数 学
同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
1、 本卷共三大题，共25小题，满分150分，考试时间为120分钟，考试形式
闭卷。
2、 一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效。
3、不能使用科学计算器。
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分.
1. 如图，点A、B、C顺次在直线上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中
点，已知𝐴𝐵=16𝑐𝑚，𝑀𝑁=( )
A. 6cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm
2. 如图，△𝐴𝐵𝐶的面积为12，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐵𝐶=4，AC的垂直平分线EF分别交AB，
AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△𝑃𝐶𝐷周长的最小值为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
3. 下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是( )
A.
B.
C.
D.
𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，𝐴𝐸=5，4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，垂足为点E，
且𝐸𝑂=2𝐵𝐸，则OA的长为( ) A. √5 B. 2√5 C. 3√5
√13
D. 1513
5. 如图，曲线表示温度𝑇(℃)与时间𝑡(ℎ)之间的函数关系，
它是一个反比例函数的图象的一支．当温度𝑇≤2℃时，时间t应( )
A. 不小于3ℎ
2
B. 不大于3ℎ D. 不大于2ℎ
3
2
C. 不小于2ℎ
3
6. 如图，在⊙𝑂中，直径𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，∠𝐴=26°，则∠𝐷度数是( )
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A. 26° B. 38° C. 52° D. 64°
7. 下列命题是真命题的是( )
A. 如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为2：3 B. 如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9 C. 如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为2：3 D. 如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为4：9 8. 某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时
每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是( )
A. C.
80(1+35%)
𝑥80𝑥
−
80𝑥
=40
B. (1+35%)𝑥−D.
80𝑥
8080𝑥
=40 =40
−
80(1+35%)𝑥
=40 −
80(1+35%)
𝑥
9. 已知∠𝑃𝐴𝑄=36°，点B为射线AQ上一固定点，按以下步骤
作图：
①分别以A，B为圆心，大于2𝐴𝐵的长为半径画弧，相交于
两点M，N；
②作直线MN交射线AP于点D，连接BD；
③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AP于点C． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( ) A. ∠𝐶𝐷𝐵=72° B. △𝐴𝐷𝐵∽△𝐴𝐵𝐶 C. CD：𝐴𝐷=2：1 D. ∠𝐴𝐵𝐶=3∠𝐴𝐶𝐵
10. 如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另
一点B，交x轴于C，D两点(点C在点D右边)，对称
轴为直线𝑥=2，连接AC，AD，𝐵𝐶.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是( ) A. 点B坐标为(5,4) B. 𝐴𝐵=𝐴𝐷
5
1
C. 𝑎=−6 D. 𝑂𝐶⋅𝑂𝐷=16
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线𝑦=√3𝑥经过点A，将
△𝐴𝐵𝑂绕点B逆时针旋转60°，得到△𝐶𝐵𝐷，若点B的坐标为(4,0)，则点C的坐标为______．
