2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—重庆卷

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（ ）

A. 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 2．在等差数列{an}中,a12,a3a510，则a7（ ）

A.5 B.8 C.10 D.14

3．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ ） A.100 B.150 C.200 C.250 4．下列函数为偶函数的是（ ）

A.f(x)x1 B.f(x) C.f(x)2x2x D.f(x)3x xx25． 执行如题（5）图所示的程序框图，则输出s为（ ）

开始 k=2,s=0 x2

k=2k－1 s＝s+k k<10 否 是 输出s 结束 A.10 B.17 C.19 D．36

6．已知命题 p:对任意xR，总有|x|0； q:x1是方程x20的根 则下列命题为真命题的是（ ） A.pq B.pq C.pq D.pq

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

5 2 3 正视图 左视图 俯视图 A．12 B．18 C．24 D．30 4 x2y28．设F1，F2分别为双曲线221(a0,b0)的左．右焦点，双曲线上存在一点P使得

ab22(|PF1||PF2|)b3ab,则该双曲线的离心率为（ ）

A.2 B．15 C．4 D．17 9．若log（log243a4b）ab,则ab的最小值是（ ）

A.623 B．723 C．643 D．743

13,x(1,0]10．已知函数f(x)x1,且g(x)f(x)mxm在1,1内有且仅有两个不同

x,x(0,1]的零点，则实数m的取值范围是（ ）

91111 A．(,2](0,] B．(,2](0,]

424292112 C．(,2](0,] D．(,2](0,]

4343二．填空题

11．已知集合A{1,2,3,5,8},B{1,3,5,8,13},则AB______．

12．已知向量a与b的夹角为60，且a(2,6),|b|10，则ab_________． 13．将函数fxsinx0，2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵2坐标不变，再向右平移

的单位长度得到ysinx的图像，则f______． 6622B两点，且 14．已知直线xya0与圆心为C的圆xy2x4y40相交于A， ACBC，则实数a的值为_________．

15．某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在

该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答） 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分13分．（I）小问6分，（II）小问5分）

已知{an}是首相为1，公差为2的等差数列，Sn表示an的前n项和． （I）求an及Sn；

（II）设{bn}是首相为2的等比数列，公比q满足qa41qS40，求{bn}的通

2 项公式及其前n项和Tn．

17．（本小题满分13分．（I）小问4分，（II）小问4分，（III）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：

（I）求频数直方图中a的值；

60与60，70中的学生人数； （II）分别球出成绩落在50，（III）从成绩在50，70的学生中人选2人， 求次2人的成绩都在60，70中的概率． 18．（本小题满分12分）

在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且abc8 （1）若a2,b （2）若sinAcos25，求cosC的值; 29BAsinBcos22sinC，且ABC的面积SsinC，求a

222 和b的值． 19．（本小题满分12分） 已知函数f(x) 线垂直于yxa3lnx，其中aR，且曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切 4x21x 2 （1）求a的值；

（2）求函数f(x)的单调区间和极值。

20.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）

如题（20）图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，

AB2,BAD3，M为BC上一点，且BM1． 2（1）证明：BC平面POM；

（2）若MPAP，求四棱锥PABMO的体积．

x2y221．如题（21）图，设椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1,F2，点D在椭圆上，

ab2|FF|． DF1F1F2，1222，DF1F2的面积为2|DF1|（1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条

切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由．

y F1 O F2 xD

一、选择题 1．B

【解析】实部为横坐标，虚部为纵坐标。

2．B

【解析】将条件全部化成a1和d:a12da14d10,解得d1,于是a7a16d8 3．A

【解析】高中生在总体中所占的比例，与样本中所占的比例相等，也就是有：

参考答案

350070n100。考察分层抽样的简单计算. 5000n4．D

【解析】利用奇偶性的判断法则：fxfxfx为奇函数；fxfxfx为偶函数即可得到答案为D. 5．C

【解析】：k2,s0s022,k3s32,k5

s5510,k9s10919,k17结束循环

此时输出条件s19所以选C

6．A

【解析】：根据复合命题的判断关系可知，命题p为真，命题q为假，所以只有pq为真。 7．C

【解析】：由三视图可知，该几何体是由下方的直三棱柱与上方的四棱锥组成的组合体，其中直三棱柱

底面为一个边长为3,4,5的直角三角形，高为2，上方的四棱锥是底面边长是3的正方形，一个侧面与直三棱柱的底面重合。所以V8．D

2222222【解析】由题意(PF1PF2)(2a)4ab3abb3ab4a0，同除以a得

1134233424 23bbbb()23()404或1(舍去),从而e1()217。 aaaa9．D

【解析】log43a4blog2ab，条件足以说明a0,b0。经过化简得：3a4bab，即

10．A

343b4a341，于是abab7743baabab

【解析】函数fx的图像如图所示．

g(x)f(x)mxm在1,1内有且仅有两个不同的零点，可看成函数fx与直线ymxm的交点，又知道该直线过定点1,0．要有两个交点，直线的位置必须是如图所示的红

色直线之间或是蓝色直线之间。计算出这些直线的斜率，可以得到满足条件的直线的斜率的范围是

91(,2](0,] 4211．｛3，5，13｝ 12．10

【解析】由向量的数量积与向量模长公式得aba|b|cos60(2)2(6)210110 213．

2 2【解析】根据函数的伸缩变换规则：函数fxsinx图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半变成fxsin2x函数的图像，再根据平移变换规则：向右平移个单位长度得到函数

