高中数学高考总复习复数习题及详解

一、选择题

3＋2i

1．(2010·全国Ⅰ理)复数＝( )

2－3iA．i B．－i C．12－13i D．12＋13i [答案] A [解析]

3＋2i(3＋2i)(2＋3i)6＋9i＋4i－6

＝＝＝i.

132－3i(2－3i)(2＋3i)

2．(2010·北京文)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )

A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i [答案] C

6－25＋3

[解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝＝2，y＝

22＝4，

∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.

3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是( )

A．－1 B．4

C．－1和4 D．－1和6 [答案] C

[解析] 由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.

[点评] 复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．

4．(文)已知复数z＝A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案] B

1－i－1i－111111[解析] z＝，z＝＋，z·i＝－＋i.实数－，虚部，对应点－2，22222222在第二象限，故选B.

z2＋1

(理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数( )

zA．是纯虚数 B．是虚数但不是纯虚数 C．是实数 D．只能是零 [答案] C

[解析] 解法1：∵z的对应点P在单位圆上， ∴可设P(cosθ，sinθ)，∴z＝cosθ＋isinθ. z2＋1cos2θ＋isin2θ＋12cos2θ＋2isinθcosθ则＝＝

zcosθ＋isinθcosθ＋isinθ＝2cosθ为实数．

解法2：设z＝a＋bi(a、b∈R)， ∵z的对应点在单位圆上，∴a2＋b2＝1， ∴(a－bi)(a＋bi)＝a2＋b2＝1，

z2＋11∴＝z＋＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R.

zz

1

，则－z·i在复平面内对应的点位于( ) 1＋i

5．(2010·广州市)复数(3i－1)i的共轭复数是( ) ．．．．A．－3＋i B．－3－i C．3＋i D．3－i [答案] A

[解析] (3i－1)i＝－3－i，其共轭复数为－3＋i.

6．(2010·湖南衡阳一中)已知x，y∈R，i是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i，则(1＋i)x－y的值为( )

A．－4 B．4 C．－1 D．1 [答案] A

[解析] 由(x－1)i－y＝2＋i得，x＝2，y＝－2，所以(1＋i)x－y＝(1＋i)4＝(2i)2

＝－4，故选A.

7．(文)(2010·吉林市质检)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案] D

[解析] ∵z＝z1z2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，∴选D.

(理)现定义：eiθ＝cosθ＋isinθ，其中i是虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对eiθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋C54cosθsin4θ，b＝C51cos4θsinθ－C53cos2θsin3θ＋C55sin5θ，那么复数a＋bi等于( )

A．cos5θ＋isin5θ

B．cos5θ－isin5θ C．sin5θ＋icos5θ D．sin5θ－icos5θ [答案] A

[解析] a＋bi＝C50cos5θ＋iC51cos4θsinθ＋i2C52cos3θsin2θ＋i3C53cos2θsin3θ＋i4C54cosθsin4θ＋i5C55sin5θ＝(cosθ＋isinθ)5＝(eiθ)5＝ei(5θ)＝cos5θ＋isin5θ，选A.

8．(文)(2010·安徽合肥市质检)已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单a

位)，若复数∈R，则实数x的值为( )

b

A．－6 B．6 8C. 38D．－ 3[答案] C [解析]

a3＋2i(3＋2i)(4－xi)＝＝ b4＋xi16＋x212＋2x8－3x8－3x8＝＋ i∈R，∴＝0，∴x＝. 316＋x216＋x216＋x22

(理)(2010·山东邹平一中月考)设z＝1－i(i是虚数单位)，则z＋＝( )

z

2

A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i [答案] C

22

[解析] ∵z＝1－i，∴z2＝－2i，＝＝1＋i，

z1－i2

∴z2＋＝1－i，选C.

z

2

9．(2010·山东聊城市模拟)在复平面内，复数对应的点到直线y＝x＋1的

1－i距离是( )

A.2 2

B.2 C．2 D．22 [答案] A

2(1＋i)2

[解析] ∵＝＝1＋i对应点为(1,1)，它到直线x－y＋1＝0距离

1－i(1－i)(1＋i)12

d＝＝，故选A.

22

10．(文)(2010·山东临沂质检)设复数z满足关系式z＋|－z|＝2＋i，则z等于( ) 3

A．－＋i

43B.－i 43

C.＋i 43D．－－i

4[答案] C

[解析] 由z＝2－|－z|＋i知z的虚部为1，设z＝a＋i(a∈R)，则由条件知a＝3

2－a2＋1，∴a＝，故选C.