12. 已知等腰三角形的一个底角的外角等于100°，则它的顶角为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点
A，B的坐标分别为(−2,0)，𝐴𝐷=2，∠𝐷𝐴𝐵=60°，(√3,0)，
点P从点A出发沿𝐴→𝐷→𝐶运动到点C，连接𝑃𝑂.当𝑃𝑂=𝑂𝐵时，点P的坐标为______．
1
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14. 如图，在菱形ABCD中，𝐴𝐵=18𝑐𝑚，∠𝐴=60°，点E以2𝑐𝑚/𝑠的速度沿AB边由
A向B匀速运动，同时点F以4𝑐𝑚/𝑠的速度沿CB边由C向B运动，F到达点B时
t的值为______． 两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当△𝐷𝐸𝐹为等边三角形时，
D是平面内一点且∠𝐴𝐷𝐵=𝐴𝐵=2，∠𝐴𝐶𝐵=45°，15. 如图，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=√6，
30°，则线段CD的最小值为______．
三、解答题（本大题共10小题，共100.0分） 16. （8分）(1)求式子中x的值：4𝑥2=25；
(2)计算：√36−√3+|−√3|+3√64
17. （10分）某中学为丰富学生的校园生活，准备一次性购买若干个足球和篮球(每个
足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买3个足球和2个篮球共需170元，购买2个足球和5个篮球共需260元．
(1)购买一个足球、一个篮球各需多少元？(提示：列方程组解答)
(2)根据该中学的实际情况，需一次性购买足球和篮球共46个，要求购买足球和篮球的总费用不超过1480元，这所中学最多可以购买多少个篮球？(提示：列不等式解答)
18. （10分）如图，在四边形ABCD中，DB平分∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=120°，∠𝐶=60°，
∠𝐵𝐷𝐶=30°；延长CD到点E，连接AE，使得∠𝐸=
12
∠𝐶．
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形； (2)若𝐷𝐶=12，求AD的长．
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19. （8分）如图，某小区规划在一个长30m，宽20m的矩
形场地上，修建两横两竖四条同样宽的道路，且横、竖道路分别与矩形的长、宽平行，其余部分种草坪，若使每块草坪的面积都为56𝑚2，应如何设计道路的宽度？
20. （10分）如图，小明想用所学的知识来测量长安塔的高度，他先在E处用侧倾器
测得塔顶A的仰角𝛼为30°，然后，他从E处迎着塔的方向走了71.1米到F处，再用侧倾器测得塔顶A的仰角𝛽为45°，已知点E、F、B在同一水平面上，侧倾器的高度为1.6米，请你利用小明测得的相关数据，求长安塔的高度𝐴𝐵(结果精确到1米．参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73)
AB是⊙𝑂的直径，21. （10分）如图，直线CD与⊙𝑂相
⏜的切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是𝐵𝐹
中点．
(1)求证：𝐴𝐷⊥𝐶𝐷；
(2)若∠𝐶𝐴𝐷=30°，⊙𝑂的半径为3，一只蚂蚁从点
⏜爬回至点B，求蚂蚁爬B出发，沿着𝐵𝐸−𝐸𝐶−𝐶𝐵
过的路程(𝜋≈3.14,√3≈1.73，结果保留一位小数)．
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22. （10分）如图，已知直线𝑦=−4𝑥+3与x轴、y轴分别交于点A、B，线段AB为
直角边在第一象限内作等腰𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°． (1)求△𝐴𝑂𝐵的面积； (2)求点C坐标；
(3)点P是x轴上的一个动点，设𝑃(𝑥,0)， ①请用x的代数式表示𝑃𝐵2、𝑃𝐶2；
②是否存在这样的点P，使得|𝑃𝐶−𝑃𝐵|的值最大？如果不存在，请说明理由；如果存在，请直接写出点P的坐标______．
3
23. （10分）2017年5月5日，国产大飞机C919首飞圆满成功．C919是中国首款按
照最新国际适航标准，具有自主知识产权的干线民用飞机，于2008年开始研制．是Chna的首字母，第一个“9”的寓意是天长地久，“19”代表的是中国首款中型客机最大戟客量为190座．截止2018年2月底，C919大型客机的国内外用户达到28家，订单总数超过800架，表1是其中20家客户的订单情况 表1： 客户 中国国际航空 中国东方航空 中国南方航空 海南航空 四川航空 河北航空 幸福航空 订单(架) 20 20 20 20 15 20 20 客户 工银金融租赁有限公司 平安国际融资租赁公司 交银金融租赁有限公司 中国飞机租赁有限公司 农银金融租赁有限公司 订单(架) 45 50 30 20 45 中银航空租赁私人有限公司 20 建信金融租赁股份有限公司 50 招银金融租赁有限公司 兴业金融租赁公司 德国普仁航空公司 30 20 7 国银金融租赁有限公15 司 美国通用租赁公司 泰国都市航空 20 10 根据表1所提供的数据补全表2． 表2：
