第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积：设曲边梯形是由连续曲线、 轴以及两条直线、所围成,求其面积. ①．大化小(分割)：在区间内任意插入个分点 ， 用直线将曲边梯形分成个小曲边梯形，用表示第个曲边梯形的面积; ②．常代变(近似代替)：
在第个窄曲边梯形的底上任取，有. ③．近似和(求和)： ④．取极限：令，则 2. 变速直线运动的路程：设某物体作直线运动,已知速度在时间间隔上连续，且，求在运动时间内物体所经过的路程 ①．大化小(分割)：在区间内任意插入个分点， 将它分成个小段，用表示物体第个小段上经过的路程; ②．常代变(近似代替)：在第个小段上经过的路程任取，有. ③．近似和(求和)： ④．取极限：令，则 这两个具体问题来自两个不同的学科，但它们都可一归结为具有相同结构的确定和式的极限，抽去它们的具体意义，就得到数学上定积分的概念. 二、定积分的相关概念 1．定积分 :设函数在区间上有界，若在区间内任意插入 ，任取，记，只要 和式极限总存在，则称此极限为在上的定积分,记作，即 ， 此时也称在区间上黎曼可积. 注： 1°.引例中，曲边梯形的面积；路程 2°.定积分仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量用什么字母表示无关, 即 3°.在定积分定义中，要求积分上限大于积分下限，为了方便起见，规定： 当时，；当时，. 4°.定积分定义中意味着区间的分割越来越细.时必有小区间的个数 并不能保证(不等分的时候，当等分的时候 5°.若已知在上可积，则可以通过特殊的分法分割区间(例如等分) (例如取或)来计算定积分 2．定积分的几何意义：曲边梯形的“面积”. 3. 函数可积的条件 (1). 必要条件： 定理1.若在上可积，则在上有界 反之未必，例如：狄利克雷函数在上有界，但不可积, 分和的极限不总存在. (2). 充分条件： 定理2. 若在上连续，则在上可积 反之未必，例如在上可积，但在上有一个间断点 定理3. 若在上有界，并且只有有限个间断点，则在上可积. 定理4. 若在上单调且有界，则在上可积. 例1. 利用定义计算定积分 解：将区间进行等分, 分点为 则，于是 ， ，取， ， 所以 例2. 用定积分表示下列极限 1.. 2. . 三、定积分的性质(设所列定积分都存在) 1.线性 性质1. ( k为常数) 性质2. 2.积分区间的可加性 性质3. 设，则有
3.保序性 性质4. 若在，，则 性质5. 若在，，则 4.绝对不等式性 性质6. 5.介值性 性质7.设和是在上的最大值和最小值，则. 性质8. 6.中值性 性质9.(积分中值定理) 若在上连续，则至少存在一点，使得 . 证明：设在上的最大值和最小值为和，则由介值性得 ， . 再由闭区间上连续函数的介值定理, 至少存在一点，使 注： 1°.积分中值定理对或的情形都成立. 2°.称 为在上的平均值. 因为 ， 故它是有限个数
的平均值概念的推广 3°.积分中值定理的几何意义: 以为曲边的曲边梯形的面积等于同底的且以为的矩形的面积 第二节 微积分基本公式 一、引例:变速直线运动中位臵函数与速度函数之间的联系 在变速直线运动中, 已知位臵函数与速度函数之间满足：，即 的原函数 又物体在时间间隔内经过的路程为，即速度函数 区间上的定积分等于的原函数在上的增量 这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性. 二、积分上限函数及其导数 1.积分上限函数：若函数区间上可积，则称函数 分上限函数，或变上限积分 注：积分上限函数在上连续 推导：，有 ，当 ，即在上连续 2.积分上限函数的导数： 定理1.若函数在区间上连续，则积分上限函数在 并且 . 证明: ，则有 (积分中值定理)， 又在上连续，故有 . 若，取，可证；若，取，可证. 注：其它变限积分求导: 1° ； 2° ； 3. . 3.原函数存在定理： 定理2.若函数在区间上连续，则积分上限函数 在上的一个原函数 注：这个定理一方面肯定了连续函数的原函数的存在性，另一方面初步地揭示了在被积函数连续
的前提下，定积分与原函数之间的联系，为使用原函数计算定积分开辟了道路 例1.
