全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端 5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等

三角形．

2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋

转” 法构造全等三角形．

3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角

形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段

相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接

A起来，利用三角形面积的知识解答．

一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. CBD A

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与

EEF的大小.

F

BC D

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

- 1 -

应用：

1、（09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系． （1）如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是 ；

（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．



二、截长补短

【例1】 (06年北京中考题)已知ABC中，A60，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试

判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．

AAEODE1O423FD

BECDBC， 【解析】

理由是：在BC上截取BFBE，连结OF， 利用SAS证得BEO≌BFO，∴12，

BCBC

1BOC90A1202∵A60，∴，∴DOE120，

∴ADOE180，∴AEOADO180，∴13180， ∵24180，∴12，∴34，

利用AAS证得CDO≌CFO，∴CDCF，∴BCBFCFBECD． 【例2】 如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作DMN60，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?

DGDNNAMBEAMBE

- 2 -

【解析】 猜测DMMN.过点M作MG∥BD交AD于点G，AGAM，∴GDMB 又∵∠ADMDMA120，∠DMA∠NMB120 ∴∠ADM∠NMB，而∠DGM∠MBN120， ∴DGM≌MBN，∴DMMN．

【例3】 如图2-9所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．

【解析】 分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：

(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BCCE)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．

(2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE)上截取与线段中的某一段(如BC)相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE)相等．我们用(1)法来证明．

证 延长AB到F，使BFCE，则由正方形性质知AFABBFBCCE

下面我们利用全等三角形来证明AEAF．为此，连接EF交边BC于G．由于对顶角BGFCGE，所以RtΔBGF≌CGEAAS，

1BGGCBC，FGEG2从而，BGDM 于是

RtΔABG≌RtΔADMSAS，

1BAGDAMBAEEAG2所以，AG是EAF的平分线

过G引GHAE于H．因为AG是∠EAF的平分线，所以GB=GH，从而Rt△GBF≌Rt△GHE(HL)，所以∠F=∠HEG，则 AF=AE(底角相等的三角形是等腰三角形)，即 AE=BC+CE．

说明 我们也可以按分析(2)的方法来证明结论，为此可先作∠BAE的平分线AG交边BC于G，再作GH⊥AE于H，通过证明△ABG≌△AHG知AB=AH=BC．下面设法证明HE=CE即可，请同学们自证．

【例4】 (“希望杯”竞赛试题)如图，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=a，AD=h，CB=k，∠AMD=75°，∠BMC=45°，则ABkh的长为 ( ) A. a B. k C. 2 D. h

DCDECAMBAMB【解析】 过点D作BC的垂线，垂足为E.

∵∠AMD=75°，∠BMC=45° ∴∠DMC=60° ∵DM=CM ∴CD=DM ∵AD⊥AB，DE⊥BC，CB⊥AB，∠AMD=75° ∴∠ADM=∠EDC ∴△ADM≌△CDE ∴AD=DE

故ABED为正方形，AB=AD=h，选D.

- 3 -

【例5】 已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.

ADADFBCFCEMBE【解析】 延长CB至M，使得BM=DF，连接AM. ∵AB=AD，AD⊥CD，AB⊥BM，BM=DF ∴△ABM≌△ADF

∴∠AFD=∠AMB，∠DAF=∠BAM ∵AB∥CD

∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM ∴∠AMB=∠EAM

∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.

ACE，OA平分DOE．BE相交于点O．【例6】 以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、连结CD、求证：

DAEDFOBCBOCAE

【解析】 因为ABD、ACE是等边三角形，所以ABAD，AEAC，CAEBAD60， 则BAEDAC，所以BAE≌DAC，

则有ABEADC，AEBACD，BEDC．

在DC上截取DFBO，连结AF，容易证得ADF≌ABO，ACF≌AEO． 进而由AFAO．得AFOAOF；

由AOEAFO可得AOFAOE，即OA平分DOE．

1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC

A

BAD

D

2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。 CE

BC- 4 -

ABQPCA3、如图，已知在ABC内，BAC60，C40，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，

D00求证： AC180

0

CB

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC A 12

P CBD

应用：

三、平移变换

例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞

PA.

- 5 -

例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

ABDEC

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

A EO

BC2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. D（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.

