小专题(一)类型1三角形的高的应用三角形三条重要线段的应用1．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.求证：DE＋DF＝BG.证明：连接AD，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，111∴AC·BG＝AB·DE＋AC·DF.222又∵AB＝AC，∴BG＝DE＋DF.类型2三角形的中线的应用2．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为(A)A．40B．46C．50D．563．(广东中考改编)如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG∶GD＝2∶1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是4．4．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求这个等腰三角形的三边长．解：设AD＝CD＝xcm，则AB＝2xcm，BC＝(21－4x)cm.依题意，有AB＋AD＝15cm或AB＋AD＝6cm，则有2x＋x＝15或2x＋x＝6，解得x＝5或x＝2.当x＝5时，三边长为10cm，10cm，1cm；当x＝2时，三边长为4cm，4cm，13cm，而4＋4＜13，故不成立．∴这个等腰三角形的三边长分别为10cm，10cm，1cm.类型3三角形的角平分线的应用5．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有△ABC和△ADF；(2)如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.又∵∠1＝∠2＝15°，∴∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°.∴∠CAE＝∠BAE＝30°，即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°.又∵∠4＝15°，∴∠3＝15°.∴∠2＝∠3＝15°，∴AE是△DAF的角平分线．6．如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于点O.(1)当∠A＝60°时，求∠BOC的度数；(2)当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；(3)当∠A＝α°时，求∠BOC的度数．解：(1)∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°.∵BE，CD为△ABC的角平分线，∴∠EBC＋∠DCB＝60°，∴∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－60°＝120°.(2)∵∠A＝100°，∴∠ABC＋∠ACB＝80°.∵BE，CD为△ABC的角平分线，∴∠EBC＋∠DCB＝40°，∴∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－40°＝140°.(3)∵∠A＝α°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－α°.∵BE，CD为△ABC的角平分线，1∴∠EBC＋∠DCB＝90°－α°，211∴∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－(90°－α°)＝90°＋α°.22