高中数学人教版_必修五_不等式_知识点最完全精炼总结

一.不等式知识要点

1.两实数大小的比较

abab0abab0abab0 2.不等式的性质：8条性质.

a2b22aba2b21(ab)22ab23.基 整式形式ab2本不a2b2ab2等式ab定理

根式形式ab2ab2(22ab)分式形式baab2(a,b同号）1a0a倒数形式a2a0a1a2

4.公式： 2aba2b2a1b1ab22

1

3.解不等式

x(1)一元一次不等式 axb(a0)x(2)一元二次不等式： 判别式 △=b2- 4ac b(a0)ab(a0)a△<0 △>0 △=0 y=ax2+bx+c 的图象 (a>0) y x1 O x x2 y y O x1 x O x 没有实根 ax2+bx+c=0 有两相异实根 (a>0)的根 有两相等实根 x1, x2 (x10 {x|xx2} {x|x≠ (y>0)的解集 2aR ax2+bx+c<0 {x|x1< x Φ Φ 2

一元二次不等式的求 解流程：

一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式：

高次不等式：

f(x)0f(x)g(x)0g(x)f(x)f(x)g(x)00g(x)0g(x)(xa1)(xa2)(xan)0

(4)解含参数的不等式：（1）

(x – 2)(ax – 2)>0

（2）x2 – (a+a2)x+a3>0；

（3）2x2 +ax +2 > 0；

注:解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有：

1、讨论a 与0的大小；2、讨论⊿与0的大小；3、讨论两根的大小；

二、运用的数学思想：

1、分类讨论的思想；2、数形结合的思想；3、等与不等的化归思想

(4)含参不等式恒成立的问题：

3

22x(3a例1．已知关于x的不等式 ) x  2 a  1  0

在(–2，0)上恒成立，求实数a的取值范围． 例2．关于x的不等式

、函数12、分离参数后用最值3、用图象ylog2(ax2ax1) 对所有实数x∈R都成立，求a的取值范围.

例3.若对任意

xx0,2a恒成立，x3x1则 的取值范围.

a

(5)一元二次方程根的分布问题：

方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、 函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解.

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二次方程根的分布问题的讨论f(k)y 1．x01< x2< k

bk2ax1 k 0O x2 x y f(k)02．k < x1< x2 bk2a0k x1 O x2 x y 3．x1< k < x2

f(k)0k x1 O xx

：

5

4． k1 < x1 < x2 < k2 5． x1 < k1 < k2 < x2 k1 x1 O x2 y k2 x

y O k1 x1 k2 x2 x f(k1)0f(k2)0f(k1)00 f(k)0 2kbk122a

6． k1 O k2 x2 k3 x k1 x1 y f(k1)0f(k2)0 f(k)024解线性规划问题的一般步骤：

第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；

第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。

zaxby

zxy22yzx6

练习：1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点（横、纵坐标为整数）的个数。

2.求函f(x)2log12xlogx(0x1)的最大值；23 4.f(x)=x+1x1（x4）的最小值 4.求函数 f( x )  ( x  1)x 2 1 4 (x   1)

的最小值.

5.已知两个正数 a , b 满足 a  b  4, 求使 28abm 恒成立的 m 的取值范围.

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1.已知x>0,y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值. 7