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订单(架) 7 客户(家) 1 10 1 15 2 20 30 2 45 50 2 这20个数据的中位数为______，众数为______．
24. （12分）在所给格点图中，画出△𝐴𝐵𝐶作下列变换后的三角形，并写出所得到的三
角形三个顶点的坐标．
(1)沿y轴正方向平移2个单位后得到△𝐴1𝐵1𝐶1； (2)关于y轴对称后得到△𝐴2𝐵2𝐶2．
(3)以点B为位似中心，放大到2倍后得到△𝐴3𝐵3𝐶3．
25. （12分）如图，△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，∠𝐶𝐵𝐺=∠𝐴，CD
为直径，OC与AB相交于点E，过点E作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD． (1)求证：PG与⊙𝑂相切；
(2)若𝐴𝐶=8，求𝑂𝐶的值；
(3)在(2)的条件下，若⊙𝑂的半径为8，𝑃𝐷=𝑂𝐷，求OE的长．
𝐸𝐹
5
𝐵𝐸
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答案
1.B 2.B 3.C 4.C 5.C 6.B 7.B 8.A 9.C 10.D 11.(−2,2√3) 12.20°
√313.(−3,)或(0,√3) 22
14.3s 15.3−√3 16.解：(1)∵4𝑥2=25
∴𝑥2=
25
45
5
∴𝑥1=，𝑥2=−．
22
(2)√36−√3+|−√3|+√64 =6−√3+√3+4 =10
3
17.解：(1)设足球单价x元、篮球单价为y元，
3𝑥+2𝑦=170
根据题意得：{，
2𝑥+5𝑦=260𝑥=30
解得：{．
𝑦=40
答：足球单价30元、篮球单价40元；
(2)设最多买篮球m个，则买足球(46−𝑚)个，根据题意得： 40𝑚+30(46−𝑚)≤1480， 解得：𝑚≤10， ∵𝑚为整数，
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∴𝑚最大取10，
答：这所中学最多可以买10个篮球．
18.(1)证明：∵∠𝐴𝐵𝐶=120°，∠𝐶=60°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐵𝐶𝐷=180°， ∴𝐴𝐵//𝐷𝐶，即𝐴𝐵//𝐸𝐷；
又∠𝐶=60°，∠𝐸=2∠𝐶，∠𝐵𝐷𝐶=30°， ∴∠𝐸=∠𝐵𝐷𝐶=30°， ∴𝐴𝐸//𝐵𝐷，
∴四边形ABDE是平行四边形； (2)解：∵𝐴𝐵//𝐷𝐶， ∴四边形ABCD是梯形， ∵𝐷𝐵平分∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐵𝐷𝐶=30°， ∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=60°， ∴四边形ABCD是等腰梯形； ∴𝐵𝐶=𝐴𝐷，
∵在△𝐵𝐶𝐷中，∠𝐶=60°，∠𝐵𝐷𝐶=30°， ∴∠𝐷𝐵𝐶=90°， 又𝐷𝐶=12，
∴𝐴𝐷=𝐵𝐶=𝐷𝐶=6．
2
1
1
19.解：设道路的宽度为xm．
由题意得：(30−2𝑥)(20−2𝑥)=56×9， 化简得：𝑥2−25𝑥+24=0， (𝑥−1)(𝑥−24)=0，
解得：𝑥1=1，𝑥2=24(不符合题意，舍去)． 答：道路的宽度应设计为1 m．
20.解：设CD延长线于AB交于点G，
根据题意可知：
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四边形GBEC、四边形GBFD、四边形DFEC是矩形， ∴𝐵𝐺=𝐷𝐹=𝐶𝐸=1.6， 𝐷𝐶=𝐸𝐹=71.1， 𝐷𝐺=𝐵𝐹， ∵∠𝐴𝐷𝐺=45°， ∴𝐴𝐺=𝐷𝐺=𝐵𝐹， 设𝐴𝐺=𝐷𝐺=𝐵𝐹=𝑥，
在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐺中，∠𝐴𝐶𝐺=30°，𝐴𝐺=𝑥，𝐶𝐺=𝐷𝐺+𝐷𝐶=𝑥+71.1， ∴𝑡𝑎𝑛30°=
3
𝑥𝐴𝐺𝐶𝐺
，
即√=， 3𝑥+71.1解得𝑥≈97.1，
∴𝐴𝐵=𝐴𝐺+𝐺𝐵=97.1+1.6≈99(米)． 答：长安塔的高度AB约为99米．
21.(1)证明：连接OC，
∵直线CD与⊙𝑂相切， ∴𝑂𝐶⊥𝐶𝐷， ⏜的中点， ∵点C是𝐵𝐹∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐶， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐶， ∴∠𝑂𝐶𝐴=∠𝐸𝐴𝐶， ∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝑂𝐶𝐴， ∴𝑂𝐶//𝐴𝐷， ∴𝐴𝐷⊥𝐶𝐷；
