM，GB，MD，GD，通过证明△GDE∽△MDC，可得

MC＝3，GE则当GE最小值为1时，MC最小值为3，可得当点C与抛物线顶点P重合，且CM⊥OB时，CM有最小值，即可求点P坐标，代入解析式可求解．

【详解】解：(1)如图，连接AG并延长AG交OB于H，

∵点B坐标为(4，0)， ∴OB＝4，

∵点G是等边三角形AOB的外心， ∴AH⊥OB，OA＝OB＝4，∠AOB＝60°， ∴∠OAH＝30°， ∴OH＝

1OA＝2，AH＝3OH＝23， 2∴点A(2，23)，

∵抛物线y＝ax(x﹣2)+1+3＝ax2﹣2ax+1+3， ∴对称轴为：直线x＝﹣

2a＝1; 2a(2)如图，过点P作PN⊥OB于N，交AO于F，

∴ON＝1，

∵点G是等边三角形AOB的外心， ∴OG平分∠AOB， ∴∠AOG＝30°＝∠BOG， 当点P在△AOB内， ∵∠AOG＝2∠AOP， ∴∠AOP＝15°＝∠POG， ∴∠PON＝45°， ∵PN⊥OB，

∴∠PON＝∠OPN＝45°， ∴PN＝ON＝1， ∴点P坐标(1，1)， ∴1＝a(1﹣2)+1+3， ∴a＝3，

当点P在△AOB外， 同理可得∠AOP'＝15°， ∴∠P'ON＝75°，

∴∠OP'N＝15°＝∠AOP'， ∴OF＝P'F，

∵∠AOB＝60°，P'N⊥OB，

∴OF＝2ON＝2＝P'F，FN＝3ON＝3， ∴P'N＝P'F+FN＝2+3， ∴点P坐标为(1，2+3)， ∴2+3＝a(1﹣2)+1+3， ∴a＝﹣1，

综上所述：a＝﹣1或3;

(3)如图，连接AG并延长AG交OB于H，

∵点G是等边三角形AOB的外心， ∴AG＝2GH，OH＝BH＝2，AH＝23， ∴GH＝23， 3∵四边形GDQO为平行四边形， ∴GD∥OB，GD＝OQ，

AGGD， AHOB4∴GD＝，

32∴QH＝，

3∴

∴GQ＝GHQH2＝24124＝;

399②如图，在OB上截取OM＝BD，连接CM，GM，GB，MD，GD，

∵点G是等边三角形AOB的外心，

∴OG＝GB，∠GOB＝∠GBO＝∠ABG＝30°， 又∵OM＝BD，

∴△OGM≌△BGD(SAS)， ∴MG＝GD，∠OGM＝∠BGD，

∴∠OGB＝∠MGD＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴MD＝3GD，∠GDM＝30°， ∵△CDE中CE＝DE，∠CED＝120°， ∴CD＝3DE，∠CDE＝30°， ∴∠MDC＝∠GDE，

MDCD3， GDDE∴△GDE∽△MDC， ∴

MC＝3， GE当GE最小值为1时，MC最小值为3，

∴当点C与抛物线顶点P重合，且CM⊥OB时，CM有最小值， ∴CM的最小值为顶点P的纵坐标， ∴点P坐标(1，3)， ∴3＝a(1﹣2)+1+3， ∴a＝1，

∴抛物线的解析式为：y＝x(x﹣2)+1+3＝(x﹣1)2+3．

【点题】考查了二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质和垂线段最短等知识，解题关键是添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形．