两个函数中的存在性和任意性问题的辨析

两个函数中的存在性和任意性问题的辨析

安徽省太和县太和中学 岳 峻 236600

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高考中经常出现两个变量的任意性或存在性问题，是高考的热点之一．此类问题中，特别是全称量词“任意”和特称量词“存在”插足函数，使得函数问题扑朔迷离，意深难懂，同时题目也因此显得富有变化和新意，往往让学生们混淆不清、不知所措．

事实上，揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，需要深刻理解问题的本质，善于运用数形结合、转化与化归的思想，利用函数与导数的相关知识，可以把相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数最值大小的比较，从而转化为我们熟悉的问题．

本文通过研究具体函数及其图象，谈谈函数中有关任意性和存在性问题的转化策略，将任意性与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系，并得到双变量的存在性和任意性问题的辨析方法，希望对同学们有所启发．

类型1.任意x，使得f(x)gx，只需hxminf(x)gxmin0.其等价转化的基本思想是：给定任意一个x的值，函数yf(x)的对应函数值都大于ygx的对应函数值.（如图1）

fxgx gx fx图1 图2

类型2.存在x，使得f(x)gx，只需hxmaxf(x)gxmax0.其等价转化的基本思想是：存在一个x的值，函数yf(x)的对应函数值大于ygx的对应函数值.（如图2）

【例1】（2014年陕西理科21改编）设函数f(x)ln1x,gxaxf(x),f(x)是f(x)的导函数.

（1）若对于任意x0，总有f(x)gx,求实数a的取值范围； （2）若存在x0，使得f(x)gx,求实数a的取值范围. 【解析】（1）设hxf(x)gxln1xaxx0. 1xhx1ax1a. 221x1x1x当a1时，hx0.hx在0,上单调递增，hxminh00,所以，hx0在0,上恒成立，即f(x)gx在0,上恒成立；

当a1时，对于x0,a1有hx0.hx在0,a1上单调递减，ha1h00,此时存在x0，使得hx0，即f(x)gx在0,上不恒成立；

综上可知，实数a的取值范围,1.

（2）由（1）可知，当a1时，存在x0，使得f(x)gx； 当a1时，he1001a.必存在x0，使得f(x)gx； 100e综上可知，实数a的取值范围,.

类型3.若x1D1,x2D2，使得fx1gx2等价于函数fx在D1上的值域A与gx在D2上的值域B的交集不空，即AB.其等价转化的基本思想是：函数yf(x)的某一个函数值等于函

数ygx的某一个函数值，即两个函数有相等的函数值. （如图3）

fxfxgx gx 图3

图4

类型4.对x1D1,x2D2,使得fx1gx2等价于函数fx在D1上的值域A是gx在

D2上的值域B的子集，即AB.其等价转化的基本思想是：函数yf(x)的任意一个函数值都等于函

数ygx的某一个函数值，即函数yf(x)的函数值都在函数ygx的值域之中. （如图4）

【例2】（2014年天津文科19改编）已知函数f(x)x223ax,a0,xR. 3gx1.

x21x（1）若x1,1,x2,（2）当a1，使得fx1gx2，求实数a的取值范围. 23时，证明：对于任意的x1(2,)，都存在x2(1,)，使得f(x1)g(x2). 223【解析】（1）因为fxx2ax，所以fx2x2ax22x1ax.

31令fx0得x0或.

a11因为当x0时，fx单调递减，当0x时，fx单调递增，当x时，fx单调递减，

aaf0f32a0.

2a,3所以，fx在,1上单调递减，fx在,1上的值域为1.

113x22x3x2.gx2又gx2. 223323x1xxxxxx1x当x1时，gx2180,gx单调递增，gxg.gx在

23,1上的值域为2,8. 31，使得fx1gx2，则：12若x1,1,x2,2a38,a35. 2故实数a的取值范围0,5. 2（2）因为fxx2x3，所以fx2x3x23x23x.