例2.设在内连续且，证明在内单调增加 证明：由于
(积分中值定理 ， 所以在内单调增加. 4.函数存在原函数与函数可积的关系： (1).函数存在原函数，但不一定可积 例如：对函数，由于，令 ，即函数在区间上具有原函数，但由于在无界，所以 在不可积， 事实上，取 ，有 ， 即在无界 (2).函数可积，但不一定存在原函数 例如：函数在除了一个间断点外都连续，所以在 可积，但在上不存在原函数 (3).存在既不存在原函数又不可积的函数，例如：狄利克雷函数： 三、微积分基本公式——牛顿—莱布尼茨公式 定理3. (微积分基本定理)设函数在区间上连续，若函数是在上的任一原函数，则 证明：由于积分上限函数是的一个原函数，故， 令，得，因此； 再令，得 注：微积分基本公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系.它表明：连续函数在上的定积分等于它的任意一个原函数在上的增量 微积分基本公式是对被积函数连续时给出的计算定积分的公式，若函数在上不连续，但满足一定的条件，也有相同的公式： 定理3’ 设函数在区间上有界，且有有限多个间断点，若存在连续函数， 的间断点外，有，则 证明：假设在不连续，不满足，，有在区间上连续，且满足，从而有，由 的连续，有 . 例3. . 例4.
例5. . . 例6.计算正弦曲线在与轴所围成的平面图形的面积. 解： 例7.用微积分基本定理证明积分中值定理：若在 ，使得 证明：因为连续，故具有原函数，设为它的一个原函数，即，由牛顿—莱布尼茨公式有 由在上满足拉格朗日中值定理的条件，故至少
存一点，使得 ， 故 第三节 定积分的换元积分法和分部积分法 一、定积分的换元法： 定理1.设函数在区间上连续，函数满足： (1). , ，并且当从变到时，对应的单调地从变到； (2). 函数在或上具有连续导数， 则有 证明：所证等式两边被积函数都连续，因此积分都存在，且它
们的原函数也存在. 设 的一个原函数，则是的原函数，于是由牛顿—莱布尼茨公式，有 . 注：1°.换元必换限, 原函数中的变量不必代回. 2°.换元公式也可以这样使用, 即凑元法， 换.这
相当于不定积分的第一换元积分法. 例1. 计算 . 解：令，则，当时，；时，，于
是 . 例 . 例3. 例4.计算 . . 解：令，则 ，，且当时，；当时，，于是 . 另解： + 例5. 设为上的连续函数， (1). 若，则.(偶倍 (2).
若，则.(奇零 证明: 由于 ，对积分作变换，令，则
有 ， 于是 例6.若在上连续，证明 (1). ； ，并由此计算 (2). 证明： (1).令 ，则，
且当时， ；当时，，于是 . (2). 令，则，且当时，；当时，，于是 整理得 由此 例7. 设是连续的周期函数，周期为，证明： (1). (2). ,并由此计算 证明： (1).记 ，则，即与无关，因 ，于是(2).由于 ，又由(1)知 ，因此 由于是以为周期的
周期函数，于是 (令 例8. 计算.