1fxsin2(x)sin(2x)的函数图像，由题意得, ，所以

266321 fsinsin42626614．a=0或a=6

【解析】将圆的方程转换成标准方程得, 圆C的圆心为(-1,2),半径为3，因为直线与圆C的交点A,B满足，所以ACB 为等腰直角三角形，则弦AB的长度为32，且C到AB的距离为

32，而由2点到直线的距离公式得C到AB的距离为12a(1)212 ,所以12a(1)21232解得a=0或a=6, 215．【解析】本题源于课本，属于几何概型，由题意可知有两个变量，因此是与面积有关的几何概型，如图建立平面直角坐标系，分别设小张到达学校的时间是x，小王到达学校的时间为y，则x,y满足

(x,y)0x20,0y20, 那么小张和小王到达学校的情况可以用如图中的正方形表示，

而小张比小王至少早到5分钟可以用不等式表示A(x,y)0x20,0y20,yx5，所

11529以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A)22

203216．（1）an2n1,Snn2；（2）Tn【解析】（1）此题是对等差数列通项和前n项和公式的直接考察，直接带入即可。 （2）由（1）知，a47,S416，故q28q160q4，Tn17．（I）a0.005（II）2，3（III）

2n41 3214n142n41 3【解析】（I）由频率分布直方图可知组距为10,(2a3a6a7a2a)101,解得

310

a10.00．5 200(II)由图可知落在[50, 60)的频率为2a100.1;

由频数=总体频率,从而得到该范围内的人数为200． 1=2 落在[60,70)范围内的频率为3a100.15; 得该范围内的人数为200． 15=3; (III)记[50, 60)范围内2人分别为Al, A2; [60,70)范围内3人分别B1, B2, B3; 从5人中选2人的情况如下: A1A2, A1B1, A1B2, A1 B3, A2 B1, A2 B2, A2 B3, B1B2, B1B3, B2 B3;

此2人成绩都在[60,70)范围内共有B1B2, B1B3, B2 B3 , 3种情况，总情况有10种; 故概率为

3 107， 2527222()()a2b2c2221． 由余弦定理得：cosC52ab5222A2BsinBcos22sinC可得： (Ⅱ)由sinAcos2218．解：(Ⅰ)由题意可知：c8(ab)1cosB1cosAsinB2sinC， 22化简得sinAsinAcosBsinBsinBcosA4sinC．

因为sinAcosBsinBcosAsin(AB)sinC，所以sinAsinB3sinC． 由正弦定理可知：ab3c．又因abc8，故ab6．

192由于SabsinCsinC，所以ab9，从而a6a90，解得a3,b3．

221a1119．解：(Ⅰ)对f(x)求导得f'(x)2，由f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线yx4xx253知f'(1)a2，解得a．

44x53x24x5lnx，则f'(x)(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)，令f'(x)0，解得x1或244x24xx5．因x1不在f(x)定义域(0,)内，故舍去．

当x(0,5)时，f'(x)0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x(5,)时，f'(x)0，故f(x)在(5,)内为增函数．由此可知f(x)在x5时取得极小值f(5)ln5．

520．（Ⅰ）略，在解析中呈现（Ⅱ）

16sinA【解析】（Ⅰ）因为PO底面ABCD，BC底面ABCD，故BC//PO。 因为ABCD是以O为中心的菱形，AB2,BAD又因为BM3，所以OBABsinOAB211。 213,OBM，所以OMOB2OM22OBOMcos60，232OM2BM2OM2BCOMBCPOPO平面POMBC平面POM

OM平面POMPOOMO213,在ABM中，利用余弦定理可以求得AM．

22322222222设POa，可得PAAOPO3a,PMPOOMa

433222又因为PAPMAM，解得a，即PO．

22

（Ⅱ）由（1）可知，OA3，OM11111353SABMOSOMBSOABOAOBBMOM31222222815所以四棱锥PABMO的体积为VPABMOSABMOPO

31622221．【解析】：（1）设F1(-c,0),F2(c,0)，其中c=a-b，

由

|F1F2||FF|2=22，得DF1=12=c，

|DF1|222从而SDDF1F2=从而|DF1|=因此DF2=1222，故c=1， |DF1||F1F2|=c=22292222DF=|DF|+|FF|=，由DF得， ^FF21121122232222，所以2a=|DF1|+DF2=22，故a=2，b=a-c=1， 2x2+y2=1； 因此，所求椭圆方程为：2x2+y2=1相交，P（2）设圆心在y轴上的圆C与椭圆1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点， 2， y1>0,y2>0，F1P1,F2P是圆C的切线，且F1P1^F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知，x2=-x1,y1=y2,PP12=2|x1|，

由（1）知F,0),F2(1,0)，所以F1P,y1),F2P,y1)， 1(-11=(x1+12=(-x1-1yCP1F1DP2OF2x

22由F1P1^F2P2得：-(x1+1)+y1=0，

x12=(x1+1)2， 由椭圆方程得1-2即：3x12+4x1=0，解得，x1=-4或x1=0． 3当x1=0时，P1,P2重合，此时题设要求的圆不存在； 当x1=-4时，过P设C(0,y0)，由CP1FP1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，113得

y1y0y11，

x1x1115，y0 33y1x11由F1P1,F2P2是圆C的切线，且F1P1^F2P2，知CP1^CP2， 又CP1=CP2， 故圆C的半径CP1=242． PP=2|x|=121232综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x(y)53232． 3