A

E GCB F

D

应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作

全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交

于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成

立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

B

B M

E E D

F F D P O

C A A N C

图① 图③ 图②

(第23题图)

五、旋转

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数. AD

F

BEC- 6 -

例2 D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1） 当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 （2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。 B

AEMCFAN例3 如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC120，以D为顶点做一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为 ；

A00MNBCD应用：

1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，∠ABC120，∠MBN60，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． 当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

AAA

EMBEM BB

FCD CDDCFFNN NE M（图1） （图2） （图3） 2、（西城09年一模）已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧. (1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

- 7 -

3、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN60,BDC120,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．

图1 图2 图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时

Q ； L（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加

以证明；

（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN=x，则Q= （用x、L表示）．

- 8 -

参考答案与提示 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

A

A E

F

BCCBDD

解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知AB-BE <2AD例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

ABDEC

解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,

显然DG＝AC， ∠GDC=∠ACD 由于DC=AC，故 ∠ADC=∠DAC

在△ADB与△ADG中， BD＝AC=DG，AD＝AD，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG 故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE 应用：

1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰

BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中

ABCRt

ABD和等腰Rt

ACE，

点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．

（1）如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是 ；

（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

D N H

E

A B D

F P A M G

C

B M

C N

E

解：（1）ED2AM，AMED；

证明：延长AM到G，使MGAM，连BG，则ABGC是平行四边形

∴ACBG，ABGBAC180又∵DAEBAC180∴ABGDAE 再证：DAEABG ∴DE2AM，BAGEDA 延长MN交DE于H ∵BAGDAH90 ∴HDADAH90 ∴AMED

- 9 -

（2）结论仍然成立． 证明：如图，延长CA至F，使ACFA，FA交DE于点P，并连接BF ∵DABA，EAAF ∴BAF90DAFEAD ∵在FAB和EAD中 FAAEBAFEAD BADA∴FABEAD（SAS）∴BFDE，FAEN ∴FPDFAPEAEN90∴FBDE 又∵CAAF，CMMB ∴AM//FB，且AM11FB ∴AMDE，AMDE 22二、截长补短 1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC 解：（截长法）在AB上取中点F，连FD

△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知 DF⊥AB，故∠AFD＝90° △ADF≌△ADC（SAS）

∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC

2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC 解：（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE

△ADE≌△AFE（SAS） ∠ADE＝∠AFE， ∠ADE+∠BCE＝180° ∠AFE+∠BFE＝180° 故∠ECB＝∠EFB △FBE≌△CBE（AAS） 故有BF＝BC 从而;AB＝AD+BC

ADEBC

ABQPC3、如图，已知在△ABC内，BAC60，C40，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 解：（补短法, 计算数值法）延长AB至D，使BD＝BP，连DP 在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40° 从而∠BDP＝40°＝∠ACP △ADP≌△ACP（ASA） 故AD＝AC

又∠QBC＝40°＝∠QCB 故 BQ＝QC BD＝BP

从而BQ+AQ=AB+BP

- 10 -

004、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC， 求证： AC180

BAD0C

解：（补短法）延长BA至F，使BF＝BC，连FD △BDF≌△BDC（SAS）故∠DFB＝∠DCB ，FD＝DC 又AD＝CD

故在等腰△BFD中∠DFB＝∠DAF 故有∠BAD+∠BCD＝180°

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

A1P2BDC

解：（补短法）延长AC至F，使AF＝AB，连PD △ABP≌△AFP（SAS）故BP＝PF 由三角形性质知

PB－PC＝PF－PC < CF＝AF－AC＝AB－AC 应用：

分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。 A D A D F E E C B C B 解：有BCADAE 连接AC，过E作EF//BC并AC于F点 则可证AEF为等边三角形 即AEEF，AEFAFE60 ∴CFE120 - 11 -

又∵AD//BC，B60 ∴BAD120

又∵DEC60∴AEDFEC 在ADE与FCE中

EADCFE，AEEF，AEDFEC ∴ADEFCE ∴ADFC ∴BCADAE

点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。

三、平移变换 例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.

解：（镜面反射法）延长BA至F，使AF＝AC，连FE AD为△ABC的角平分线, MN⊥AD 知∠FAE＝∠CAE 故有

△FAE≌△CAE（SAS） 故EF＝CE

在△BEF中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 从而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA

例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

∵BD=CE, ∴DM=EM,

∴△DMN≌△EMA(SAS), ∴DN=AE, 同理BN=CA.