解：由于，令， ， ；时，，则 ，.当 于是 (偶倍奇零) . 例9.设函数 ，计算 解：设，则，且当时，；时，，于是 ) (由于 二、定积分的分部积分法 定理2. 设函数、在区间上连续，则有定积分的分部积分公式： 证
明：由于，两端在上积分得， ， 整理得 例10. 计算
解： . 例11. 计算 解：令，则，，于是 思考题：. 提示: 令，则 第四节 反常积分 一、无穷积分 1.引例：曲线 和直线及轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作，其 含义可理解为将 记作，因其积分区间时无穷区间，故称其为无穷积分. 2.无穷积分：设函数在区间上连续，取，若极限
为在无穷区间上无穷积分,记作 存在 此时也称为无穷积分可类似定
义： ， 收敛；若上述极限不存在,则称无穷积分 在无穷区间上的无穷积分： . 在无穷区间上的无穷积分： 注：上述定义中若出现，并非不定型,它表明该无穷积分发散. 无穷积分也称为第一类反常积分 3.无穷积分的计算：设是在上的一个原函数，引入记号 ; 则有类似牛——莱公式的计算表达式: 例1. 计算反常积分解： ； ； . 另解： . 注： 是否正确？ 因为 ，故原积分发散，所以对反常积分, 使用“偶倍奇零”的性质,
否则会出现错误 例2. 计算反常积分.
解： .
当时收敛; 时发散. 证明：当时，有， 例3. 证明积分 当时，有
因此当时, 反常积分收敛, 其值为；当时, 反常积分发散 二、瑕积分 1.引例：曲线 与轴及轴和直线所围成的开口曲边梯形的面积可记作 ，其含义可理解为 将 记作，因其被积函数在积分区间内无界，也称为无界函数的反常积分 易知左端点是被积函数的无界间断点，称其为被积函数的瑕点，因此无界函数的反常积分也称为瑕积分 2.瑕点：若函数在点的任意邻域内都无界，则称为的无界间断点，又称为瑕点. 3.瑕积分：设函数在区间上连续，点为的瑕点，取，若存在 ，则称此极限为在区间上的瑕积分 记作 ， 此时也称瑕积分收敛；若上述极限不存在,就称瑕积分发散， 可类似定义： 若在区间内连续，
为的瑕点，则有： . 若在区间上除了点外连续，为的瑕点，则有：
注：若出现，并非不定型,它表明该反常积分发散. 若也称为第二类反常积分. 注： 1°.若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点,则本质上是常义积分, . 常积分. 例如: 2°.有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化. 例如 (令 (令) 3°.当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分. 3.瑕积分的计算：设是的一个原函数， 则有类似牛——莱公式的计算表达式: 若为瑕点, 则 若为瑕点, 则 . 若和都为
瑕点, 则 思考题：若瑕点，则 提示：和不一定相等.
例 . 例5. 讨论反常积分 的收敛性. 解：由
于 ，所以反常积分 发散. 例6. 证明反常积分 当时收敛; 时发散. 证明：当时，为被积函数的瑕点，有 ， 当时，有 因此当时, 反常积分收敛, 其值为；当时, 反常积分发散 例7. 计算反常积分 解：注意到这是一个无穷限和瑕点都出现的反常积分 令，则，，当时，；当时，，于是 .
再令，，，，当时，；当 ，于是 . 三.两类反常积分之间的关系： 瑕积分
积分可转化为无穷积分，例如：设函数在区间上连续，为的瑕点，由定义有 ，令，有 第五节 反常积分的审敛法 函数 一、无穷积分的审敛法 由于无穷积分的收敛性问题实质上上是一个极限的存在性问题，于是根据函数极限的理论，不难得出无穷积分的收敛准则： 1.柯西收敛准则： 定理1. 收敛的充要条件是：对，，当 成立 下面讨论无穷积分2.有界审敛法：