分析可知，fx在(1,)单调递减，且f1所以fx在(2,)上的值域为又fx在(1,)单调递减，且fx0.

,4； 0.gx11在(1,)上单调递增，

x21xfx所以gx1在(1,)上的值域为

x21x,0；

因为

,4,0.

对于任意的x1(2,)，都存在x2(1,)，使得f(x1)g(x2).

类型5.对x1,x2D,使得fx1gx2，且fx,gx是在闭区间D上的连续函数等价于

fxmingxmax.其等价转化的基本思想是：函数yf(x)的任意一个函数值均大于函数ygx的

任意一个函数值. （如图5）

fxfxgx gx 图5 图6 类型6. 存在x1,x2D使得fx1gx2，等价于fxmaxgxmin.其等价转化的基本思想是：函数yf(x)的某一个函数值大于函数ygx的某些函数值，都是只要求有这样的函数值，并不要求所有的函数值. （如图6）

a2【例3】已知f(x)xa0,gxxlnx.

x（1）若对任意的x1,x21,e,都有fx1gx2成立，求实数a的取值范围； （2）存在x1,x21,e,使得fx1gx2，求实数a的取值范围.

【解析】（1）对任意的x1,x21,e,都有fx1gx2成立，等价于x1,e时，

fxmingxmax.

当x1,e时，gx1只需证fxmin10,所以gx在1,e上单调递增，所以gxmaxgee1. xa2e1，即xe1a2e1xx2在1,e上恒成立即可.

x令hxe1xx2.

e1e1当x1,e时，hxe1xx的最大值为h.

2222e1e1所以a2即a. ,22故实数a的取值范围是2e1,. 2（2）存在x1,x21,e,使得fx1gx2，等价于x1,e时，fxmingxmax. 当x1,e时，gx110,所以gx在1,e上单调递增，所以gxmaxgee1. xa2又f(x)xa0在0,a单调递减，a,单调递增.

x当0a1时，fx在1,e单调递增，fxminf11a1e.符合题意；

2当1ae时，fx在1,a单调递减，a,e单调递增，fxminfa2a. 此时，2a1e，解得1a1e; 2a2a2fee.此时，e1e，即ae，ee当ae时，fx在1,e单调递减，fxmin与ae矛盾，不符合题意；

综上可知，实数a的取值范围是0,e1. 2类型7. 对x1D1,x2D2,使fx1gx2,等价于函数fx在D1上的最小值大于gx在

D2上的最小值即fxmingxmin（这里假设fxmin,gxmin存在）．其等价转化的基本思想是：函

数yf(x)的任意一个函数值大于函数ygx的某一个函数值，但并不要求大于函数ygx的所有函数值. （如图7）

fxfxgx gx 图7

图8

类型8. 对x1D1,x2D2,使fx1gx2,即fxmaxgxmax.其等价转化的基本思想是：函数yf(x)的任意一个函数值小于函数ygx的某一个函数值，但并不要求小于函数ygx的所有函数值. （如图8）

【例4】(2010年山东)已知函数fxlnxax(1)当a1a1aR. x1时，讨论fx的单调性; 21(2)设gxx22bx4，当a时，若对任意x10,2,存在x21,2，使fx1gx2，

4求实数b的取值范围.

【解析】（1）略；

（2）依题意fx在0,2上的最小值不小于gx在1,2上的最小值,即fxmingxmin，于是问题转化为最值问题.

当a113时，fxlnxx1， 444xx1x3113, x44x24x2所以fx则当0x1时，fx0,当1x2时，fx0,所以当x0,2时，fxminf1. 又gxx2bx4，

212①当b1时，可求得gxming152b,则52b②当1b2时，可求得gxmin盾.

111，解得：b.这与b1矛盾. 2419gb4b2,则4b2，解得：b2.这与1b2矛

221217.. 8③当b2时，可求得gxming284b,，由84b,得b综合①②③得实数b的取值范围是

17,. 8