延长ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD, 相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD, 各减去DP,得BN+AB>DN+AD, ∴AB+AC>AD+AE。

- 12 -

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，DC+AE =AC

A

E O

BC D证明(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B=60度, 则∠BAC+∠BCA=120度; AD,CE均为角平分线,

则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD; ∠AOC=120度.

在AC上截取线段AF=AE,连接OF. 又AO=AO;∠OAE=∠OAF .则⊿OAE≌ΔOAF(SAS), OE=OF;AE=AF;

∠AOF=∠AOE=60度.

则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD; 又CO=CO;∠OCD=∠OCF. 故⊿OCD≌ΔOCF(SAS), OD=OF;CD=CF. OE=OD

DC+AE=CF+AF=AC.

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.

A

E解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD，DC GCBDG垂直平分BC，故BD＝DC F由于AD平分∠BAC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有ED＝DF故RT△DBE≌RT△DFC（HL）

故有BE＝CF。AB+AC＝2AE AE＝（a+b）/2 BE=(a-b)/2 D应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作

全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交

于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成

立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 B B

B M

E E D E F F D D O P F

C A 4 1 A N C

图① 图③ 图② 3 2 解：（1）FE与FD之间的数量关系为FEA (第23题图) FD C G （2）答：（1）中的结论FEFD仍然成立。 图 1 证法一：如图1，在AC上截取AGAE，连结FG ∵12，AF为公共边， ∴AEFAGF

- 13 -

∴AFEAFG，FEFG

∵B60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线 ∴2360

∴AFECFDAFG60 ∴CFG60

∵34及FC为公共边 ∴CFGCFD ∴FGFD ∴FEFD

证法二：如图2，过点F分别作FGAB于点G，FHBC于点H

B ∵B60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线 ∴可得2360，F是ABC的内心 G D E ∴GEF601，FHFG

H F 又∵HDFB1

4 1 ∴GEFHDF

3 2 ∴可证EGFDHF

A C ∴FEFD

图 2

五、旋转

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG

AD则GE=GB+BE=DF+BE=EF

又AE=AE，AF=AG，

所以三角形AEF全等于AEG F所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF 又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90 所以∠EAF=45度

BC E例2 D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

(1)当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 (2)若AB=2，求四边形DECF的面积。

解：(计算数值法)（1）连接DC， D为等腰RtABC斜边AB的中点，故有CD⊥AB，CD＝DA CD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45° 由于DM⊥DN，有∠EDN＝90° 由于 CD⊥AB，有∠CDA＝90° 从而∠CDE＝∠FDA＝

故有△CDE≌△ADF（ASA） 故有DE=DF

（2）S△ABC=2, S四DECF= S△ACD=1

例3 如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC120，以D为顶点做一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为 ；

00- 14 -

解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 计算数值法) AC的延长线与BD的延长线交于点F，在线段CF上取点E，使CE＝BM

∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°， ∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°， ∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°， 又∵BM=CE，BD=CD， ∴△CDE≌△BDM，

∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°， ∵在△DMN和△DEN中， DM=DE

∠MDN=∠EDN=60° DN=DN

∴△DMN≌△DEN， ∴MN=NE

∵在△DMA和△DEF中， DM=DE ∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF (∠CDE=∠BDM) ∠DAM=∠DFE=30°

∴△DMN≌△DEN (AAS)， ∴MA=FE

AMN的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6

应用：

1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，∠ABC120，∠MBN60，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． 当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

A A A

E M E M BBB

F C D D D C C FF N N N E

M

解：（1）∵，ABBC（图AB1） AD，BCCD（图2） ，AECF （图3） ∴ABECBF（SAS）； ∴ABECBF，BEBF ∵ABC120，MBN60

∴ABECBF30，BEF为等边三角形

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∴BEEFBF，CFAE1BE 2∴AECFBEEF

（2）图2成立，图3不成立。

证明图2，延长DC至点K，使CKAE，连接BK 则BAEBCK

A ∴BEBK，ABEKBC

E M ∵FBE60，ABC120 B

∴FBCABE60 ∴FBCKBC60

D ∴KBFFBE60 K C F ∴KBFEBF N ∴KFEF 图 2 ∴KCCFEF 即AECFEF

图3不成立，AE、CF、EF的关系是AECFEF 2、（西城09年一模）已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧. (1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