(2)解：∵∠𝐶𝐴𝐷=30°， ∴∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐷=30°， 由圆周角定理得，∠𝐶𝑂𝐸=60°，
⏜=60𝜋×3=𝜋， ∴𝑂𝐸=2𝑂𝐶=6，𝐸𝐶=√3𝑂𝐶=3√3，𝐵𝐶180∴蚂蚁爬过的路程=3+3√3+𝜋≈11.3．
22.解：(1)由直线𝑦=−4𝑥+3，令𝑦=0，得𝑂𝐴=𝑥=4，令𝑥=0，得𝑂𝐵=𝑦=3，
所以，𝑆△𝐴𝑂𝐵=2×4×3=6；
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1
3
(2)过C点作𝐶𝐷⊥𝑥轴，垂足为D，
∵∠𝐵𝐴𝑂+∠𝐶𝐴𝐷=90°，∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐶𝐴𝐷=90°， ∴∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐴𝐶𝐷，
又∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝐷𝐴=90°， ∴△𝑂𝐴𝐵≌△𝐷𝐶𝐴，
∴𝐶𝐷=𝑂𝐴=4，𝐴𝐷=𝑂𝐵=3，则𝑂𝐷=4+3=7， ∴𝐶(7,4)；
(3)①由(2)可知，𝑃𝐷=|7−𝑥|，
在𝑅𝑡△𝑂𝑃𝐵中，𝑃𝐵2=𝑂𝑃2+𝑂𝐵2=𝑥2+9，
𝑅𝑡△𝑃𝐶𝐷中，𝑃𝐶2=𝑃𝐷2+𝐶𝐷2=(7−𝑥)2+16=𝑥2−14𝑥+65， ②存在这样的P点． 延长BC交x轴于P，
设直线BC解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，将B、C两点坐标代入，得 𝑏=3{， 7𝑘+𝑏=4解得{
𝑘=
17，
1
𝑏=3
所以，直线BC解析式为𝑦=7𝑥+3，
令𝑦=0，得𝑃(−21,0)，此时|𝑃𝐶−𝑃𝐵|的值最大， 故答案为：(−21,0)．
23.解：根据表1所提供的数据补全表2，如图所示：
这20个数据位于第10、11位的两个数都是20，因此中位数是20，出现次数最多的也是20，因此众数是20， 故答案为：20，20．
24.解：(1)如图所示，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求；
𝐴1(0,0)，𝐵1(3,1)，𝐶1(2,3)； (2)如图所示，△𝐴𝐵2𝐶2即为所求； 𝐴2(0,−2)，𝐵2(−3,−1)，𝐶2(−2,1)； (3)如图所示，△𝐴𝐵2𝐶2即为所求；
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𝐴3(−3,−3)，𝐵2(3,−1)，𝐶2(1,3)．
25.解：(1)如图，连接OB，则𝑂𝐵=𝑂𝐷，
∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐷𝐵𝑂，
∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐷𝐶、∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐺𝐵𝐶， ∴∠𝐺𝐵𝐶=∠𝐵𝐷𝐶， ∵𝐶𝐷是⊙𝑂的直径， ∴∠𝐷𝐵𝑂+∠𝑂𝐵𝐶=90°， ∴∠𝐺𝐵𝐶+∠𝑂𝐵𝐶=90°， ∴∠𝐺𝐵𝑂=90°， ∴𝑃𝐺与⊙𝑂相切；
(2)过点O作𝑂𝑀⊥𝐴𝐶于点M，连接OA， 则∠𝐴𝑂𝑀=∠𝐶𝑂𝑀=2∠𝐴𝑂𝐶， ⏜=𝐴𝐶⏜， ∵𝐴𝐶
∴∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐴𝑂𝐶， 又∵∠𝐸𝐹𝐵=∠𝑂𝑀𝐴=90°， ∴△𝐵𝐸𝐹∽△𝑂𝐴𝑀， ∴𝐴𝑀=𝑂𝐴，
∵𝐴𝑀=2𝐴𝐶，𝑂𝐴=𝑂𝐶， ∴1
2
1
1
𝐸𝐹𝐵𝐸
1
𝐸𝐹𝐴𝐶
=𝑂𝐶，
5
𝐵𝐸
又∵𝐴𝐶=8，
∴𝑂𝐶=2×𝐴𝐶=2×8=4； (3)∵𝑃𝐷=𝑂𝐷，∠𝑃𝐵𝑂=90°，
𝐵𝐸
𝐸𝐹
5
5
𝐸𝐹
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∴𝐵𝐷=𝑂𝐷=8，
在𝑅𝑡△𝐷𝐵𝐶中，𝐵𝐶=√𝐷𝐶2−𝐵𝐷2=8√3， 又∵𝑂𝐷=𝑂𝐵， ∴△𝐷𝑂𝐵是等边三角形， ∴∠𝐷𝑂𝐵=60°，
∵∠𝐷𝑂𝐵=∠𝑂𝐵𝐶+∠𝑂𝐶𝐵，𝑂𝐵=𝑂𝐶， ∴∠𝑂𝐶𝐵=30°， ∴𝐶𝐸=2，𝐸𝐹=√3，
∴可设𝐸𝐹=𝑥，则𝐸𝐶=2𝑥、𝐹𝐶=√3𝑥， ∴𝐵𝐹=8√3−√3𝑥，
在𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐹中，𝐵𝐸2=𝐸𝐹2+𝐵𝐹2，𝐵𝐸=1.25𝑂𝐶=10 ∴100=𝑥2+(8√3−√3𝑥)， 解得：𝑥=6±√13， ∵6+√13>8，(舍去)， ∴𝑥=6−√13， ∴𝐸𝐶=12−2√13，
∴𝑂𝐸=8−(12−2√13)=2√13−4．
2
𝐸𝐹
1
𝐹𝐶
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