梯形中常用添加辅助线的方法

黄龙兴发表于：2009-7-12 0:02:01，点击：1023，评论（0）

梯形中常用添加辅助线的方法

浙江省永康市古山中学（321307）

黄龙兴

解决梯形问题的基本思路平行四边形的问题解决，通常

实现转化，常见的辅助线大致有以下八种：

1．延长两腰，构造三角形

例1：已知：在四边形ABCD中，有边形ABCD为等腰梯形。

分析：由题意：只需证延长BA、CD可得等腰

和

即可证此四边形为等腰梯形，由，从而可得

。

知，如果

，

，

。求证：四

为通过割补，拼接转化成三角形、利用平移，旋转等引辅助线法来

证明：延长BA、CD，它们交于点E， ∵又∵∵∴∵

，，∴

，∴四边形ABCD为等腰梯形。

，∴，∴

， ，∴，

，

，

2．连对角线，把梯形问题转化为平行四边形或三角形来解决 例2：已知在梯形ABCD中，连结AC、CE，求证：

分析：因为即可。

证明：连接BD， ∵

，且

，

，且

。

，因此ABCD是等腰梯形，因此只需证

，

，延长AB到E，使

，

∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∵

，且

，

∴四边形BECD是平行四边形， ∴

，∴

。

3．平移一腰，把梯形转化成三角形和平行四边形（过梯形任一顶点作腰的平行线）

例3：已知：如图，等腰梯形ABCD中，

，

求

分析：如过A作AECD，则

为等边三角形。

的度数。

，有平行四边形

，

，，

证明：过A作AE//CD交BC于E， ∵∴∵

，

，∴四边形AECD为平行四边形。

，

，∴

，

，

∵四边形ABCD为等腰梯形，∴∴∴

为等边三角形，∴

。

注意：在梯形中常通过作腰的平行线，构造平行四边形，三角形，利用平行四边形的性质，把分散条件集中到三角形中去，从而为证题创造必要条件。

4．平移对角线，把梯形转化成平行四边形和三角形（过任一顶点作对角线的平行线） 例4：已知，如图，等腰梯形ABCD中，

于E，求分析：由等腰梯形知交BC的延长线于F，则

证明：过D作∴

，

的长。

，又

，

，如过D作

。

，

，

，

，

为等腰直角三角形。

，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形， ，

，

，

∵四边形ABCD为等腰梯形，∴

∵∵

，∴，

，∴

，

，

∵∴

，∴的长为5。

，

注意：当有对角线相等或垂直时，常作梯形对角线的平行线，构造平行四边形、等腰三角形或直角三角形。

5．作双高，把梯形转化成两个直角三角形和矩形（过一底两顶点作另一底的垂线） 例5：如图，在梯形ABCD中，已知

，

，

，

，求梯形

ABCD的面积。

解：如图，作

于

E，

于F，∴

又∵∴∵

，

在在∴

中，得中，得

，

，

且，

，

∴

，

∴

6．作中位线

例6：已知，如图，在直角梯形ABCD中，求证：

。

。

，，M位CD的中点，

证明：如图，取AB的中点N，连结MN，则MN//AD//BC， ∵

，∴

。

∵N为AB中点，∴

7．过一顶点和一腰中点作直线，把梯形转化为三角形问题 例7：已知，如图，在直角梯形ABCD中，求证：

（就是例6）。

，

，M位CD的中点，

证明：如图，延长AM交BC延长线于E， ∵∵∴

，∴

，，∴

， ， ，

∵，∴。

8．过一腰中点平移另一腰，把梯形转化为平行四边形。 例8：已知，如图，梯形ABCD中，

，E为BC中点，

于F，求证：

。

证明：如图，过E作MN//AD，交DC的延长线于M，交AB于N，则四边形ANMD是平行四边形。

∵∵

∵∴∴

，，∴

，

。

，∴，∴

，

，