D D D C C C P′ A

A A G P P E E B B F B P E

分析：（1）作辅助线，过点A作AEPB于点E，在RtPAE中，已知APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在RtABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将PAD绕点A顺时针旋转90得到PAB，可得PADPAB，求PD长即为求PB的长，在RtAPP中，可将PP的值求出，在RtPPB中，根据勾股定理可将PB的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在RtAEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在RtPFG中，可求出PF，在RtPDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；

（2）将PAD绕点A顺时针旋转90，得到PAB，PD的最大值即为PB的最大值，故当P、P、B三点共线时，PB取得最大值，根据PBPPPB可求PB的最大值，此时APB180APP135．

解：（1）①如图，作AEPB于点E

∵RtPAE中，APB45，PA2

2∴AEPE221

∵PB4

∴BEPBPE3

在RtABE中，AEB90

∴ABAE2BE210

②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将将PAD绕点A顺时针旋转90得到PAB，，可得PADPAB，PDPB，PAPA

∴PAP90，APP45，PPB90 ∴PP2，PA2

∴PDPBPP2PB2224225；

解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G． 在RtAEG中，可得AGAEAE1012，EG，PGPEEG cosEAGcosABE3331010，FG 515在RtPFG中，可得PFPGcosFPGPGcosABE- 16 -

在RtPDF中，可得

101010225 PDPFADAGFG105153（2）如图所示，将PAD绕点A顺时针旋转90,得到PAB，PD的最大值，即为PB的最大值 ∵PPB中，PBPPPB，PP2PA2，PB4且P、D两点落在直线AB的两侧 ∴当P、P、B三点共线时，PB取得最大值（如图） 此时PBPPPB6，即PB的最大值为6 此时APB180APP135 D D C C A

A P′

B P′ P B P

3、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且

222MDN60,BDC120,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．

图1 图2 图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时

Q ； L（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加

以证明；

（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN=x，则Q= （用x、L表示）． 分析：（1）如果DMDN，DMNDNM，因为BDDC，那么DBCDCB30，也就有MBDNCD603090，直角三角形MBD、NCD中，因为BDDC，DMDN，根据HL定理，两三角形全等。那么BMNC，三角形NCD中，在三角形DNM中，BMDDNC60，NDC30，DN2NC，DMDN，MDN60，因此三角形DMN是个等边三角形，因此MNDN2NCNCBM，三角形AMN的周长QAMANMN

AMANMBNCABAC2AB，三角形ABC的周长L3AB，因此Q:L2:3．

（2）如果DMDN，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC至E，使CEBM，连接DE．（1）中我们已经得出，MBDNCD90，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，MBCE，BDDC，因此两三角形全等，那么DMDE，三角形MDN和EDN中，有DMDE，BDMCDE，EDNBDCMDN60．

EDNMDN60，有一条公共边，因此两三角形全等，MNNE，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为NECNCE，因此MNBMCN．Q与L的关系的求法同（1），得出的结果是一样的。

（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过D作CDHMDB，三角形BDM和CDH中，由（1）中已经得出的DCHMB90，我们做的角BDMCDH，BDCD，因此两三角形全等（ASA）．那么BMCH，DMDH，三角形MDN和NDH中，已知的条件有MDDH，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要知道MDNHDN，因为CDHMDB，因此MDHBDC120，因为MDN60，那么

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NDH12060

60，因此MDNNDH，这样就构成了两三角形全等的条件．三角形MDN和DNH就全等了．那么NMNHANACBM，三角形AMN的周长QANAMMNANABBM

12ANACBM2AN2AB．因为ANx，ABL，因此三角形AMN的周长Q2xL．

33Q2解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系：BMNCMN；此时．

L3（2）猜想：结论仍然成立．

A

证明：如图2，延长AC至E，使CEBM，连接DE ∵BDCD，且BDC120 ∴DBCDCB30

M N 又ABC是等边三角形

∴MBDNCD90 N B C 在MBD与ECD中 BMCED MBDECD 图 1 A BDDC∴MBDECD（SAS）

∴DMDE，BDMCDE ∴EDNBDCMDN60 在MDN与EDN中 DMDEMDNEDN DNDNN

B M D 图 2

E C

A

∴MDNEDN（SAS） H

B ∴MNNENCBM C

故AMN的周长QAMANMNAMBMANNCABACM 2AB D 而等边ABC的周长L3AB

图 3

Q2AB2∴ L3AB32（3）如图3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若ANx，则Q2xL（用x、L表示）．

3点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形。

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