4

a＋i

(理)(2010·马鞍山市质检)若复数z＝(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则|a

1－2i＋2i|等于( )

A．2 B．22

C．4 D．8 [答案] B

a－25＝0a＋i(a＋i)(1＋2i)a－22a＋1

z＝＝＝＋i是纯虚数，∴5551－2i2a＋1

5≠0

[解析]

，

∴a＝2，

∴|a＋2i|＝|2＋2i|＝22. 二、填空题

 z a b

＝ad－bc，若11．规定运算

c d－i

i2

＝1－2i，设i为虚数单位，则复数

z＝________.

[答案] 1－i

 z

[解析] 由已知可得

－i

＝2z＋i2＝2z－1＝1－2i，∴z＝1－i. 2

i

12．(2010·南京市调研)若复数z1＝a－i，z2＝1＋i(i为虚数单位)，且z1·z2为纯虚数，则实数a的值为________．

[答案] －1

[解析] 因为z1·z2＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i为纯虚数，所以a＝－1. 1＋i13．(文)若a是复数z1＝的实部，b是复数z2＝(1－i)3的虚部，则ab等于

2－i________．

2

[答案] －

5[解析] ∵z1＝1∴a＝.

5

又z2＝(1－i)3＝1－3i＋3i2－i3＝－2－2i，∴b＝－2.

1＋i(1＋i)(2＋i)13

＝＝＋i， 2－i(2－i)(2＋i)55

2

于是，ab＝－.

5(理)如果复数________．

2

[答案] －

3

2－bi2－bi1－2i2－2bb＋4

[解析] ＝·＝－i，

551＋2i1＋2i1－2i2－2bb＋4

由复数的实数与虚数互为相反数得，＝，

552

解得b＝－.

3

14．(文)若复数z＝sinα－i(1－cosα)是纯虚数，则α＝________. [答案] (2k＋1)π (k∈Z)

sinα＝0α＝kπ

[解析] 依题意，，即，所以α＝(2k＋1)π (k∈Z)．

1－cosα≠0α≠2kπ

2－bi

(i是虚数单位)的实数与虚部互为相反数，那么实数b等于1＋2i

[点评] 新课标教材把《复数》这一章进行了精简，不再要求复数的三角形式以及复杂的几何形式和性质；对于复数的模的要求很低，了解概念就行．主要考查复数的代数形式以及复数的四则运算，这是我们复习的重点，不要超过范围．

(理)(2010·上海大同中学模考)设i为虚数单位，复数z＝(12＋5i)(cosθ＋isinθ)，若z∈R，则tanθ的值为________．

[答案] －

5

12

[解析] z＝(12cosθ－5sinθ)＋(12sinθ＋5cosθ)i∈R， ∴12sinθ＋5cosθ＝0，∴tanθ＝－三、解答题

a2－7a＋6

15．(2010·江苏通州市调研)已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)．

a＋1试求实数a分别为什么值时，z分别为：

5. 12

(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

a2－5a－6＝0

[解析] (1)当z为实数时，，

a＋1≠0

∴a＝6，∴当a＝6时，z为实数．

a2－5a－6≠0

(2)当z为虚数时，，

a＋1≠0

∴a≠－1且a≠6，

故当a∈R，a≠－1且a≠6时，z为虚数．

2

(3)当z为纯虚数时，a－7a＋6＝0

a＋1≠0

∴a＝1，故a＝1时，z为纯虚数．

2a－5a－6≠0

z＋12

＝1且z＋∈R的复数z. 16．(2010·上海徐汇区模拟)求满足

zz－1

[解析] 设z＝a＋bi(a、b∈R)，

z＋1

＝1?|z＋1|＝|z－1|， 由z－1

由|(a＋1)＋bi|＝|(a－1)＋bi|，

∴(a＋1)2＋b2＝(a－1)2＋b2，得a＝0， 2

∴z＝bi，又由bi＋∈R得，

bi2

b－＝0?b＝±2，∴z＝±2i.

b

17．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.

(1)设复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，求事件“z－3i为实数”的概率； a－b＋2≥0

(2)求点P(a，b)落在不等式组0≤a≤4

b≥0

表示的平面区域内(含边界)的概

率．

[解析] (1)z＝a＋bi(i为虚数单位)，z－3i为实数，则a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，则b＝3.

1

依题意得b的可能取值为1,2,3,4,5,6，故b＝3的概率为.即事件“z－3i为实

61

数”的概率为.

6

(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果． 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．

由图知，点P(a，b)落在四边形ABCD内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．

所以点P(a，b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P＝

181＝. 362