的另外几种收敛判别法，首先考虑非负函数的无穷积分 定理2. 设非负函数在区间上连续，若函数在 收敛 证明：由于，则在上单调增加且有上界，根据极限收敛准则知 存在 , 收敛 由此定理，可得下面的比较审敛法： 3．比较审敛法： 定理3.设函数、在区间上连续，且，有， (1). 若(2). 收敛，则 收敛； 发散 证明：设，由于，有. (1). 收敛，则有 ，即 单调递增且有上界, 由定理1知 收敛 (2).用反证法： 则由 知， 发散 注：大的收敛，保证小的收敛；小的发散，导致大的发散 由于反常积分当时，收敛；当时，发散，故通常取 作为比较函数，即有下面的柯西审敛法： 4．柯西审敛法： 定理4.设非负函数在区间上连续，对常数，记， (1). 当时，若，, 有，则收敛；
(2). 当时，若，, 有则发散 例1. 的敛散性 解：由于
收敛，故 收敛 在比较审敛法的基础上，可以得到应用更方便的极限审敛法： 5．极限审敛法： 定理5.设非负函数在区间上连续，对常数，记， (1). 当时，若，则(2). 当时，若，则证明： 收敛； 发散 (1). 当时，若，则由极限定义知：对任意给定的，当 时，必
有，即 收敛 (2). 当时, 若, 则由极限定义，可取，使，当充分大时，必有，即 ，由比较审敛法知 发散 ，由 若，则对任意，当充分大时，，即 发散 例2. 的敛散性 收敛，故 解法(一)：由于 ，而 收敛
解法(二)：由于 收敛 例3. 的敛散性. 解：由于 发散. 例4. 的敛散性. 发散. 解：由于 ，极限审敛法知 的概念以及绝对收敛定理. 6．绝对审敛法： (1). 无穷积分的绝对收敛与条件收敛：设反常积分 若 收敛， 收敛，则称发散，则称 绝对收敛； 条件收敛； (2)．绝对审敛法： 定理6.若函数在区间上连
续，且 收敛，则 收敛 证明：令，则，由于，故 敛，而，又例5. 判断反常积分 故 收敛 为常数，的敛散性 解:由于 ，而再由绝对收敛定理知二、瑕积分的审敛法 收敛，根据比较审敛原理知 收敛 由于瑕积分可转化为无穷积分，故无穷积分的审敛法完全可平移到瑕积分中来. 1.柯西收敛准则： 定理7. (为的瑕点)收敛的充要条件是：对， 成
立 2．比较审敛法： 定理8.设非负函数、在区间上连续，为、的瑕点，且，有， (1). 若(2). 收敛，则 收敛； 发散 利用反常积分 当时收敛; 敛法和极限审敛法： 3．柯西审敛法： 定理9.设非负函数在区间上连续，为的瑕点， (1). 若，当时，, 有 ，则 收敛； (2).若，当时，, 有4．极限审敛法： 发散 定理10.设非负函数在区间上连
续，为的瑕点，对常数， ， (1). 当时，若，则(2). 当时，若，则例6. 判别反常积分 收敛； 发散 的敛散性. 解：易知是被积函数的瑕点，由于 ， 由极限判别法知瑕积分例7.判定椭圆积分 发散. 的敛散性 解：易知是被积函数的瑕点，由于 ， 故由极限判别法知5．绝对审敛法： 收敛. (1). 瑕积分的绝对收敛与条件收敛：设瑕积分(为的瑕点)收敛， 若收敛，则称绝对收敛； 若发散，则称条件收敛； (2)．绝对审敛法： 定理11.若函数在区间上连续上连续，且收敛，则收敛 例8.判定反常积分 的敛散性. ，而收敛，根据比较审敛 解:易知是被积函数的瑕点，由于 法知 收敛. ，再由绝对收敛定理知 例9.判定反常积分 的敛散性 解: 易知是被积函数的瑕点，由于,从而，即 收敛. 收敛，从而 三、 函数 1. 函数：称参变量的反常积分为 为函数，记作 2. 函数的收敛性： 收敛 证明：由定义式可知，函数可分解为当时，为定积分； 当时，为瑕积分，为瑕点，此时，由于 ， 又由于时，瑕积分对无穷积分 收敛，于是收敛 ，由于，从而收敛 综上可得 收敛 3. 函数的性质： (1). 递推公式：. 证明：应用分部积分法，有 当介于两个整数之间时，则 当为正整数时，则 ， 而，所以 (2). 当时，. 证明：由于 且，又当时连续(可证)，于是 . (3). 余元公式: 注： (4). 函数的其它形式：推导：对 函数注： 1. ，令得， . 推导：令，
则， ，于是
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